北京市第五实验教育集团、钱学森中学教育集团联合2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份北京市第五实验教育集团、钱学森中学教育集团联合2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．（2分）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x﹣3）2﹣1
C．y＝2（x+3）2﹣1D．y＝2（x﹣3）2+1
3．（2分）把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B．
A．．先向右平移5格，再向上平移2格
B．．先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格
C．．先以直角顶点为中心顺时针旋转90°，再向右平移5格
D．．先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°
4．（2分）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
5．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
6．（2分）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD＝DC，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝，经过点A（2，0）．以下结论：
①﹣＞0；
②b2﹣4ac＝0；
③abc＜0；
④a+b+c＜0；
⑤若（，y1），（﹣，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．①④⑤
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．（2分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ．
10．（2分）抛物线y＝3（x+2）2+1的顶点坐标是 ．
11．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，则2023﹣6m2+9m的值为 ．
12．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（2分）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．
14．（2分）如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8cm，EB＝4cm，则OG＝ cm．
15．（2分）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝12，BC＝5，则AG的长为 ．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解方程：（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．
19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝3，OC＝2，求AO的长．
20．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2，求原正方形空地的边长．
22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（5，2），B（5，5），C（1，1）．
（1）△ABC向左平移3个单位得到的△A1B1C1，则点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为A1（ ），B1（ ），C1（ ）．
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C．
（3）请计算四边形ACA2B2的面积．
23．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元（x≥100），每小时的销售利润为w元．
（1）求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
24．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
26．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．
（1）用含a的代数式表示b为 ；
（2）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求此时a的值；
（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＜2时，求a的取值范围．
27．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为 ；
（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
28．定义：函数图象G上的点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差y﹣x叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象G的“幸福值”如：抛物线y＝x2上有点P（4，16），则点P的“双减差”为12；而抛物线y＝x2上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：
（1）已知函数图象上点P的横坐标x＝1，求点P的“双减差”y﹣x的值；
（2）若直线y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”为k2（k＞1），求k的值；
（3）设抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9，当时，抛物线y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．
2024-2025学年北京市第五实验教育集团、钱学森中学教育集团联合九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1．（2分）“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义可得答案．
【解答】解：由各选项图形可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的A选项．
故选：A．
【点评】本题考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（2分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2+1B．y＝2（x﹣3）2﹣1
C．y＝2（x+3）2﹣1D．y＝2（x﹣3）2+1
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x+3）2，再向上平移1个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+1．
故选：A．
【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
3．（2分）把如图中的三角形A（ ）可以得到三角形B．
A．．先向右平移5格，再向上平移2格
B．．先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格
C．．先以直角顶点为中心顺时针旋转90°，再向右平移5格
D．．先向右平移5格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°
【分析】把直角顶点当作关键点，可以借助直角顶点的移动位置判断移动后是否重合．
【解答】解：先向右平移7格，再以直角顶点为中心逆时针旋转90°，然后向上平移1格，三角形A可以得到三角形B．故选项B符合题意；
其他三个选项，都向右只平移5格，三角形A不能得到三角形B．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的性质，判断移动和旋转后的图形是否能够重合是解题关键．
4．（2分）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝﹣3D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x1＝﹣3，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
