重庆市育才中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份重庆市育才中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a3＝6a6B．2a6÷a2＝2a3
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a﹣1）2＝a2+2a+1
3．（4分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（4分）如图，△ABC≌△ADE，点A，B，E在同一条直线上，AC＝6，BE＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．（4分）如图，已知∠A＝∠D，AC＝DF，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠C＝∠FB．AE＝BDC．BC＝EFD．BC∥EF
6．（4分）如果一个多边形的内角和比外角和多180°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
7．（4分）如图，在△ABC中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CB于点D，交CA于点E，分别以点D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交AB于点G．若∠A＝24°，∠B＝120°，则∠BCG为（ ）
A．12°B．18°C．28°D．36°
8．（4分）如图图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成，图案①需15根小棒，图案②需23根小棒，图案③需31根小棒，按此规律图案⑥需要的小棒根数为（ ）
A．55B．58C．63D．66
9．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合
B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴
D．等边三角形不是轴对称图形
10．（4分）已知多项式M＝a2+b2，N＝2a﹣2b+m，P＝ab+n（m，n为常数），下列说法：
①当m＞2时，无论a，b取何值，都有M+N＞0；
②若m+2n＝2且2M+N+2P＝0，则a+b＝0；
③若m＝2n，则不存在整数a，b，使得M+N﹣2P＝1．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题
11．（4分）计算：﹣a2•a4＝ ．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ ．
13．（4分）如果点A（﹣4，m）和点B（n，3）关于y轴对称，那么m+n＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，AD＝5cm，DE⊥AC交AB于点E，连CE，若△BCE的周长是22cm，则△ABC的周长等于 cm．
15．（4分）若a﹣b＝3，则代数式a2﹣b2﹣6b＝ ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AF＝4，则BC＝ ．
17．（4分）如图，点D是△ABC边BC上一点，点E，F分别是线段AD，BE的中点，若△ABC的面积等于36，则△CEF的面积为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α，点D是AB上一点（点D不与A，B两点重合），将△BCD沿着CD翻折，点B的对应点为点E，AC和DE交于点F．若DE∥BC，则∠ACD＝ （用含α的代数式表示）．
三、解答题：（本大题共5个小题，19题8分，20-23题各10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）；
（2）（x﹣y）（3x+y）+（2x﹣y）2．
20．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）作△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出顶点A2的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
21．（10分）数学爱好者小陶发现，△ABC内角∠BAC的角平分线AD和外角∠BCH的角平分线CD交于点D，连接BD，他猜想BD平分外角∠GBC．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作AG的垂线交AG于点M．（不说明理由，只保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：∠GBD＝∠CBD．
小陶的思路是这样的，过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AH于点F，由角平分线的性质得DM＝DF，DE＝DF，等量代换可得DM＝DE，再证明∠GBD和∠CBD这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程．
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DM⊥AG，DF⊥AH，
∴① ．
∵CD是∠BCH的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AH，
∴DE＝DF．
∴② ．
∵DM⊥AG，DE⊥BC，
∴∠DMB＝∠DEB＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DEB中，
∴Rt△DMB≌Rt△DEB（④ ）．
∴∠GBD＝∠CBD．
由此他得到结论：
三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角．
22．（10分）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，AE与BD交于点F，且AD＝BD．
（1）求证：△ADF≌△BDC；
（2）已知BF＝6，AC＝12，求BD的长．
23．（10分）如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的A（边长为a的小正方形），B（边长为b的大正方形），C（长为b，宽为a的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅．
（1）操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积S（用含a，b的代数式表示）；
（2）请通过计算说明：铺满长为（3a+b），宽为（a+2b）的储藏间和长为（4a+3b），宽为（2a+3b）的大厅共需要A，B，C三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）；
（3）若一块C类瓷砖的周长为32，一块B类瓷砖和一块A类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和．
四、填空题：（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
24．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，且关于z的不等式组无解，那么所有符合条件的整数k的和为 ．
25．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB的中点，且，以D为直角顶点作等腰直角△DEF，点E，F分别是边AC，CB延长线上的一点，连接AF，DE，DF．有如下结论：①△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°；②△ADE≌△CDF；③S△ADF＝S△BEF；④若点G为AF的中点，连接DG，则CE＝2DG．其中正确的有 （填写正确结论的序号）．
26．（4分）一个四位自然数m，如果m满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，将m的千位数字和百位数字顺次组成的两位数记为p，将m的十位数字与个位数字顺次组成的两位数记为q，记，若F（m）为整数，则称数m为“行知数”，例如：m＝1375，可得p＝13，q＝75，则，故1375是一个“行知数”．按照这个规定，最小的“行知数”是 ；若“行知数”n能被8整除，则满足条件n的最大值是 ．
五、解答题：（本大题共2个小题，27题8分，28题10分，共18分）解答时每小题必须给28出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中（对应的位置上.
