重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份重庆市渝北中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，是无理数的（ ）
A．﹣2B．3.1415C．D．
2．（4分）中国代表队在第33届巴黎奥运会上取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上取得了突破，以下奥运比赛项目图标中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）如图，∠1＝∠2＝45°，∠3＝2∠4，则∠4的度数为（ ）
A．60°B．45°C．55°D．67.5°
4．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转36°后得到△COD，若∠AOB＝24°，则∠AOD的度数是（ ）
A．24°B．12°C．36°D．60°
5．（4分）下列计算中，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）下列命题中：
①直径是弦；
②经过三个点可以确定一个圆；
③三角形的外心到三角形三边的距离相等；
④平分弦的直径垂直于这条弦；
⑤弦的垂直平分线经过圆心；
⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
7．（4分）一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是160m2时，设所围的羊舍与墙平行的边长为x m，则根据题意可得方程为（ ）
A．x（34﹣x）＝160B．
C．D．x（18﹣x）＝160
8．（4分）如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O．若BD＝6，则AB的长是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）直线y＝kx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①4a+c＜0；②（2，y1）与（﹣0.5，y2）是抛物线上的两个点，则y1＞y2；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1；④当时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）已知多项式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x＝﹣1，则A2＝0；
②若为整数，则整数x的值为2或6；
③的最小值为；
④令，则．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上．
11．（4分）＝ ．
12．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 ．
13．（4分）已知（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝ ．
14．（4分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠E＝130°，则∠C的度数为 °．
15．（4分）对于二次函数y＝﹣x2+2x+3，当0＜x＜4时，y的取值范围为 ．
16．（4分）若数a使关于x的不等式组至少有5个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE，则CE的长为 ．
18．（4分）若一个四位自然数M的千位数字、百位数字与十位数字的和恰好等于个位数字的平方，则称这个四位数M为“方和数”．若“方和数”且（1≤a、b、c、d≤9），将“方和数”M的千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调得到新数N，规定，若G（M）为整数，M+N除以13余7，则b+c的值为 ，满足条件的M的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题每题10分，共78分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（8分）计算或化简：
（1）2x4•x2+（﹣x3）2+（﹣2x2）3；
（2）．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC交BC于点D．点E是线段AD上一点，连接BE，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在BC的右边作∠BCF＝∠EBD，射线CF交AD的延长线于点F，连接BF，FC．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：四边形BECF是菱形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴ ，
∴BE＝CE．
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF．
∵∠EBD＝∠BCF，
∴ ，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵ ，
∴四边形BECF是菱形．
21．（10分）为了解A、B两款品质相近的智能玩具在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具各10个，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行了整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：
A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间是：
60，64，67，69，69，72，72，72，73，82
B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：
70，74，72，72，73
两款智能玩具运行最长时间统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某玩具仓库有A款智能玩具200个、B款智能玩具120个，估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的共有多少个？
22．（10分）春节期间，某水果店购进了100千克水蜜桃和50千克苹果，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的价格出售，苹果以每千克20元的价格出售，当天两种水果均全部售出，水果店获利1800元．
（1）求水蜜桃的进价是每千克多少元？
（2）第一批水蜜桃售完后，该水果店又以相同的进价购进了300千克水蜜桃，商家见第一批水果卖得很好，于是第一天将水蜜桃价格涨价到每千克17元的价格出售，售出了8a千克，由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店将水蜜桃的价格在原先每千克16元的基础上还降低了0.1a元，到了晚上关店时，还剩20千克没有售出，店主便将剩余水蜜桃分发给了水果店员工们，结果这批水蜜桃的利润为2980元，求a的值．
23．（10分）如图1是城市广场地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，已知，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA＝90°，且AC＝2.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC＝30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE与AB的夹角∠EBD＝60°，又测得若AD＝1.0m．