5．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝110°，则∠BOD的度数为（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（2分）如图，⊙O的半径为9，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交OC于点D，若OD＝DC，则弦AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据翻折变换求出OD＝CD＝3，OC＝6，根据垂径定理求出AC＝BC，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为9，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OD＝CD＝9＝3，OC＝OD+CD＝6，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴∠ACO＝90°，AC＝BC，即AB＝2AC，
连接OA，
由勾股定理得：AC＝，
即AC＝BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，翻折变换，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出AC＝BC是解此题的关键．
7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，AB，CE相交于点F，若AD∥CE时，则∠BAE的大小是（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【分析】由旋转的性质得出∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEC＝50°，由等腰三角形的性质得出∠ACE＝∠AEC＝50°，可求出∠EAC＝80°，则可求出答案．
【解答】解：∵将△ABC绕着点A顺时针方向旋转得△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∵AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEC＝50°，
∴∠ACE＝∠AEC＝50°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BAE＝∠EAC﹣∠BAC＝80°﹣50°＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．（2分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝，经过点A（2，0）．以下结论：
①﹣＞0；
②b2﹣4ac＝0；
③abc＜0；
④a+b+c＜0；
⑤若（，y1），（﹣，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③B．①③⑤C．②③④D．①④⑤
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣可判断①，由抛物线与x轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y轴交点位置可判断③，由抛物线经过（2，0）及抛物线的对称性可判断④，由抛物线开口方向及对称轴可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∴①正确，
由图象可得抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②不正确．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，③正确．
∵抛物线经过（2，0），抛物线对称轴为直线x＝，
∴抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，④不正确．
由图象可得（，y1）为抛物线顶点，
∴y1为函数最大值，
∴y1＞y2，⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．（2分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式法则，叫一元二次方程．
10．（2分）抛物线y＝3（x+2）2+1的顶点坐标是 （﹣2，1） ．
【分析】利用抛物线顶点式的特点即可求得答案．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝3（x+2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式与顶点坐标的关系是解决本题的关键．
11．（2分）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，则2023﹣6m2+9m的值为 2020 ．
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到2m2﹣3m＝1，再把2023﹣6m2+9m变形为2023﹣3（2m2﹣3m），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个实数根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴2023﹣6m2+9m＝2023﹣3（2m2﹣3m）＝2023﹣3×1＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（2分）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≠0且k≤1 ．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≠0且k≤1，
故答案为：k≠0且k≤1；
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
13．（2分）如图，仁和桥有一段抛物线形状的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2+bx．小辉骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小辉骑自行车行驶7秒时和13秒时拱梁的高度相同，则小辉骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 20 秒．
【分析】根据题意可以求得抛物线的对称轴，从而可以得到a与b的关系，然后令y＝0，即可得到抛物线与x轴的交点，从而可以得到OC的长，本题得以解决．
【解答】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和12秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝10，
∴﹣＝10，得b＝﹣20a，
令y＝0，则0＝ax2+bx，
代入b＝﹣20a，得：0＝ax2﹣20ax
解得，x1＝0，x2＝20，
∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需：20﹣0＝20（秒），
故答案为：20．
【点评】本题考查二次函数的应用、抛物线与x轴的交点，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
14．（2分）如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE＝8cm，EB＝4cm，则OG＝ 2 cm．
【分析】根据垂径定理求解．
【解答】解：∵AB⊥CD，OF⊥AB，OG⊥CD，
∴AF＝FB＝AB＝6，
∴OG＝EF＝BF﹣BE＝6﹣4＝2（cm）．
【点评】主要考查了垂径定理的运用．
15．（2分）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞4或m＝0． ．
【分析】方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有两个交点，由此结合图象即可求解．
【解答】解：∵方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，
∴函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有两个交点，
观察图象，函数y＝|x2﹣4|与y轴的交点为（0，4），则函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有两个交点时，m＞4或m＝0．