27．（8分）某品牌空调销售公司销售A、B两种型号的空调．该公司为了提高销售人员的积极性，制定了新的工资方案．方案规定：个人工资＝基本工资+奖励工资．每位销售人员的基本工资是4000元，月销售定额为6万元．在销售定额内，只得基本工资4000元；超过销售定额，超未过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，如下表：
（1）某销售人员希望每个月至少要领取6000元的个人工资，则该销售人员每月的销售额至少为多少元？
（2）该空调销售公司，5月份售出15台A型空调和30台B型空调，销售额为18万元；6月份以同样的价格售出30台A型空调和40台B型空调，销售额为30万元．7月销售员小李以同样的价格销售A、B两种型号的空调共25台，得到的个人工资为8200元．请问7月销售员小李销售A、B两种型号的空调各多少台？
28．（10分）已知等边△ABC，过点B作AB的垂线交AC延长线于点D．
（1）如图1，点P为△ABD内部一点，满足∠BPC＝120°，E为PB延长线上一点，且BE＝CP，连接AE，AP，求证：△AEP为等边三角形；
（2）如图2，在（1）的条件下，点F是AB中点，连接PF并延长，交AE于点G，连接BG，若BE＝AG，求证：PF＝FG+BG；
（3）如图3，将△ABD沿着BD翻折得到△A′BD，将线段BC沿射线BD方向平移得B′C′，连接AB′、C′D，若BD＝4，当A′B′+B′C′+C′D最小时，直接写出C′D的长度．
2024-2025学年重庆市育才中学教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a3＝6a6B．2a6÷a2＝2a3
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a﹣1）2＝a2+2a+1
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，完全平方公式，平方差公式，进行解题即可．
【解答】解：A、2a2•3a3＝6a5，故该项不正确，不符合题意；
B、2a6÷a2＝2a4，故该项不正确，不符合题意；
C、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故该项正确，符合题意；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，同底数幂的乘除法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（4分）一个三角形的两边长分别是2与3，第三边的长不可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可．
【解答】解：设第三边长x．
根据三角形的三边关系，得1＜x＜5，
第三边不可能为5，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．
4．（4分）如图，△ABC≌△ADE，点A，B，E在同一条直线上，AC＝6，BE＝2，则AB的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据全等三角形的对应边相等求出AE，进而求出AB．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，AC＝6，
∴AE＝AC＝6，
∵BE＝2，
∴AB＝AE﹣BE＝6﹣2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．（4分）如图，已知∠A＝∠D，AC＝DF，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠C＝∠FB．AE＝BDC．BC＝EFD．BC∥EF
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判断方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠A＝∠D，AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，△ABC≌△DEF（ASA）；
当添加AE＝BD时，AB＝DE，△ABC≌△DEF（SAS）；
当添加BC＝EF时，不能判断△ABC≌△DEF；
当添加BC＝EF时，∠ABC＝∠DEF，△ABC≌△DEF（AAS）．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．（4分）如果一个多边形的内角和比外角和多180°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝360°+180°，
解得n＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
7．（4分）如图，在△ABC中，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CB于点D，交CA于点E，分别以点D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，射线CF交AB于点G．若∠A＝24°，∠B＝120°，则∠BCG为（ ）
A．12°B．18°C．28°D．36°
【答案】B
【分析】由作图过程可知，CG为∠ACB的平分线，可得∠BCG＝ACB．由题意可得∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝36°，进而可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，CG为∠ACB的平分线，
∴∠BCG＝ACB．
∵∠A＝24°，∠B＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝36°，
