2022-2023学年山东省泰安市宁阳县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省泰安市宁阳县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省泰安市宁阳县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中是二元一次方程的是(    )
A. x−1y=2 B. x+2−y C. 2xy+3=1 D. 3x+2y=1
2. 如图，已知∠1=40°，∠2=40°，∠3=140°，则∠4的度数等于(    )
A. 40°
B. 36°
C. 44°
D. 100°
3. 下列命题中，是真命题的是(    )
A. 同旁内角必定互补 B. 两个锐角的和一定是钝角
C. 对顶角的余角相等 D. 各边分别相等的两个多边形一定全等
4. 在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是(    )
A. 12 B. 9 C. 4 D. 3
5. 将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2等于(    )

A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
6. 如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1−4的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案中阴影部分是一个轴对称图形的概率是(    )


A. 14 B. 1 C. 34 D. 12
7. 如图，直线l1：y=3x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,b)，则关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n的解为(    )
A. x=4y=1
B. x=−4y=1
C. x=1y=4
D. x=1y=2
8. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B1，C1处，若∠AEB1=70°，则∠BEF=(    )
A. 70°
B. 60°
C. 65°
D. 55°
9. 若关于x，y的二元一次方程组3x+y=1+3ax+3y=1−a的解满足互为相反数，则a的值为(    )
A. 1 B. 0 C. −1 D. 12
10. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A(−1,5)，则B点的坐标是(    )
A. (−6,4)
B. (−203,143)
C. (−6,5)
D. (−143,113)
11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A′处，若∠A′BC=30°，则∠CBD=(    )
A. 5°
B. 15°
C. 20°
D. 10°
12. 将一副三角板按如图放置，则下列结论：
①如果∠2=30°，则有AC//DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC//AD，则有∠2=45°；
④如果∠CAD=120°，必有∠4=∠C；
正确的有(    )


A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 已知(x−y)2+|2x+y−6|=0，则代数式x2+2y2的值是______ ．
14. 如图，已知AB//CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠1=50°，则∠2等于        ．


15. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．


16. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为______．
17. 如图①、②中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠O1+∠O2的度数为______ ．


18. 如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG//BC，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°，
其中正确的结论是______．


三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
解方程组：
(1)3x+2y=14x−y=−6；
(2)x−4(y−14)=3x2−y3=1．
20. (本小题10.0分)
如图，AB//DG，∠1+∠2=180°．
(1)试说明：AD//EF；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=142°，求∠B的度数．

21. (本小题8.0分)
已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共100个，从中任意摸出一球，摸到红、黄球的概率分别为0.2和0.3，
(1)试求蓝色球的数量；
(2)若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为13，求a的值．
22. (本小题12.0分)
如图，过点B(1,0)的直线l1：y1=kx+b与直线l2：y2=2x+4相交于点P(−1,a)．
(1)求直线l1的解析式；
(2)求四边形PAOC的面积．

23. (本小题12.0分)
在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)该店在“五⋅四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
24. (本小题12.0分)
如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEM的度数．

25. (本小题14.0分)
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
(1)求证：∠BAC=∠B+2∠E．
(2)若CA⊥BE，∠ECD−∠ACB=30°时，求∠E的度数．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、它不是方程，故本选项不符合题意；
C、该方程的最高次数是2，属于二元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
根据二元一次方程的定义作出判断．
本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
(1)方程中只含有2个未知数；
(2)含未知数项的最高次数为一次；
(3)方程是整式方程．

2.【答案】A 
【解析】解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2，
∴PQ//MN，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=140°，
∴∠4=40°，
故选：A．
根据∠1=40°，∠2=40°，可得PQ//MN，从而∠3+∠4=180°，即可得∠4=40°．
本题考查平行线的性质及判定，解题的关键是掌握平行线性质定理与判定定理，题目较简单．

3.【答案】C 
【解析】解：两直线平行，同旁内角必定互补，故A是假命题，不符合题意；
两个锐角的和不一定是钝角，故B是假命题，不符合题意；
对顶角的余角相等，故C是真命题，符合题意；
各边分别相等的两个多边形不一定全等，故D是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据平行线的性质、对顶角性质、余角的定义、全等形的定义判断求解即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，难度不大．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查：频率、频数的关系：频率=频数数据总和．
摸到红球的频率稳定在25%，即a=3÷25%，即可即求出a的值．
【解答】
解：∵摸到红球的频率稳定在25%，
∴3÷25％=12，
解得：a=12．
故选A．  
5.【答案】C 
【解析】解：如图所示，

