四川省合江县马街中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份四川省合江县马街中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则( )
A.B.C.D.
2．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：11,15,17,a,23,26,27,34,37,38,若该组数据的分位数为22,则( )
A.19B.20C.21D.22
4．巳知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( )
A.，B.，
C.，D.，
6．已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法错误的是( )
A.若A与B相互独立，则
B.若A与B互斥，则
C.若，则事件A与相互独立
D.若B发生时A一定发生，则
7．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在“鳖臑”中，平面，且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．平行六面体的底面是边长为2的正方形,且,,M为,的交点,则线段的长为( )
A.3B.C.D.
二、多项选择题
9．在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标.如图是某专业机构统计的2023年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是( )
A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高
B.1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数
C.1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差
D.1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差
10．给出下列命题，其中正确的是( )
A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C.若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论中正确的为( )
A.P在中点时，平面平面
B.异面直线、所成角的余弦值为
C.E、F、G、M、N不在同一个球面上
D.若，则P点轨迹长度为
三、填空题
12．已知，，且，则__________.
13．省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是__________.（如下是随机数表第8行至第9行）
63,01,63,78,59,16,95,55,67,19,98,10,50,71,75,12,86,73,58,07,44,39,52,38,79
33,21,12,34,29,78,64,56,07,82,52,42,07,44,38,15,51,0,13,42,99,66,02,79,54
14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为________.
四、解答题
15．已知的顶点坐标为，，，是边上的高.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
16．沪州尧坝古镇位于四川省沪州市合江县尧坝镇，是川南醉美古镇之一，历史悠久，有“茶盐古道”之称.古镇保存完好，有进士牌坊､大鸿米店､东岳庙､王朝闻故居､周公馆等古建筑群，形态自然，独具特色.为更好地提升旅游品质，随机选择500名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这500名游客对景区满意度评分的平均值；
（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.
17．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，Q为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D.
（1）求证：平面；
（2）若点F为棱的中点，求点F到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点F，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中.
(1)求经过，的直线的点方向式方程；
(2)已知平面，平面，平面，若，，证明：；
(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小.
参考答案
1．答案：A
解析：
2．答案：D
解析：设直线的倾斜角为,
直线经过点和点,
则直线的斜率,
因为,
所以.
故选:D.
3．答案：C
解析：,
又该组数据的分位数为 22 ,
则,解得.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为向量，,
所以,
所以,
所以向量在向量上的投影向量为,故选D.
5．答案：A
解析：根据题意，在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,由于因为,
则在更正数据之后，数据的平均数不变，即平均数,
不妨设其他48个数据依次为，，…，,
所以
即,
解得.
故选:A.
6．答案：B
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A,若A与B相互独立,,
则,A正确;
对于B,若A与B互斥,则,B错误；
对于C,,若,即,即事件A与相互独立,C正确;
对于D,若B发生时A一定发生,即,则,D正确.
故选:B.
7．答案：B
解析：设,则,得,
把四面体放置在正方体中,
可得正方体的对角线长为,
则四面体的外接球的半径为,
该四面体的外接球的表面积为.
故选:B.
8．答案：C
解析：由题意可知：
,
则
,
所以.
故选：C.
9．答案：BCD
解析：对于A,2023年8月校车销量的同比增长率比9月的低,故选项A错误；
对于B,由校车销量走势图知月校车销量的同比增长率的平均数为负数,环比增长率的平均数是正数,故选项B正确;
对于C,月校车销量的环比增长率的极差为,同比增长率的极差为,所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差,故选项C正确;
对于D,由校车销量走势图知月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故选项D正确.
故选：BCD.
10．答案：ACD
解析：对于A,因为是空间的一个基底,则,,不共面,所以,,也不共面,则也是空间的一个基底，故选项A正确；
对于B,点关于坐标平面的对称点是,故选项B错误；
对于C,因为空间四个点P,A,B,C满足
所以,则,
所以点A,B,C三点共线,
故选项C正确；
对于D,因为平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,且,所以,则,
所以,解得,
故选项D正确.
故选:ACD.
11．答案：AD
解析：对于选项A：取的中点Q，连接，，
在棱长为2的正方体中，E、F、G、M、N均为所在棱的中点，
易知，，平面，在面内，
所以，面，面，，
所以面，面，所以，
连接，是正方形，，
因为面，面，所以，
因为面，面，，
所以面，因为面，所以，
综上，面，面，又，
所以面，面，故平面平面，故A正确；
对于选项B：取的中点T，连接，，则，
所以是异面直线、所成的角，
又，则，，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点O，则，
所以E、F、G、M、N在以O为球心，以为半径的球面上，故C不正确；
对于选项D：因为，且E为的中点，
所以，故，
所以P点轨迹是过点M与平行的线段，且，
所以，故D正确；
故选：AD
12．答案：4
解析：由题意可得,则,解得.
13．答案：507
解析：由题意，依次读取的种子的编号为：
785,916(舍去)，955(舍去)，567，199,810(舍去)，507
故所抽取的第4粒种子的编号为507.
故答案为:507
14．答案：8
解析：因为，所以，而角C为三角形内角，所以，
由，，
所以，
化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）AB的中点坐标为
所以边上的中线所在直线的方程为：，即，
（2）因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
16．答案：（1）84；
（2）
解析：（1）由图可知：，解得：；
平均数估计为：
（2）因为评分在，的频率分别为0.15，0.3，
则在中抽取（人），设为a，b；
在中抽取（人），设为A，B，C，D；
从这6人中随机抽取2人，则有：
，
记事件“选取的2人评分分别在和内各1人”
则，
所以.
即选取的2人评分分别在和内各1人的概率为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）连接，再连接，
因为底面是正方形，所以O是的中点，
又Q为棱的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为平面，底面是正方形，即，
故以点A为原点，以向量，，为x，y，z轴的方向向量，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）连接，因为为等边三角形，D为中点，则，
由题意可知平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则平面，可得，
由题设知四边形为菱形，则，
因为D，E分别为，中点，则，可得，
且，平面，所以平面.
（2）法1：在平面内的射影为D，所以平面，由题设知四边形为菱形，D是线段的中点，所以为正三角形，
由平面，平面，可得，，
又因为为等边三角形，D为中点，所以，
则以D为坐标原点，，，所在直线为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
可得，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，可得，
所以点F到平面的距离为.
法2：
如图所示，取的中点S，连接，过F作交于I，
过I作分别交、的延长线于H、N，
易知I、H分别是、的中点，
则由条件可得，面，面，故面，
即F到面的距离等于I到面的距离，
由（1）得，面，所以面，是直角三角形，
在菱形中，易得，，，
所以，即F到面的距离为，
（3）法1：因为，
设，，则，
可得，，，即，
可得，
由（2）知：平面的一个法向量
设平面的法向量，则，
令，则，，可得；
则，
因为平面与面所成的角为
所以解得(舍去)
此时
所以在棱上存在点F，使得平面与面所成的角为，
法2：假设存在F点满足题意，取的中点S，连接，
过F作交于，连接，
易得，面
又结合（1）的结论有，，故二面角为，
所以，
在菱形中，作，
易得，
，
易知为直角三角形，故.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3)
解析：（1）由，得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为.
（2）由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线l的方向向量为，则，
令，则，，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以.
（3）因平面经过三点，，，可得，，
设侧面所在平面的法向量，
则，
令，解得，，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为.