（1）求出该支架的边BE的长（结果保留根号）．
（2）若停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度EF合格标准是不超过3.5米，问安装雨棚的高度是否合格？（结果精确至0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CE⊥AB于点E，AE＝8，BE＝CE＝4，DC＝2．动点P从点A出发，沿A→B方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线E→C→D方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，△PEQ的面积为y．
（1）请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出△PEQ的面积小于3时x的取值范围．
25．（10分）如图：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（2，0），B（3，0），交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，点P在直线BC上方抛物线上运动，过点P作PE⊥BC，PF⊥x轴于点F，求的最大值，以及此时点P的坐标．
（3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B′，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得∠MNB′＝∠C′B′N，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
26．（10分）在等边△ABC中，点E是AC上一点，点D是BC上一点，BE与AD交于点F，且∠AFE＝60°．
（1）如图1，若，求AD的长度；
（2）如图2，延长BE至点G，使得∠BGC＝60°，连接CG，点H为AC中点，连接GH，FC，求证：FC＝2GH；
（3）如图3，，点D为BC中点，将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，动点P在线段CQ上运动（包括端点），连接AP、BP，将AP绕点P顺时针旋转60°得到PA′，将BP绕点P逆时针旋转120°得到PB′，连接．A′B′，点M为A′B′的中点，求MF的取值范围．
2024-2025学年重庆市渝北中学教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．【分析】根据无理数的定义解答即可．
【解答】解：是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案．
【解答】解：选项A、C、D中的图形不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．
3．【分析】由∠1＝∠2＝45°得a∥b，根据平行线的性质得∠4＝∠5，通过邻补角互补即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2＝45°，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝2∠4，∠3+∠5＝180°，
∴2∠4+∠4＝180°，
∴∠4＝60°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
4．【分析】根据旋转的性质即可解决问题．
【解答】解：由旋转可知，
∠BOD＝36°，
又∵∠AOB＝24°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝36°﹣24°＝12°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
5．【分析】根据二次根式的乘除法则对A、C进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；运用完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：，故选项A正确，不符合题意；
，故选项B正确，不符合题意；
，故选项C错误，符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．【分析】利用弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理逆定理判断即可．
【解答】解：①直径是弦，是真命题；
②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原命题是假命题；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；
⑤弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；
⑥在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；
综上所述，正确的有①⑤，共2个，
故选：A．
【点评】此题考查了弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理逆定理等，命题与定理，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．
7．【分析】设所围的羊舍与墙平行的边长为x m，根据长方形的面积公式可得方程．
【解答】解：根据题意可得方程为：，
故选：B．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
8．【分析】过点O作OH⊥AB于点H，交于点M，连接AM，根据折叠的性质得到AB垂直平分OM，所以AO＝AM，再判断△AOM为等边三角形得到∠AOM＝60°，接着根据垂径定理得到AH＝BH，然后证明OH是△ABD的中位线得到，最后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA的长，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，交于点M，连接AM，
∵将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，
∴AB垂直平分OM，
∴AO＝AM，
∴AM＝OM＝AO，
∴△AOM为等边三角形，
∴∠AOM＝∠MAO＝60°，
∴∠OAH＝30°，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵OA＝OD，
∴OH是△ABD的中位线，
∴，
又∵∠OAH＝30°，
∴OA＝2OH＝6．
∴AD＝2OA＝12，
∴AB＝＝＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和折叠的性质，圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解题的关键．
9．【分析】将点（3，0）代入y＝ax2+bx+c，结合b＝﹣2a得出4a+c＝a由此判断①，再由开口方向，和增减性来比较y1，y2的大小，由此判断②，根据图象与x轴的交点和对称性判断③，将y＝ax2+（b﹣k）x化成顶点式，得出当时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，再由b＝﹣2a，3a+c＝0，和k＝a得出当时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，由此判断④即可．
