四川省泸州市合江县马街中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数除法求出，再根据共轭复数的概念求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A.
2. 已知直线经过点和点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线上的两点求直线的斜率，由斜率可得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
由题得直线的斜率为，
因，
所以.
故选：D
3. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.
【详解】，
又该组数据的分位数为22，
则，解得.
故选：C
4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果.
【详解】因为向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5. 已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误.
【详解】设其他48个数据依次为，
则，因为，
因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：，
，
注意到，则.
故选：C.
6. 已知事件发生的概率分别为，则下列说法错误的是（ ）
A. 若与相互独立，则
B. 若与互斥，则
C. 若，则事件与相互独立
D. 若发生时一定发生，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概率公式逐项判断.
【详解】对于A，若A与B相互独立，则，
所以，故A正确；
对于B，若A与B互斥，则，故B错误；
对于C，因为，则，
因为，所以事件A与相互独立， 故C正确；
对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D正确．
故选：B.
7. 在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”中，平面，且，若该四面体的体积为，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意计算分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.
【详解】因为平面，且， ，
而,所以，
所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.
设外接球的半径为R ，则,
所以外接球的表面积为
故选：B
【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
8. 平行六面体底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（ ）

A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.
【详解】由题意可知：，
则
，
所以.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（ ）

A. 8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高
B. 1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数
C. 1-12月校车销量的环比增长率的极差大于同比增长率的极差
D. 1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差
【答案】BCD
【解析】
【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案.
【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；
由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；
1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；
由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．
故选：BCD.
10. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是
C. 若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
D. 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。
【详解】对于A, 不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；
对于B, 点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；
对于C，由可得，即,
所以A，B，C三点共线，故正确；
对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.
故选：ACD
11. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（ ）
A. 在中点时，平面平面
B. 异面直线所成角的余弦值为
C. 不在同一个球面上
D. 若，则点轨迹长度为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正方体图像特征证明面，结合面面垂直的判定定理判断A；根据异面直线所成的角判断B错误；根据五点共圆得到C；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度得到D.
【详解】对于选项A：取的中点，连接，
在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，
易知平面在面内，
所以面面，
所以面面，所以，
连接是正方形，，
因为面面，所以，
因为面面，
所以面，因面，所以，
综上，面面，又，
所以面面，故平面平面，故A正确；
对于选项B：取的中点，连接，则，
所以是异面直线所成的角，
又，则，故B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点，则，
所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确；
对于选项D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，故D正确.
故选：AD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，且，则__________.
【答案】4
【解析】
【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求解出的值.
【详解】因为，且，
所以，解得，
故答案为：.
13. 省农科站要检测某品牌种子的发芽率，计划采用随机数表法从该品牌800粒种子中抽取60粒进行检测，现将这800粒种子编号如下001，002，…，800，若从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，则所抽取的第4粒种子的编号是__________.（如下是随机数表第8行至第9行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 0 13 42 99 66 02 79 54
【答案】507
【解析】
【分析】根据随机数表法读取数据即可.
【详解】由题意，依次读取的种子的编号为：
785，916（舍去），955（舍去），567，199，810（舍去），507.
故所抽取的第4粒种子的编号为507.
故答案为：507
14. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据，结合余弦定理求角C，再根据，再结合面积公式和基本不等式求出的最小值，再根据数量积定义求.
【详解】因，所以，而角为三角形内角，所以，

由，，
所以，
化简得到，
所以，则，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点坐标为是边上的高.
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中点坐标公式及直线的截距式方程即可求解；
（2）由两垂直直线的斜率关系及直线的点斜式方程即可求解.
【小问1详解】
AB的中点坐标0,1，又，
所以边上的中线所在直线的方程为：，即.
【小问2详解】
因为是边上的高，
所以，所以，
所以，
因此高所在直线的方程为：，即.
16. 沪州尧坝古镇位于四川省沪州市合江县尧坝镇，是川南醉美古镇之一，历史悠久，有“茶盐古道”之称.古镇保存完好，有进士牌坊､大鸿米店､东岳庙､王朝闻故居､周公馆等古建筑群，形态自然，独具特色.为更好地提升旅游品质，随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计这名游客对景区满意度评分的平均值；
（2）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人评分分别在和内各人的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率和为可求得，根据频率分布直方图估计平均数的方法直接求解即可；
（2）根据分层抽样原则可求得每组抽取的人数，采用列举法可求得结果.
【小问1详解】
，，
平均值为.
【小问2详解】
评分在和80,90的频率之比为，
应从评分在的组中抽取人，记作：；
评分在80,90的组中抽取人，记作：；
从人中随机抽取人，则有，，，，，，，
，，，，，，，，共个基本事件；
其中满足评分分别在和80,90内各人的基本事件有：，，，，
，，，，共个基本事件；
评分分别在和80,90内各人的概率.
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为棱的中点，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；
（2）建立空间直角坐标系后，写出点坐标，得到空间向量，求出平面法向量，由向量夹角余弦值求出线面角的正弦值.
【小问1详解】
连接，再连接，
因为底面是正方形，所以是的中点，
又为棱的中点，所以，
又平面平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，底面正方形，即，
故以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设平面的法向量为n=x,y,z，则，
令，则，故n=1,−1,1，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
18. 如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定与性质可得，结合菱形对角线互相垂直和线面垂直判定定理可证得结论；
（2）方法一：以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据点面距离的向量求法可求得结果；
方法二：取的中点，作，，根据平行关系可将所求距离转化为点到平面的距离，由平面，结合长度关系可求得结果；
（3）方法一：设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结论；
方法二：假设存在点，根据二面角平面角的定义可知，由长度关系可求得结果.
【小问1详解】
连接，，
为等边三角形，为中点，；
由题意知：平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，；
四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，，
分别为中点，，，
又，平面，平面.
【小问2详解】
方法一：由（1）知：平面，；
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量m=x,y,z，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离；
方法二：取的中点，连接，过作交于，
过作分别交的延长线于，则分别是的中点，
，平面，平面，平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离；
由（1）得：，平面，
平面，是直角三角形，
在菱形中，易得，，，
，，
即点到平面的距离为.
【小问3详解】
方法一：，，，
设，，，
；
由（2）知：平面的一个法向量；
设平面的法向量n=a,b,c，
则，令，解得：，，；
，解得：（舍）或，
此时，
在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时；
方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接，
过作交于，连接，
，平面， 又由（1）得：，，
二面角的平面角为，；
在菱形中，作，
，，
，
为直角三角形，，，
在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时.
19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．
（1）求经过的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；
（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系；
（3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角.
【小问1详解】
由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为．
【小问2详解】
由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，即，
且，所以．
【小问3详解】
因平面经过三点，可得，
设侧面所在平面的法向量，
则，令，解得，可得，
由平面可知，平面法向量为，
设平面与平面的交线的方向向量为，
则，令，则，可得，
由平面可知，平面的法向量为，
因为，解得，即，
则，
故平面与平面夹角的大小为．