∴∠BCG＝18°．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（4分）如图图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成，图案①需15根小棒，图案②需23根小棒，图案③需31根小棒，按此规律图案⑥需要的小棒根数为（ ）
A．55B．58C．63D．66
【答案】A
【分析】根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
图案①需要的小棒根数为：15＝1×8+7；
图案②需要的小棒根数为：23＝2×8+7；
图案③需要的小棒根数为：31＝3×8+7；
…，
所以图案n需要的小棒根数为（8n+7）根，
当n＝6时，
8n+7＝55（根），
即图案⑥需要的小棒根数为55根．
故选：A．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加8是解题的关键．
9．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形的高线、中线、角平分线重合
B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形底边上的中线是它的对称轴
D．等边三角形不是轴对称图形
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念逐一判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，不符合题意；
B、顶角为60°的等腰三角形是等边三角形，符合题意；
C、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念，熟知相关知识是解题的关键．
10．（4分）已知多项式M＝a2+b2，N＝2a﹣2b+m，P＝ab+n（m，n为常数），下列说法：
①当m＞2时，无论a，b取何值，都有M+N＞0；
②若m+2n＝2且2M+N+2P＝0，则a+b＝0；
③若m＝2n，则不存在整数a，b，使得M+N﹣2P＝1．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可．
【解答】解：对于①：M+N＝a2+b2+2a﹣2b+m＝（a+1）2+（b﹣1）2+m﹣2，
∵（a+1）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴当m＞2时，M+N＞0，故①正确；
对于②：∵2M+N+2P＝0，
∴2（a2+b2）+（2a﹣2b+m）+2（ab+n）＝0，
∴2（a2+2ab+b2）+（2a﹣2b）﹣2ab+m+2n＝0，
∴2（a+b）2+2（a﹣b）﹣2ab+m+2n＝0，
∵m+2n＝2，
∴2（a+b）2+2（a﹣b﹣ab+1）＝0，
∴当a+b＝0，即a＝﹣b时，
则2（a+b）2+2b2﹣4b+2＝2（a+b）2+2（b﹣1）2≠0，
故②错误；
对于③：∵M+N﹣2P＝1，
∴a2+b2+2a﹣2b+m﹣2ab﹣2n＝1，
∴（a﹣b）2+2（a﹣b）+m﹣2n﹣1＝0，
∴（a﹣b+1）2+m﹣2n﹣2＝0，
∴a﹣b+1＝0，m﹣2n﹣2＝0，
∴a﹣b＝﹣1，m﹣2n＝2，
∵m＝2n，
∴m＝4，n＝2，
∴a2+b2+2a﹣2b+4＝0，
∴（a+1）2+（b﹣1）2+2＝0，
∵（a+1）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴不存在整数a，b，使得M+N﹣2P＝1，故③正确．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题
11．（4分）计算：﹣a2•a4＝ ﹣a6 ．
【答案】﹣a6．
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：﹣a2•a4＝﹣a2+4＝﹣a6．
故答案为：﹣a6．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．（4分）因式分解：2x2﹣8＝ 2（x+2）（x﹣2） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
13．（4分）如果点A（﹣4，m）和点B（n，3）关于y轴对称，那么m+n＝ 7 ．
【答案】7．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣4，m）和点B（n，3）关于y轴对称，
∴n＝4，m＝3，
则m+n的值是：4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，AD＝5cm，DE⊥AC交AB于点E，连CE，若△BCE的周长是22cm，则△ABC的周长等于 32 cm．
【答案】32．
【分析】根据SAS证明△AED与△CED全等，进而利用全等三角形的性质和三角形周长解答即可．
【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝CE，
∵△BCE的周长是22cm，AD＝5cm，
∴△ABC的周长＝AE+BE+BC+2AD＝EC+BE+BC+2AD＝22+2×5＝32（cm），
故答案为：32．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，关键是根据SAS证明△AED与△CED全等解答．
15．（4分）若a﹣b＝3，则代数式a2﹣b2﹣6b＝ 9 ．
【答案】9．
【分析】先将a2﹣b2分解为（a+b）（a﹣b），再将a﹣b＝3整体代入求解．
【解答】解：∵a2﹣b2﹣6b
＝（a+b）（a﹣b）﹣6b，
∴若a﹣b＝3，
原式＝3（a+b）﹣6b
＝3a+3b﹣6b
＝3a﹣3b
＝3（a﹣b）
＝3×3
＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了运用平方差公式和整体思想求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AF＝4，则BC＝ 12 ．