故答案为：m＞4或m＝0．
【点评】本题考查的知识点是根据二次函数图象确定相应方程根的情况、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握如何根据二次函数图象确定相应方程根的情况．
16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC＝12，BC＝5，则AG的长为 ．
【分析】根据勾股定理得到AB＝5，得到CM＝AM＝AC＝6，根据旋转的性质得到CM＝FM＝6，∠D＝∠A，∠C＝∠DFE，AB＝DE，求得AM＝MF，求得FG＝DE＝，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝13，
∵点M是AC边的中点，
∴CM＝AM＝AC＝6，
∵把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，
∴CM＝FM＝6，∠D＝∠A，∠ACB＝∠DFE，AB＝DE，
∴AM＝MF，
∴∠A＝∠AFM，
∴∠D＝∠AFD，
∴DG＝FG，
∵∠D+∠E＝∠DFG+∠GFE＝90°，
∴∠E＝∠EFG，
∴EG＝FG，
∴FG＝DE＝，
∵AM＝CM＝FM＝AC，
∴∠AFC＝90°，
∴CF＝，
∴AF＝，
∴AG＝AF﹣FG＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，综合应用旋转的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解方程：（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．
【分析】把原方程看作关于（x+2）的一元二次方程，则利用因式分解法把方程转化为（x+2）﹣3＝0或（x+2）+1＝0，然后解两个一次方程．
【解答】解：[（x+2）﹣3][（x+2）+1]＝0，
（x+2）﹣3＝0或（x+2）+1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设x1，x2是方程的两个根且，求m的值．
【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，再代入相应数值解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，代入所求的式子可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，
解得m＞﹣，
故m的取值范围是m＞﹣；
（2）x+x+x1x2﹣6＝（x1+x2）2﹣x1x2﹣6＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣6＝0，
解得m1＝，m2＝﹣2，
∵m＞﹣，
∴m的值为．
【点评】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系．
19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．
（1）求∠ODC的度数；
（2）若OB＝3，OC＝2，求AO的长．
【分析】（1）证明△COD是等边三角形，进而可求∠ODC的度数；
（2）由旋转的性质可知，∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，CD＝OC＝2，由（1）可知，△COD是等边三角形，∠ODC＝60°，则OD＝OC＝2，∠ADO＝90°，由勾股定理得，，计算求解即可．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转的性质可知，CO＝CD，
∵∠ACB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°；
（2）∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝150°，AD＝OB＝3，CD＝OC＝2，
由（1）可知，△COD是等边三角形，∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝2，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，
∴，
∴AO的长为．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
20．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m，另一边减少了5m，剩余部分面积为650m2，求原正方形空地的边长．
【分析】设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x﹣4）m，宽（x﹣5）m，
依题意得：（x﹣4）（x﹣5）＝650
整理得：x2﹣9x﹣630＝0，
解得：x1＝30，x2＝﹣21（不合题意，舍去）．
答：原正方形空地的边长为30m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（5，2），B（5，5），C（1，1）．
（1）△ABC向左平移3个单位得到的△A1B1C1，则点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为A1（ 2，2 ），B1（ 2，5 ），C1（ ﹣2，1 ）．
（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C．
（3）请计算四边形ACA2B2的面积．
【分析】（1）根据平移的性质可得答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）∵△ABC向左平移3个单位得到的△A1B1C1，A（5，2），B（5，5），C（1，1），
∴A1（2，2），B1（2，5），C1（﹣2，1）．
故答案为：2，2；2，5；﹣2，1．
（2）如图，△A2B2C即为所求．
（3）四边形ACA2B2的面积为＝6+10＝16．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
23．我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒．为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒．设该礼盒售价为每盒x元（x≥100），每小时的销售利润为w元．
（1）求w关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒，根据利润＝（售价﹣成本）×销售量列出w关于x的关系式即可；
（2）根据利润＝（售价﹣成本）×销售量列出方程求解即可；
（3）根据（1）所求w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，y＝40+2（150﹣x）即y＝340﹣2x（100≤x＜150），
∴w＝（x﹣100）（340﹣2x）即w＝﹣2x2+540x﹣3400（100≤x＜150）
（2）由题意得，（x﹣100）（340﹣2x）＝2400，
整理得x2﹣270x+18200＝0，
解得x1＝140，x2＝130，
∵要让利顾客，
∴x＝130，
答：销售价应定为每件130元；
（3）w＝（x﹣100）（340﹣2x）
＝340x﹣34000﹣2x2+200x
＝﹣2x2+540x﹣34000
＝﹣2（x﹣135）2+2450（100≤x＜150）
∵﹣2＜0，
∴当x＝135时，w有最大值，w最大＝2450，
答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．
24．如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC交BC于点E．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若BE＝4，AC＝6，求DE．
【分析】（1）由垂径定理可得＝；
（2）先根据垂径定理求出BC＝8，圆周角定理得∠ACB＝90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD＝OB＝5，由勾股定理求出OE＝3，由DE＝OD﹣OE求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，OD⊥BC，
∴BE＝EC＝4，
∴BC＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝6，
∴，
∴OD＝OB＝5，
∴，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．
【点评】本题考查的是垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．