【解答】解：①∵抛物线过点（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∴4a+c＝a＜0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大，
∵（2，y1）与（0，y1）关于对称轴对称，
∵，
∴y2＜y1，故②正确；
③∵（3，0）与（﹣1，0）关于对称轴对称，
∴当y＝0时，ax2+bx+c＝0，
x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；
④∵，
∵a＜0，
∴当时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，
∵直线y＝kx+c过点（3，0），
∴3k+c＝0，c＝﹣3k，
由②可知，3a+c＝0，
∴k＝a，
∵b＝﹣2a，
∴，
∴当时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，故④正确．
正确的有①②③④．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图形和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求 解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可．
【解答】解：①当x＝﹣1时，，故①正确；
②当为整数时，则为整数，
∵x取大于2的整数，x﹣1为整数，取整数，整数x的值可以为﹣4时，＝﹣1，故②不正确；
③原式＝，当时， 的最小值为，故③错 误；
④根据分母有理化算出，
从而得出B1+B2+B3+…+B100＝＝，故④不正确．
故选：A．
【点评】此题考查一个数为整数、求最值、分母有理化的思路方法，综合考查学生观察、分析问题的能力及计算能力．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题答案填写在答题卡中对应的横线上．
11．【分析】根据负整数指数幂、有理数的乘方法则、有理数的加法法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝﹣1+4＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查负整数指数幂、有理数的加法、有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得，n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
13．【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0且|m+1|＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m+1|﹣3x﹣5＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0且|m+1|＝2，
解得：m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0且|m+1|＝2是解此题的关键．
14．【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质求出∠ABD的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出∠BAD的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E+∠ABD＝180°，
∵∠E＝130°，
∴∠ABD＝180°﹣130°＝50°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣2×50°＝80°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
15．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当0＜x＜4时y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该函数图象开口向下，当x＝1有最大值4，
∴当x＝0时，y＝3，当x＝4时，y＝﹣5，
∵0＜x＜4，
∴y的取值范围为﹣5＜y≤4，
故答案为：﹣5＜y≤4．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
16．【分析】解不等式，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a，相加即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤11，
解不等式②，得：x＞a，
∵不等式组至少有五个整数解，
∴a＜7，
，
a﹣3+2＝2（y﹣1），
a﹣1＝2y﹣2，
，
∵y﹣1≠0，
∴y≠1，
∴，
∴a≠1，
∵y≥0，
∴，
∴a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜7且a≠1，a为整数，
∵为整数，
∴a可以取﹣1，3，5，
∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和分式方程，本题需要注意的地方是必须对分式方程的根进行检验．
17．【分析】连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝8，AB＝6，
∴BC＝＝10，
∵CD＝DB，
∴AD＝DC＝DB＝5，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝4.8，
∵AE＝AB，DE＝DB＝DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝4.8，
∴BE＝2OB＝9.6，
在Rt△BCE中，EC＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．
18．【分析】根据题意易得，a+b+c＝d2，N＝；将G（M）进行整理化简，可得G（M）＝，因其为整数，所以1﹣（b+c）是9的倍数，则b+c＝10；因为d2＝a+b+c＝a+10，所以d＝4，a＝6；然后根据M+N除以13余7，可计算出b、c的值，则M的值即可求得．
【解答】解：根据题意得：a+b+c＝d2，N＝；
，
∵1≤b、c≤9，G（M）为整数，
∴1﹣（b+c）是9的倍数，
则b+c＝10；
∵d2＝a+b+c＝a+10，1≤a、d≤9，
∴d＝4，a＝6；
根据题意，M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b，M+N﹣7为13的倍数，
∴M+N﹣7＝1010a+1010c+101b+101d﹣7＝101（10a+10c+b+d）﹣7，
整理化简得，M+N﹣7＝101（74+9c）﹣7＝101（9c+9×8+2）﹣7＝909（c+8）+195，
∵195＝13×15，
∴909（c+8）也是13的倍数，
即c+8＝13，因此c＝5，b＝5；
∴满足条件的M的值为：6554．
故答案为：10；6554．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，关键在于应用因式分解的知识，对M+N﹣7进行整理化简，从而确定c+8＝13，则M的值可解．