【答案】12．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FC＝4，得到∠BAF＝90°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，∠B＝∠C＝30°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FC＝AF＝4，
∴∠FAC＝∠C＝30°，又∠BAC＝120°，
∴∠BAF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BF＝2AF＝8，
∴BC＝BF+FC＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（4分）如图，点D是△ABC边BC上一点，点E，F分别是线段AD，BE的中点，若△ABC的面积等于36，则△CEF的面积为 9 ．
【答案】9．
【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可．
【解答】解：∵点E，F分别是线段AD，BE的中点，△ABC的面积等于36，
∴S△CDE＝S△ACD，S△BDE＝S△ABD，
∴S△BCE＝S△CDE+S△BDE＝（S△ACD+S△ABD）＝S△ABC＝18，
∴S△CEF＝S△BCE＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．
18．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α，点D是AB上一点（点D不与A，B两点重合），将△BCD沿着CD翻折，点B的对应点为点E，AC和DE交于点F．若DE∥BC，则∠ACD＝ 90°﹣ （用含α的代数式表示）．
【答案】90°﹣．
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠B＝∠CAB＝α，则∠ACB＝180°﹣2α，再根据平行线的性质及翻折的性质∠BCD＝∠EDC＝∠BDC，然后根据三角形内角和定理得∠BCD＝90°﹣，进而根据∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α，
∴∠B＝∠CAB＝α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠B+∠CAB）＝180°﹣2α，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
由翻折的性质得：∠EDC＝∠BDC，
∴∠BCD＝∠BDC，
在△BCD中，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，
∴2∠BCD+α＝180°，
∴∠BCD＝90°﹣，
∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝180°﹣2α﹣（90°﹣）＝90°﹣．
故答案为：90°﹣．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键．
三、解答题：（本大题共5个小题，19题8分，20-23题各10分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）计算：
（1）a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）；
（2）（x﹣y）（3x+y）+（2x﹣y）2．
【答案】（1）2a+1；
（2）7x2﹣6xy．
【分析】（1）利用单项式乘多项式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）利用多项式乘多项式，以及完全平方公式化简，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝a2+2a﹣（a2﹣1）
＝a2+2a﹣a2+1
＝2a+1；
（2）原式＝3x2+xy﹣3xy﹣y2+4x2﹣4xy+y2
＝7x2﹣6xy．
【点评】此题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
20．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）作△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出顶点A2的坐标；
（3）计算△A1B1C1的面积．
【答案】（1）见解答．
（2）画图见解答；A2（﹣2，﹣4）．
（3）．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，点A2的坐标为（﹣2，﹣4）．
（3）△A1B1C1的面积为＝＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
21．（10分）数学爱好者小陶发现，△ABC内角∠BAC的角平分线AD和外角∠BCH的角平分线CD交于点D，连接BD，他猜想BD平分外角∠GBC．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作AG的垂线交AG于点M．（不说明理由，只保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：∠GBD＝∠CBD．
小陶的思路是这样的，过点D作DE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AH于点F，由角平分线的性质得DM＝DF，DE＝DF，等量代换可得DM＝DE，再证明∠GBD和∠CBD这两个角所在的三角形全等得出结论．请根据这个思路补全下面的证明过程．
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DM⊥AG，DF⊥AH，
∴① DM＝DF ．