25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m．
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+6，再有条件求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入
64a+8＝6
解得：a＝﹣．
抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．
（2）根据题意，把x＝4代入解析式，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
【点评】本题考查了二次函数的应用，求抛物线解析式可以使用一般式，顶点式或者交点式，因条件而定．运用二次函数解题时，可以给自变量（或者函数）一个特殊值，求函数（自变量）的值，解答题目的问题．
26．已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4）．
（1）用含a的代数式表示b为 1﹣4a ；
（2）当抛物线与x轴交于点B（2，0）时，求此时a的值；
（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当d＜2时，求a的取值范围．
【分析】（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx，变形即可得答案；
（2）根据题意将点A和B坐标代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）即可求a；
（3）将点B坐标代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）可得b＝1﹣4a．再令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．可得x1＝0，．根据d＜2，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）把A（4，4）代入y＝ax2+bx得，
16a+4b＝4，
∴b＝1﹣4a．
（2）由题意得，，
∴．
（3）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（4，4），
∴16a+4b＝4．
∴b＝1﹣4a．
令y＝ax2+bx＝ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴ax2+（1﹣4a）x＝0．
∴x[ax﹣（4a﹣1）]＝0．
∵a≠0，
∴x1＝0，．
∵d＜2，
∴4﹣＜2，或4﹣＞﹣2．
∴＞2或＜6．
∴＜a＜且a．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是掌握二次函数的知识．
27．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为 S△DEF+S△CEF＝S△ABC ；
（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；
（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．
【分析】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；
（2）过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，证明△DME≌△DNF（ASA），得出S△DME＝S△DNF，即可得出结论；
（3）同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC．
【解答】解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．
设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．
∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2
即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
故答案为：S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
（2）（1）中的结论成立；
证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D为AB边的中点，
由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，
∵AC＝BC，
∴MD＝ND，
∵∠EDF＝90°，
∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△DME与△DNF中，
，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S△DME＝S△DNF，
∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，
由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，
∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．
（3）连接DC，
证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE+S△DBC，
＝S△CFE+，
∴S△DEF﹣S△CFE＝．
故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
28．定义：函数图象G上的点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差y﹣x叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象G的“幸福值”如：抛物线y＝x2上有点P（4，16），则点P的“双减差”为12；而抛物线y＝x2上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：
（1）已知函数图象上点P的横坐标x＝1，求点P的“双减差”y﹣x的值；
（2）若直线y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”为k2（k＞1），求k的值；
（3）设抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9，当时，抛物线y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．
【分析】（1）根据题目对于“双减差”的定义即可代数求解．
（2）根据题目对于“幸福值”的定义即可求解．
（3）此时根据给出的抛物线顶点在直线上的条件可得到顶点坐标，进而可根据“幸福值”的定义进行求解m的值，此时需注意m有取值范围，排除不符合题意的即可得到抛物线方程．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝4，
∴y﹣x＝3，
即点P的“双减差”为3．
（2）y＝kx+11可得：y﹣x＝（k﹣1）x+11，
令W＝y﹣x，则W＝（k﹣1）x+11，
∵k＞1，
∴W随x的增大而增大，
∵﹣1≤x≤2，
∴x＝﹣1时，W取最小值﹣（k﹣1）+11，
∴k2＝﹣（k﹣1）+11，
∴k＝3或k＝﹣4，
∵k＞1，
∴k＝3．
（3）∵抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9上，
∴顶点坐标为（m，﹣m+9），
∴抛物线为y＝（x﹣m）2﹣m+9＝x2﹣2mx+m2﹣m+9，
令w＝y﹣x＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣m+9，对称轴是直线，
∵，
∴，
当时，即m＞5，不合题意舍去；
当，即，
此时当x＝2m﹣1，w取最小值5，
∴（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）+m2﹣m+9＝5，
解得m＝2或m＝3，
∵，
∴m＝2，
∴y＝x2﹣4x+11．
当，即，
此时当，w取最小值5，
∴，
解得，与矛盾，舍去．
综上所述，该抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+11．
【点评】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，解答本题的关键需要先理解题文给出的新定义“双减差”以及“幸福值”的概念，进而根据题意要求去求解问题，在求值时要注意取值范围的问题．