初中数学北师大版（2024）八年级上册第五章 二元一次方程组8*三元一次方程组习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册第五章 二元一次方程组8*三元一次方程组习题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知，，，则代数式的值是（ ）
A．32B．64C．96D．128
2．解三元一次方程组：，
具体过程如下：
(1)②－①，得b＝2，
(2)①×2＋③，得4a－2b＝7，
(3)所以，
(4)把b＝2代入4a－2b＝7，得4a－2×2＝7(以下求解过程略)．
其中开始出现错误的一步是( )
A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)
3．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
4．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（ ）元
A．31B．32C．33D．34
6．三元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
7．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a＋2，－a＋2b＋4，b＋3c＋9，如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为（ ）
A．8，2，7B．7，8，2C．8，7，2D．7，2，8
8．方程组的解是( )
A．B．C．D．
9．若，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．4
10．一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是（ ）
A．635B．653C．563D．536
11．若三元一次方程组的解使ax＋2y＋z＝0，则a的值为( )
A．－1B．0C．－2D．4
12．运用加减法解方程组较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解B．先消去y，再解
C．先消去x，再解D．三个方程相加得再解
二、填空题
13．方程组的解为 ．
14．若对于任意实数x，等式都成立（a、b、p为常数）．那么p的值是 ．
15．已知，则x+y+z= ．
16．在关于、、的方程组，中，已知，那么、、从小到大的排列顺序应该是 ．
17．如图，在ΔABC中，，，，若四边形的面积为，则ΔABC的面积为 ．
三、解答题
18．解方程组：
(1) ；
(2)．
19．解二元一次方程组的关键是“消元”，即把“二元”转化为“一元”，同样，我们可以用“消元”的方法解三元一次方程组．下面，我们就来解一个三元一次方程组：
解方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：______+______，得3x+4y=10，④
______+______，得5x+y=11，⑤
______与______联立，得方程组

（1）请你在方框中补全小曹同学的解答过程：
（2）若m、n、p、q满足方程组，则m+n-2p+q=______．
20．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？
21．甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变．如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次．求甲的速度和环形道路的长度．
22．在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕．
(1)求与之间的数量关系．
(2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目．
首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解．
【详解】解：，，
得：，
，
而，
得，
，
把代入得：，
．
故选：C．
2．B
【分析】根据所给提示进行计算验证即可.
【详解】解：第（2）步①×2＋③，得4a-b=7,
所以第（2）错误,
故选B.
【点睛】本题考查解三元一次方程组,中等难度,熟悉解三元一次方程组的一般步骤即可解题.
3．D
【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键．
【详解】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选：D．
4．C
【分析】设这对夫妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可．
【详解】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则，
解得
这对夫妇共有3个子女．
故选C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组并解方程组是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，关键在于找到各未知数的数量关系．
设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元；购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件所需的费用．
【详解】解：设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，
根据题意得：，
得：．
∴购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需32元．
故选：B．
6．D
【详解】解：，
，得，
，得，解得，
把代入①，得，
把代入③，得，
则方程组的解为
故选：D．
7．B
【分析】根据加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+2，-a+2b+4，b+3c+9，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
8．C
【分析】观察方程组，①-②可消去x，即可将三元一次方程组化为二元一次方程组求解．
【详解】，
①-②得：z-y=-1④，
③+④得：2z=0，z=0，
把z=0代入③得：y=1，
把z=0代入①得：x=-1，
所以方程组的解为：，
故选C.
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用加减消元法或代入消元法是解题的关键.
9．B
【分析】记方程组，由观察发现②①即可得到答案．
【详解】解： ，
方程②，得③，
方程③①，得④，
方程④，得，
故选：．
【点睛】本题考查的是不定方程组的问题，通常采用整体思想，掌握利用整体解决问题是解题的关键．
10．A
【分析】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数为：100z+10y+x，新数表示为：100y+10z+x，根据题意列三元一次方程组求解即可．
【详解】解：设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，由题意得：
，
解得：，
∴原三位数为：635．
故选：A．
【点睛】本题考查了数字问题在三元一次方程组中的应用，正确理解题意、列出相应的三元一次方程组是解题的关键．
11．B
【分析】先求出三元一次方程的解,代入等式求解即可解题.