∵CD是∠BCH的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AH，
∴DE＝DF．
∴② DM＝DE ．
∵DM⊥AG，DE⊥BC，
∴∠DMB＝∠DEB＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DEB中，
∴Rt△DMB≌Rt△DEB（④ HL ）．
∴∠GBD＝∠CBD．
由此他得到结论：
三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤ 平分线 的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角．
【答案】（1）见解析；
（2）DM＝DF，DM＝DE，DB＝DB，HL，平分线．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明Rt△DMB≌Rt△DEB（HL），可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DM⊥AG，DF⊥AH，
∴①DM＝DF，
∵CD是∠BCH的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AH，
∴DE＝DF．
∴②DM＝DE．
∵DM⊥AG，DE⊥BC，
∴∠DMB＝∠DEB＝90°，
在Rt△DMB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DEB（④HL）．
∴∠GBD＝∠CBD．
由此他得到结论：
三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤平分线的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角．
故答案为：DM＝DF，DM＝DE，DB＝DB，HL，平分线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
22．（10分）如图，在△ABC中，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BD⊥AC于点D，AE与BD交于点F，且AD＝BD．
（1）求证：△ADF≌△BDC；
（2）已知BF＝6，AC＝12，求BD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）3．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠DAF＝∠DBC，利用ASA即可证明△ADF≌△BDC；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C+∠DAF＝90°，
∴∠DAF＝∠DBC，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA）；
（2）解：∵△ADF≌△BDC，
∴DF＝CD，
∵AD＝BD，AC＝AD+CD＝12，
∴BD+DF＝12，
∵BF＝6，BD＝DF+BF，
∴DF+6+DF＝12，
∴DF＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
23．（10分）如图1，某商家准备装修商铺，购买了足够多的A（边长为a的小正方形），B（边长为b的大正方形），C（长为b，宽为a的长方形）三种类型的瓷砖来铺设操作间、储藏间和大厅．
（1）操作间刚好按如图2的方式铺满，请求出操作间的面积S（用含a，b的代数式表示）；
（2）请通过计算说明：铺满长为（3a+b），宽为（a+2b）的储藏间和长为（4a+3b），宽为（2a+3b）的大厅共需要A，B，C三类瓷砖各多少块？（瓷砖均用整块，无空隙无重叠）；
（3）若一块C类瓷砖的周长为32，一块B类瓷砖和一块A类瓷砖的面积之差为64，求操作间、储藏间和大厅的面积之和．
【答案】（1）4a2+8ab+3b2；
（2）A，B各11块，C类瓷砖25块；
（3）3920．
【分析】（1）观察图形，找出图2的长与宽，利用长方形面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则进行计算即可；
（2）根据长方形的面积公式，列出算式，利用多项式乘多项式法则求出储藏间和大厅的面积和，根据计算结果求出答案即可；
（3）根据已知条件列出关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，然后求出操作间、储藏间和大厅的面积之和，并化简，最后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：操作间的长为2a+3b，宽为2a+b，
∴操作间的面积S＝（2a+3b）（2a+b）
＝4a2+2ab+6ab+3b2
＝4a2+8ab+3b2；
（2）由题意得：储藏间和大厅的面积和为：
（3a+b）（a+2b）+（4a+3b）（2a+3b）
＝3a2+6ab+ab+2b2+8a2+12ab+6ab+9b2
＝11a2+25ab+11b2，
∴共需要A，B各11块，C类瓷砖25块；
（3）由题意可知：2a+2b＝32，b2﹣a2＝64，
∴a+b＝16①，（b+a）（b﹣a）＝64，
∴b﹣a＝4②，
①+②得：b＝10，
把b＝10代入①得：a＝6
∴操作间、储藏间和大厅的面积之和为：
4a2+8ab+3b2+11a2+25ab+11b2
＝4a2+11a2+11b2+3b2+8ab+25ab
＝15a2+14b2+33ab
＝15×62+14×102+33×10×6
＝15×36+14×100+33×10×6
＝540+1400+1980
＝3920．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．
四、填空题：（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