由题意得∠E=90°−30°=60°，
∵AB//CD
∴∠ABE=∠1=50°，
又∵∠2是△ABE的外角，
∴∠2=∠ABE+∠E=50°+60°=110°，
故选：C．
根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，选择的位置共有4处，
其概率=44=1．
故选：B．
根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了几何概率和轴对称图形，解题的关键是了解轴对称的定义及概率的求法，难度不大．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解．
首先把P(1,b)代入直线l1：y=3x+1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．
【解答】
解：因为直线y=3x+1经过点P(1,b)，
所以b=3+1，
解得b=4，
所以P(1,4)，
所以关于x，y的方程组y=3x+1y=mx+n的解为x=1y=4，
故选：C．  
8.【答案】D 
【解析】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在B1，C1处，
∴∠BEF=∠B1EF，
∵∠AEB1=70°，∠AEB1+∠BEF+∠AEB1=180°，
∴∠BEF=(180°−∠AEB1)=12×(180°−70°)=55°．
故选：D．
根据折叠的性质可得出∠BEF=∠B1EF，再根据∠AEB1=70°，即可得出∠BEF的度数．
本题考查的是平行线的性质以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角是解此题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：3x+y=1+3a①x+3y=1−a②，
①+②得：4x+4y=2+2a，
∵x+y=0，
∴4(x+y)=2+2a=0，
解得a=−1．
故选：C．
直接用①+②，即可得出x+y，根据x+y=0，再求出a的值即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握整体思想解二元一次方程组是关键．

10.【答案】D 
【解析】解：设长方形的长为x，宽为y，
则x+2y=5x−y=1，
解得x=73y=43，
则|xB|=2x=143，|yB|=x+y=113；
∵点B在第二象限，
∴B(−143,113)，
故选：D．
本题结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看：长方形的两个宽+一长=|yA|；从水平方向看，两个长方形的长−一个长方形的长−一个长方形的宽=|xA|，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，|xB|=两个长方形的长，|yB|=一个长方形的长+一个长方形的宽，从而求出点B的坐标．
本题主要考查了二元一次方程组的综合运用，体现了数形结合思想，方程建模思想，并考查了学生的计算能力，观察能力．而解出长方形的长与宽之后，学生容易忘记从代数问题回归到几何问题，考虑第二象限坐标的正负性问题，是本题的易错点．

11.【答案】B 
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠A=60°，
由折叠性质得：∠ABD=∠A′BD，
∴∠ABC−∠CBD=∠A′BC+∠CBD，
∴60°−∠CBD=30°+∠CBD，
解得∠CBD=15°．
故选：B．
由折叠性质可得∠ABD=∠A′BD，从而有∠ABC−∠CBD=∠A′BC+∠CBD，则可求解．
本题主要考查翻折变换(折叠问题)，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．

12.【答案】A 
【解析】解：①∵∠2=30°，
∴∠1=90°−30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，
故①正确，符合题意；
②∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠BAE+∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°，
故②正确，符合题意；
③∵BC//AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°−45°=45°，
故③正确，符合题意；
④∵∠CAD=120°，∠DAE=90°，
∴∠1=∠CAD−∠DAE=120°−90°=30°，
∵∠E=60°，
∴∠1≠∠E，
∴AC不平行于DE，
∴∠4≠∠C，
故④错误，不符合题意；
故选：A．
根据平行线的性质与判定，余角的性质，等逐项分析并选择正确的选项即可．
本题考查平行线的性质与判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．

13.【答案】12 
【解析】解：∵(x−y)2+|2x+y−6|=0，
∴x−y=0①2x+y=6②，
①+②得：3x=6，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2−y=0，
解得：y=2，
则原式=4+8=12．
故答案为：12．
利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．

14.【答案】40° 
【解析】解：∵FE⊥DB，
∴∠DEF=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=180°−∠1−∠DEF=180°−50°−90°=40°，
∵AB//CD，
∴∠2=∠D=40°，
故答案为：40°．
根据三角形内角和可以求得∠D的度数，然后根据平行线的性质，可以得到∠2的度数．
本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15.【答案】49 
【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为4个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是49，
故答案为：49．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．

16.【答案】9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13 
【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13，
故答案为：9x=11y(10y+x)−(8x+y)=13．
根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②(10枚白银的重量+1枚黄金的重量)−(1枚白银的重量+8枚黄金的重量)=13两，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

17.【答案】132° 
【解析】解：∵①②中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴①中，∠2+∠4=12(∠1+∠2+∠3+∠4)=12×(180°−42°)=69°，
故∠O1=180°−69°=111°；
②中，∠O2=∠4−∠2=12[(∠3+∠4)−(∠1+∠2)]=12∠A=21°；
∴∠O1+∠O2=111°+21°=132°，
故答案为：132°..
图①②中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出∠O1与∠O2的度数，再相加即可得答案．
本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、互为补角的概念及其相关应用，熟练掌握和运用三角形内角和定理及外角的性质是解决本题的关键．