三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余各题每题10分，共78分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．【分析】（1）先算幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，再把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：（1）2x4•x2+（﹣x3）2+（﹣2x2）3
＝2x6+x6+（﹣8x6）
＝﹣5x6；
（2）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先根据等腰三角形三线合一的性质得出BD＝CD，然后根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE，然后利用ASA证明△BED≌△CFD，从而可以证明BE∥CF，最后根据菱形判定证明即可．
【解答】（1）解：如图，
∠BCF即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BE＝CE，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF，
∵∠EBD＝∠BCF，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
故答案为：BD＝CD；∠BDE＝∠CDF；BE∥CF；BE＝CE．
【点评】本题考查了尺规作图，菱形的判定等知识，掌握基本作图方法，菱形的判定等知识是解题的关键．
21．【分析】（1）根据众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的值；
（2）可比较中位数，众数与方差得出结论；
（3）利用样本估计总体：玩具总个数乘中等及以上所占比例即可求解．
【解答】解：（1）A款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，
故众数a＝72，
B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间合格的有10×40%＝4（个），
∴B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间把从小到大排列，排在中间的两个数是70和72，故中位数为：b＝＝71，
由题意得：m%＝1﹣0.5﹣0.4，
解得：m＝10；
故答案为：72，71，10；
把B款智能玩具10个一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，
故中位数b＝＝70.5，
m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．
故答案为：72，70.5，10；
（2）B款智能玩具运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具运行最长时间的平均数相同，但B款智能玩具运行最长时间的中位数高于A款智能玩具，而方差小于A款智能玩具，所以B款智能玩具运行性能更好（答案不唯一）；
（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（个），
答：估计两款智能玩具运行性能在中等及以上的大约共有192个．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
22．【分析】（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出水蜜桃的进价；
（2）利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货成本，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设水蜜桃的进价是每千克x元，则苹果的进价是每千克1.2x元，
依题意得：（16﹣x）×100+（20﹣1.2x）×50＝1800，
解得：x＝5．
答：水蜜桃的进价是每千克5元；
（2）17×8a+（16﹣0.1a）×（300﹣8a﹣20）﹣5×300＝2980，
整理得：0.8a2﹣20a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值是25．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB，从而求出BD的长，再在Rt△EDB中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答；
（2）过点B作BO⊥EF，垂足为O，先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，从而求出OF的长，再根据已知可求出∠EBO＝30°，然后在Rt△EOB中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出EF的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝2.5m，
∴AB＝＝＝（m），
∵AD＝1m，
∴BD＝AB﹣AD＝（﹣1）m，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
在Rt△EDB中，∠EBD＝60°，
∴BE＝＝＝2BD＝（﹣2）m，
∴该支架的边BE的长为（﹣2）m；
（2）过点B作BO⊥EF，垂足为O，
则OF＝BC，OB∥CF，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝2.5m，
BC＝AC•tan30°＝2.5×＝（m），
∴OF＝BC＝m，
∵OB∥CF，
∴∠OBA＝∠BAC＝30°，
∵∠EBD＝60°，
∴∠EBO＝∠EBD﹣∠OBA＝30°，
在Rt△EOB中，EO＝EB•sin30°＝（﹣2）×＝（﹣1）m，
∴EF＝EO+OF＝﹣1+＝﹣1≈3.3（m），
∵3.3m＜3.5m，
∴安装雨棚的高度是合格的．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．
24．【分析】（1）由三角形的面积公式可求解；
（2）根据题意画出图象；根据图象可得函数值的最大值为4；
（3）分两种情况讨论，列出等式可求解．
【解答】解：（1）当0≤x≤4时，AP＝2x，EQ＝x，
∴PE＝8﹣2x，
∴y＝x（8﹣2x）＝4x﹣x2，
当4＜x≤6时，PE＝2x﹣8，
∴y＝×4×（2x﹣8）＝4x﹣16，
综上所述：y＝；
（2）如图1：
该函数的性质：函数值的最大值为8；
（3）如图2，
当0＜x＜4，y＝3时，则4x﹣x2＝3，
∴x＝1或3，
当4＜x≤6，y＝3时，则4x﹣16＝3，
∴x＝，
综上所述：△PEQ的面积小于3时x的取值范围为0＜x＜1或3＜x＜4或4＜x＜．
【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键．
25．【分析】（1）根据顶点式，设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），把点C（0，3）代入即可求解；
（2）根据题意可得，△BOC是等腰直角三角形，并求出直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设BC与PF交于点G，可得△PEG是等腰直角三角形，则，设，则G（p，﹣p+3），F（p，0），且A（﹣2，0），，AF＝p+2，结合二次函数图象的性质即可求解；