24．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，且关于z的不等式组无解，那么所有符合条件的整数k的和为 9 ．
【答案】9．
【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出k的范围，最后得出答案即可．
【解答】解：解方程组，
①+②得3x+3y＝﹣4+k，即x+y＝，
∵x+y≤0，
∴，
∴k≤4，
，
解不等式①得：z＞2k+1，
解不等式②得：x＜5，
又∵关于z的不等式组无解，
∴2k+1≥5，
解得：k≥2，
即2≤k≤4，
∴所有符合条件的整数k为：2、3、4，
∴所有符合条件的整数k和为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键．
25．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB的中点，且，以D为直角顶点作等腰直角△DEF，点E，F分别是边AC，CB延长线上的一点，连接AF，DE，DF．有如下结论：①△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°；②△ADE≌△CDF；③S△ADF＝S△BEF；④若点G为AF的中点，连接DG，则CE＝2DG．其中正确的有 ①②④ （填写正确结论的序号）．
【答案】①②④．
【分析】根据直角三角形的判定定理得到∠ACB＝90°，求得△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，故①正确；根据等腰直角三角形的性质得到DE＝DF，∠EDF＝90°，求得∠ADC＝∠EDF＝90°，根据全等三角形的判定定理得到△ADE≌△CDF（SAS），故②正确；由点D是AB的中点，得到S△ADF＝S△DBF，根据全等三角形的性质得到∠AED＝∠CFD，CE＝BF，过D作DH⊥BC于H，求得DH＝，得到S△DBF＝BF•DH，S△BEF＝BF•CE，而无法证得DH＝CE，于是得到S△ADF与S△BEF不一定相等，故③错误；根据三角形中位线定理得到CE＝2DG，故④正确．
【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC，点D是AB的中点，且，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，故①正确；
∵△DEF是等腰直角△DEF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
∵△ABC为直角三角形，AD＝BD，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝90°+∠CDE，∠CDF＝90°+∠CDE，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），故②正确；
∵点D是AB的中点，
∴S△ADF＝S△DBF，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠AED＝∠CFD，
∵∠DCE＝180﹣45°＝135°，∠DBF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DCE＝∠DBF，
∴△DCE≌△DBF（AAS），
∴CE＝BF，
过D作DH⊥BC于H，
∴DH＝，
∴S△DBF＝BF•DH，S△BEF＝BF•CE，
而无法证得DH＝CE，
∴S△ADF与S△BEF不一定相等，故③错误；
∵点G为AF的中点，
∴DG是△ABF的中位线，
∴DG＝，
∴CE＝2DG，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
26．（4分）一个四位自然数m，如果m满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，将m的千位数字和百位数字顺次组成的两位数记为p，将m的十位数字与个位数字顺次组成的两位数记为q，记，若F（m）为整数，则称数m为“行知数”，例如：m＝1375，可得p＝13，q＝75，则，故1375是一个“行知数”．按照这个规定，最小的“行知数”是 1243 ；若“行知数”n能被8整除，则满足条件n的最大值是 9856 ．
【答案】1243；9856．
【分析】依题意，弄清楚新定义“行知数”，按照新定义求解即可．
【解答】解：①依题意，为了使“行知数“最小，
应使p和q 最小，且p+q能被11整除，
最小可能的p和q 分别为12和43，
此时F（m）＝4，满足条件，
因此，最小的“行知数“为1243；
故答案为：1243；
②为了使“行知数“最大且能被8整除，
应使n的千位和百位数字最大，
同时保证n的最后三位数字能被8整除，
最大的三位数字组合为856，此时n的千位数字为9，
最大“行知数“为9856，满足条件，
因此，若“行知数”n能被8整除，则满足条件n的最大值是9856．
故答案为：9856．
【点评】本题考查了新定义运算题目，做题的关键是找准新定义求解即可．
五、解答题：（本大题共2个小题，27题8分，28题10分，共18分）解答时每小题必须给28出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中（对应的位置上.
27．（8分）某品牌空调销售公司销售A、B两种型号的空调．该公司为了提高销售人员的积极性，制定了新的工资方案．方案规定：个人工资＝基本工资+奖励工资．每位销售人员的基本工资是4000元，月销售定额为6万元．在销售定额内，只得基本工资4000元；超过销售定额，超未过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，如下表：
（1）某销售人员希望每个月至少要领取6000元的个人工资，则该销售人员每月的销售额至少为多少元？
（2）该空调销售公司，5月份售出15台A型空调和30台B型空调，销售额为18万元；6月份以同样的价格售出30台A型空调和40台B型空调，销售额为30万元．7月销售员小李以同样的价格销售A、B两种型号的空调共25台，得到的个人工资为8200元．请问7月销售员小李销售A、B两种型号的空调各多少台？
