专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】（讲义）（举一反三）（新高考专用）-2025年高考数学二轮复习专练

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1、集合
集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以基础题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
【常用结论】
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【知识点2 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
4.存在量词与存在量词命题
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设.
(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；
(3)若，则与互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2024·四川乐山·三模）已知集合A=−1,0,1,B=1,2,C=x∣x=a+b,a∈A,b∈B，则集合C的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式1-1】（2024·山东济南·二模）已知集合A=1,2，B=2,4，C=zz=xy,x∈A,y∈B ，则C中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合A=x∈Rax2−2x+1=0中只有一个元素，则实数a=（ ）
A．1B．0C．2D．0或1
【变式1-3】（2024高一上·全国·专题练习）若集合A=x|mx2+2x+2=0中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．m|m≠0B．mm