【详解】解：三元一次方程组的解是 ,
∴3a+4-4=0,
解得：a=0,
故选B.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,解三元一次方程是解题关键.
12．B
【分析】根据三元一次方程的解法即可判断.
【详解】∵第一个方程没有未知数y，故可利用第二、三个方程消去y，再求解关于x,z的二元一次方程组，
故选B.
【点睛】此题主要考查三元一次方程的求解，解题的关键是熟知三元一次方程的解法.
13．
【分析】得到，和式子③组成二元一次方程组，解出，将代入①解出，再将代入②解出即可．
【详解】解：，
得：④，
得：，解得，
将代入①得：，解得，
将代入②得：，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解，用加减消元法将方程组变成二元一次方程组是解答本题的关键．
14．
【分析】将变形为，根据这是一个恒等式，得出，解方程组即可得出答案．
【详解】解：由已知，
∴，
∴，
，
∵这是一个恒等式，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算．
15．4.5
【详解】试题分析：将三式进行相加可得：2(x+y+z)=9，则x+y+z=4.5．
16．
【分析】利用方程之间的减法运算，再利用已知得出和的大小即可．
【详解】，
得，，，
，
得：，，
，
从小到大的排列顺序应该是，
故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组，利用方程之间的差得出，，间的大小关系．
17．12
【详解】试题分析：设，连结CG,BF,EG，
因为，，，四边形的面积为，
所以可得,
所以，解得x=1．5，所以的面积=8x=8×1．5=12
考点：1．三角形的面积关系、2．三元一次方程组．
18．(1)
(2)方程组的解为
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用代入消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
由①得：④
由②得：⑤，
把④和⑤代入③得：，解得，
把分别代入④和⑤得：，
∴方程组的解为．
19．（1）①，②，②，③，⑤，④．（2）-2.
【分析】（1）根据每一步得到的方程反推其计算的由来，得到二元一次方程组后用代入消元或加减消元法解出x和y，再代回原方程组求z．
（2）把（m+n）看作整体，解关于（m+n）、p、q的三元一次方程组．
【详解】解：（1）方程组
小曹同学的部分解答过程如下：
解：①+②，得3x+4y=10，④
②+③，得5x+y=11，⑤
⑤与④联立，得方程组
解得：
把代入①得：2+1+z=2，
解得：z=-1，
∴原方程组的解是
故答案为①，②，②，③，⑤，④．
（2）
②-①×2得：p-3q=8④，
③-①×3得：-5p-2q=-6⑤，
由④与⑤组成方程组
解得： ，
代入①得：m+n=4
∴m+n-2p+q=-2
故答案为-2．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用整体思想解多元方程组．解题关键是理解并正确运用消元法逐步减少未知数并解方程．
20．每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分
【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分．
根据题意，得，解得，
故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分．
21．甲的速度为220米分，环形道路的长度为4000米．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设甲的速度为米分，乙的速度为米分，环形道路的长度为米，利用路程速度时间，结合给定条件，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲的速度为米分，乙的速度为米分，环形道路的长度为米，
依题意得：，
解得：．
答：甲的速度为220米分，环形道路的长度为4000米．
22．(1)
(2)至少开放5个检票口
【分析】（1）根据开放窗口与通过时间相等列方程组求解；
（2）设5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放x个检票口．根据开放窗口与通过时间相等列方程和不等式解答．
本题考查三元方程的应用，不等式的应用，根据题意，列出方程组和不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得
，
得，
解得，
将代入①，得，
解得．
（2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得
，
把，代入，得
，
∵
，
解得，
∵x为正整数，
∴x最小为5．
答：至少开放5个检票口．
胜/场
平/场
负/场
积分
A队
8
2
2
26
B队
6
5
1
23
C队
5
7
0
22
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
B
D
B
C
B
A
题号
11
12








答案
B
B