（3）根据抛物线的平移可得C′（0，2），B′（4，0），N（1，3），并求出直线B′C′的解析式，分类讨论：第一种情况，过点N作NM1∥B′C′，交抛物线于点M1，运用待定系数法求出直线M1N的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解；第二种情况，作∠BNM2＝∠C′B′N，交抛物线于点M2，接触直线NH的解析式为y＝﹣2x+5，联立抛物线为方程组即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0），点B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）（x﹣3），
把点C（0，3）代入可得，﹣6a＝3，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+3；
（2）∵B（3，0），C（0，3），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝3，即△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝OCB＝45°，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵点B（3，0），点C（0，3）．
∴，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
如图1，设BC与PF交于点G，
∵PE⊥BC，PF⊥x轴，
∴∠PEG＝∠BFG＝90°，且∠OBC＝45°，
∴∠PGE＝∠BGF＝90°﹣45°＝45°，
∴△PEG是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则G（p，﹣p+3），F（p，0），且A（﹣2，0），
∴，AF＝p+2，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴；
（3）存在点M，点M的横坐标为xM＝3或xM＝6；理由如下：
∵抛物线，
∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：，
令x＝0，则y＝2，令y＝0，则，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴C′（0，2），B′（4，0），
∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A（﹣2，0）到y轴的距离的一半，
∴，且0＜xN＜4，
把xN＝1代入得：
y＝3，
∴N（1，3），
∵B′（4，0），C′（0，2），
∴设直线B′C′的解析式为y＝mx+n（m≠0），把点B，点C′的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线B′C′的解析式为，
第一种情况，过点N作NM1∥B′C′，交抛物线于点M1，则∠M1NB′＝∠C′B′N，如图2，
∴设直线M1N的解析式为，把点N（1，3）代入得：
，
解得，
∴直线M1N的解析式为：，
联立新抛物线与直线M1N为方程组得：
，
解得（不合题意，舍去）或，
∴M1（3，2）；
第二种情况，作∠B′NM2＝∠C′B′N，交抛物线于点M2，交直线B′C′于点H，如图3，
∴HN＝HB′，
设，且N（1，3），B′（4，0），
∴，，
∴，
解得，h＝2，
∴H（2，1），
设直线NH的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），将点N，H的坐标代入得：
，
解得，
∴直线NH的解析式为y＝﹣2x+5，
联立抛物线与直线NH为方程组得，
解得（不合题意，舍去）或，
∴M2（6，﹣7）；
综上所述，存在点M，使得∠MNB′＝∠C′B′N，点M的坐标为（3，2）或（6，﹣7）．
【点评】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键．
26．【分析】（1）过点A作AT⊥BC于点T，根据已知条件证明△ABD≌△BCE（ASA），得出，在Rt△ABT，Rt△ADT中，勾股定理即可求解；
（2）延长AF至M，使得FM＝BF，连接BM，证明△ABM≌△BCG（ASA），得出AM＝BG，证明△AFG是等边三角形，延长CG至N，使得GN＝CG，证明△AGN≌△FGC（SAS），得出AN＝FC，根据中位线的性质得出，等量代换，即可得证；
（3）连接PM，将PB绕点P逆时针旋转60°得到PB″，连接B′B″则△PB′B″是等边三角形，根据中位线的性质，旋转的性质得出M的轨迹为平行于BC的一条线段，且，进而找到FM最大值和最小值的位置，勾股定理，即可求解．
【解答】（1）解：如图所示，过点A作AT⊥BC于点T，
∵等边△ABC中，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠AFE＝∠BFD＝∠BAF+∠ABF＝60°，
又∵∠ABF+∠EBC＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD，△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴，
在Rt△ABT中，，，
∴，
在Rt△ADT中，；
（2）证明：如图所示，
延长AF至M，使得FM＝BF，连接BM，
∵∠BFM＝∠AFE＝60°，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF＝FM＝BM，
设∠BAD＝α，
由（1）可得∠GBC＝∠BAM＝α，
∴∠ABM＝180°﹣α﹣60°＝120°﹣α，
又∵∠BGC＝60°，
∴∠BCG＝120°﹣α，
∴∠ABM＝∠BCG，
在△ABM，△BCG中，
，
∴△ABM≌△BCG（ASA），
∴AM＝BG，
又∵BF＝FM，
∴AF＝FG，
∵∠AFG＝60°
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝FG，∠AGF＝60°，
延长CG至N，使得GN＝CG，
∴∠AGN＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AGN＝∠FGC，
在△AGN，△FGC中，
，
，∴△AGN≌△FGC（SAS），
∴AN＝FC，
∵AH＝HC，GN＝GC，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接PM，将PB绕点P逆时针旋转60°得到PB″，连接B′B″则△PB′B″是等边三角形，
∵将△ABC沿AC折叠得到四边形ABCQ，
∴四边形ABCQ是菱形，
依题意，B′，P，B″三点共线，且PB′＝PB″，
又PA′＝PA，PB′＝PB，∠A′PB″＝∠APB＝60°
∴△A′PB″≌△APB（SAS），
∴，
∵M为A′B′的中点，
∴，PM∥A′B″，
∵∠A′B″P＝∠ABP，
∴∠A′B″P+∠PBC＝∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠A′B″B+∠B″BC＝∠A′B″P+∠PBC+∠PB″B+∠PBB″＝60°+60°+60°＝180°，
∴A′B″∥BC，
∵AQ∥BC，
∴A′B″∥AQ，
∴PM∥BC，
∴M的轨迹为平行于BC的一条线段，且，
∵，点 D为BC中点，则AD⊥BC，
由（1）可得CE＝BD，则E为AC的中点，则FB＝FC＝AF，
在Rt△ABD中，，
∴AD＝3，
∵，
∴，
∴DF＝1，AF＝2，
如图所示，当P，Q重合时，FM取得最大值，此时如图所示，
∵AA′＝AB，∠BAQ＝120°，∠QAA＝60°，
则B，A，A′共线，
∴，
在Rt△AFM中，，
如图所示，当C，P重合时，FM最小，
在Rt△FDM中，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
类别
A
B

B款智能玩具运行最长时间扇形统计图
平均数
70
70
中位数
70.5
b
众数
a
67
方差
31.2
26.6