【答案】（1）该销售人员每月的销售额至少为84000元；
（2）7月销售员小李销售10台A型空调，15台B型空调．
【分析】（1）设该销售人员每月的销售额为x元，求出销售额为8万元及10万元时的个人工资，由5600＜6000＜7600，可得出80000＜x＜100000，结合该销售人员希望每个月至少要领取6000元的个人工资，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（2）设5月份A型空调的销售单价为m元，B型空调的销售单价为n元，根据“5月份售出15台A型空调和30台B型空调，销售额为18万元；6月份以同样的价格售出30台A型空调和40台B型空调，销售额为30万元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，设7月销售员小李销售a台A型空调，b台B型空调，根据“7月销售员小李以同样的价格销售A、B两种型号的空调共25台，得到的个人工资为8200元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该销售人员每月的销售额为x元，
∵4000+（80000﹣60000）×8%＝5600（元），5600+（100000﹣80000）×10%＝7600（元），5600＜6000＜7600，
∴80000＜x＜100000．
根据题意得：5600+（x﹣80000）×10%≥6000，
解得：x≥84000，
∴x的最小值为84000．
答：该销售人员每月的销售额至少为84000元；
（2）设5月份A型空调的销售单价为m元，B型空调的销售单价为n元，
根据题意得：，
解得：，
∴A型空调的销售单价为6000元，B型空调的销售单价为3000元．
设7月销售员小李销售a台A型空调，b台B型空调，
根据题意得：，
解得：．
答：7月销售员小李销售10台A型空调，15台B型空调．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
28．（10分）已知等边△ABC，过点B作AB的垂线交AC延长线于点D．
（1）如图1，点P为△ABD内部一点，满足∠BPC＝120°，E为PB延长线上一点，且BE＝CP，连接AE，AP，求证：△AEP为等边三角形；
（2）如图2，在（1）的条件下，点F是AB中点，连接PF并延长，交AE于点G，连接BG，若BE＝AG，求证：PF＝FG+BG；
（3）如图3，将△ABD沿着BD翻折得到△A′BD，将线段BC沿射线BD方向平移得B′C′，连接AB′、C′D，若BD＝4，当A′B′+B′C′+C′D最小时，直接写出C′D的长度．
【答案】（1）证明过程详见解答；
（2）证明过程详见解答；
（3）．
【分析】（1）可证明△ABE≌△ACP，从而∠CAP＝∠BAE，AP＝AE，进一步得出结论；
（2）延长PF至H，使FH＝PF，连接AH，可证得△AFH≌△BFP，∠H＝∠BPG，AH＝BP，进而证明△AHG≌△EGB，从而GH＝BG，进一步得出结论；
（3）作直线CC′，点D关于CC′的对称点D′，DD′交CC′于点O，作A′A″∥BD，截取A′A″＝2，将A″向上平移单位至F，连接D′F，作CG⊥BD于G，作FE⊥DD′，交D′D的延长线于点E，D′F交CC′于点C″，当C′在C″处时，A′B′+B′C′+C′D最小，进一步得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BPC＝120°，
∴∠BPC+∠BAC＝180°，
∴∠ACP+∠ABP＝180°，
∵∠ABP+∠ABE＝180°，
∴∠ACP＝∠ABE，
∵BE＝CP，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴∠CAP＝∠BAE，AP＝AE，
∴∠CAP+∠BAP+∠BAE+∠BAP，
∴∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴△AEP是等边三角形；
（2）证明：如图1，
延长PF至H，使FH＝PF，连接AH，
∵F是AB的中点，
∴AF＝BF，
∵∠AFH＝∠PFB，
∴△AFH≌△BFP（SAS），
∴∠H＝∠BPG，AH＝BP，
∴AH∥BP，
∴∠HAG＝∠E，
由（1）得，
△AEP是等边三角形，
∴AE＝EP，
∵AG＝BE，
∴BG＝BP＝AH，
∴△AHG≌△EGB（SAS），
∴GH＝BG，
∴PF＝FH＝FG+GH＝FG+BG；
（3）解：如图2，
作直线CC′，点D关于CC′的对称点D′，DD′交CC′于点O，作A′A″∥BD，截取A′A″＝2，将A″向上平移单位至F，连接D′F，作CG⊥BD于G，作FE⊥DD′，交D′D的延长线于点E，D′F交CC′于点C″，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠CBD＝∠ADB＝30°，
∴BC＝CD，A′B＝AB＝BD＝，
∴BG＝DG＝，
∴CG＝，
∴DD′＝2CG＝，
∴A′A′′＝EF＝2，DE＝A′B﹣A″F＝，
∴D′E＝DD′+DE＝，
∴D′F＝＝4，
∴∠ED′F＝30°，
∴C″D′＝，
∴C″D＝C″D′＝，
当C′在C″处时，A′B′+B′C′+C′D最小，
∴此时C′D的最小值是．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称和平移的性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是通过平移和轴对称得出最值的位置．奖励工资档次
销售额
奖励工资占超过销售定额部分的比例
第一档
超过6万元但不超过8万元的部分
8%
第二档
超过8万元但不超过10万元的部分
10%
第三档
10万元以上的部分
12%
奖励工资档次
销售额
奖励工资占超过销售定额部分的比例
第一档
超过6万元但不超过8万元的部分
8%
第二档
超过8万元但不超过10万元的部分
10%
第三档
10万元以上的部分
12%