18.【答案】①③④ 
【解析】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=12∠ABC，
∵AG//BC，
∴∠BAG=∠ABC，
∴∠BAG=2∠ABF，
故①正确，
∵BG⊥AG，
∴∠GAB+∠ABG=90°，
∴∠GBA+∠ABC=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABG=∠ACB，
故③正确，
∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，
∴∠EBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CFB=180°−(180°−90°)÷2=135°，
故④正确．
故答案为：①③④．
根据已知条件AG//BC，可得到∠BAG=∠ABC，再根据BE平分∠ABC，可判断出①正确；根据BG⊥AG，AB⊥AC，可得到∠GAB+∠ABG=90°，∠ABC+∠ACB=90°，再根据∠BAG=∠ABC，可判断出③正确；根据CD、BE分别是△ABC的角平分线，得到∠FBC+∠FCB=12(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形内角和定理得到答案．
此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，垂直，关键是理清角之间的关系．

19.【答案】解：(1)3x+2y=1①4x−y=−6②，
①+②×2，得11x=−11，
解得x=−1，
把x=−1代入②，得y=2，
故方程组的解为x=−1y=2；
(2)x−4(y−14)=3x2−y3=1
方程组整理，得x−4y=2①3x−2y=6②，
②×2−①，得5x=10，
解得x=2，
把x=2代入②，得6−2y=6，
解得y=0，
故方程组的解为x=2y=0． 
【解析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
(1)利用加减消元法求解即可；
(2)方程组整理后，利用加减消元法求解即可．

20.【答案】解：(1)∵AB//DG，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠BAD+∠2=180°，
∵AD//EF；
(2)∵∠1+∠2=180°，∠2=142°，
∴∠1=38°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG=∠1=38°，
∵AB//DG，
∴∠B=∠CDG=38°． 
【解析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
(1)由平行线的性质可得∠BAD=∠1，从而可求得∠BAD+∠2=180°，即可判断；
(2)由题意可求得∠1=38°，再由角平分线的定义可得∠CDG=∠1=38°，再利用平行线的性质即可求解．

21.【答案】解：(1)100×(1−0.2−0.3)=50(个)；
答：蓝色球的数量为50个；
(2)设放进a个红球，则：13(100+a)=100×0.2+a，
解得，a=20，
∴放进20个红球． 
【解析】(1)先用1减去红球和黄球的概率，得到蓝色球的概率，再用所有的球数乘以蓝色球的概率，即可得出答案；
(2)设放进a个红球，根据红球的概率为13列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查的概率，找到相应的关系式是解决本题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】解：(1)∵点P(−1,a)在直线l2：y2=2x+4上，
∴a=2×(−1)+4=2，
则P的坐标为(−1,2)，
∵直线l1：y1=kx+b过点B(1,0)，P(−1,2)，
∴k+b=0−k+b=2，解得k=−1b=1．
∴直线l1的解析式为：y=−x+1；

(2)∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为(0,1)，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为(−2,0)，
∴AB=3，
∴S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC
=12×3×2−12×1×1
=3−12
=52． 
【解析】(1)由点P(−1,a)在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
(2)根据S四边形PAOC=S△PAB−S△BOC可得结论．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．

23.【答案】解：(1)设跳绳的单价为x元/根，毽子的单件为y元/个，
可得：30x+60y=72010x+50y=360，
解得：x=16y=4，
答：跳绳的单价为16元/根，毽子的单件为4元/个；

(2)设该店的商品按原价的x折销售，
可得：(100×16+100×4)×x10=1800，
解得：x=9，
答：该店的商品按原价的9折销售． 
【解析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．
(1)设跳绳的单价为x元/根，毽子的单件为y元/个，根据：购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元，列方程组求解即可；
(2)设该店的商品按原价的x折销售，根据：购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，列出方程求解可得．

24.【答案】解：(1)∠AED+∠D=180°，理由如下：
∵∠CED=∠GHD，
∴CE//GF，
∴∠C=∠FGD，
又∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB//CD，
∴∠AED+∠D=180°；
(2)∵∠GHD=∠EHF=80°，∠D=30°，
∴∠CGF=80°+30°=110°，
又∵CE//GF，
∴∠C+∠CGF=180°，
∴∠C=180°−110°=70°，
又∵AB//CD，
∴∠AEC=∠C=70°，
∴∠AEM=180°−70°=110°． 
【解析】(1)根据题意得到CE//GF，根据平行线的性质推出AB//CD，根据平行线的性质即可得解；
(2)根据平行线的性质即三角形外角性质求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACE．
∵∠BAC=∠E+∠ACE，
∴∠BAC=∠E+∠ECD，
∵∠ECD=∠B+∠E，′
∴∠BAC=∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC=2∠E+∠B．
(2)解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵∠ECD−∠ACB=30°，2∠ECD+∠ACB=180°，
∴∠ACB=40°，∠ECD=70°，
∵CA⊥BE，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠B=50°，
∵∠ECD=∠B+∠E，
∴∠E=70°−50°=20°． 
【解析】(1)根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论；
(2)根据角平分线的定义及已知条件可求解∠ACB，∠ECD的度数，利用直角三角形的性质可求解∠B的度数，再由三角形外角的性质可求解．
本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．