北师大版（2024）九年级下册第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式精练

这是一份北师大版（2024）九年级下册第二章 二次函数3 确定二次函数的表达式精练，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
2．在平面直角坐标系中，某二次函数图象的顶点为，此函数图象与轴交于、两点，且，若此函数图象经过四点，则实数中为负数的是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
二次函数图象的对称轴是( )
A．直线x＝1B．y轴C．直线x＝－3D．直线x＝－2
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论
①2a﹣b＝0；
②a+b+c＝0；
③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；
④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；
⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为( )
A．y＝－x2＋2x＋4
B．y＝－ax2－2ax－3(a＞0)
C．y＝－2x2－4x－5
D．y＝ax2－2ax＋a－3(a＜0)
6．已知抛物线经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线与直线交于两点，关于x的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着原点旋转，所得抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（ ）
A．B．y≤2C．y＜2D．y≤3
10．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(，y2)， (－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为( )
A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y3>y1>y2D．y3>y2>y1
11．已知抛物线C：y＝x2＋ax＋b的对称轴是直线x＝2，且与x轴有两个交点，两交点的距离为4，则抛物线C关于直线x＝－2对称的抛物线C′的解析式为( )
A．y＝x2＋4xB．y＝x2＋8x＋12
C．y＝x2＋12x＋32D．y＝x2＋6x＋8
12．如图，抛物线交轴于点，对称轴为直线，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
13．把抛物线y=x2＋1关于x轴对称，所得到的抛物线解析式为 ．
14．对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是 .
15．若一条抛物线的顶点在轴上，则这条抛物线的表达式可以是 （只需写一个）
16．如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，点是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得到，过、、三点作抛物线．当时，抛物线上最高点的纵坐标为 ．
17．如果一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2＋2相同，且顶点坐标是（4，﹣2）则它的解析式是 ．
三、解答题
18．计算
(1)解方程：
(2)二次函数经过点，，求二次函数的表达式．
19．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线y2=x+1的图象，并根据图象，直接写出使得y1≥y2的x的取值范围；
（3）设抛物线与x轴的右边交点为A，过点A作x轴的垂线，交直线y2=x+1于点B，点P在抛物线上，当S△PAB≤6时，求点P的横坐标x的取值范围．
20．已知抛物线的对称轴为，且经过点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)抛物线上是否存在点，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
21．【背景介绍】
烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火．
【问题情境】
距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为（单位：m），获得数据如表：
【探究过程】
小勇根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整；
(1)k的值为______，
(2)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结．
(3)请结合函数图像分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？
(4)烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？
22．摩托车越野是一项刺激和具有挑战性的极限运动项目，它在世界范围内拥有广泛的爱好者和强大的市场潜力．图2中的是坡比为的斜坡赛道截面，斜坡上一点A与赛道起点O的水平距离为6米．设摩托车腾空的竖直高度为y（单位：米），摩托车与起点O的水平距离为x（单位：米），已知当时，，且y与x满足二次函数关系，其图象经过点A．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)若在距离赛道起点O水平距离3米处的斜坡上竖直设置一个参考小旗，小旗高为2.1米，请问摩托车是否能成功飞跃小旗？请说明理由．
23．已知抛物线y＝ax2+bx﹣a+b（a，b为常数，且α≠0）．
（1）当a＝﹣1，b＝1时，求顶点坐标；
（2）求证：无论a，b取任意实数，此抛物线必经过一个定点，并求出此定点；
（3）若a＜0，当抛物线的顶点在最低位置时：
①求a与b满足的关系式；
②抛物线上有两点（2，s），（m，t），当s＜t时，求m的取值范围．
24．已知抛物线关于直线对称，且过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过的直线和直线均与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②平移直线，，使平移后的两条直线都经过点，且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为，的中点，证明直线经过定点
参考答案：
1．C
【分析】根据该函数图象开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，可知该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，c=－2，再由，，即可求得b的值．
【详解】解：二次函数y＝x2＋bx＋c的开口向上，当x＞0时，函数的最小值为－3，当x≤0时，函数的最小值为－2，
该函数图象的对称轴所在直线在y轴的右侧，
，，且时，y=c=－2，
，，解得 ，
．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
2．C
【分析】图象与x轴交于P、Q两点，且PQ=6，则点P、Q的坐标分别为：（-5，0）、（1，0），即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象的顶点为
∴抛物线的表达式为：y=a（x+2）2+1，
图象与x轴交于P、Q两点，且PQ=6，
则点P、Q的坐标分别为：（-5，0）、（1，0），
将点Q的坐标代入抛物线表达式并解得：a= ，
抛物线的表达式为：y=（x+2）2+1，
将分别代入解析式解得，
a=b= ,c= ,d=0,
∴c＜0.
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
3．A
【分析】根据二次函数的对称性,即二次函数图象上两点纵坐标相等,则这两点关于二次函数对称轴对称,对称轴等于这两个点横坐标和的一半.
【详解】根据表格可得:(0,-1)和(2,-1)纵坐标相等,
所以(0,-1)和(2,-1)是关于二次函数对称轴对称的点,
所以对称轴,
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数图象的对称性,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的对称性.
4．D
【分析】把A、B两点坐标代入抛物线的解析式并整理即可判断①②；
根据抛物线的顶点和最值即可判断③；
求出当△ABC是等腰直角三角形时点C的坐标，进而可求得此时a的值，于是可判断④；
根据利用对称性求线段和的最小值的方法（将军饮马问题）求解即可判断⑤.
【详解】解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+c得到，消去c得到2a﹣b＝0，故①②正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴x＝﹣1时，y有最大值，最大值＝a﹣b+c，
∵m≠﹣1，∴a﹣b+c＞am2+bm+c，∴a﹣b＞am2+bm，故③正确；
当△ABC是等腰直角三角形时，C（﹣1，2），
可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2，把（1，0）代入解得a＝﹣，故④正确，
如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，则此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，
∵AD＝＝3，BD＝＝，
∴△PBD周长最小值为3，故⑤正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的图象与其系数的关系、待定系数法求二次函数的解析式和求三角形周长最小值的问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.
5．D
【详解】试题解析：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故选项错误；
B、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a-3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确．
故选D．
6．C
【分析】将点代入中，待定系数法，即可求解，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：将点代入中，
得：，
，
故选：C．
7．C
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及一次函数图象的关系，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由题意得，
∴，
∴抛物线开口向下，
∵，
∴，
∴关于x的不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数图象上方自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集是，
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据两函数的交点求不等式的解集，正确判断出二次函数开口向下是解题的关键．
8．A
【详解】试题分析：先将原抛物线化为顶点式，易得出与y轴交点，绕与y轴交点旋转180°，那么根据中心对称的性质，可得旋转后的抛物线的顶点坐标，即可求得解析式．
解：由原抛物线解析式可变为：，
∴顶点坐标为（-1，2），
又由抛物线绕着原点旋转180°，
∴新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点原点中心对称，
∴新的抛物线的顶点坐标为（1，-2），
∴新的抛物线解析式为：．
故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
9．A
【分析】根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，
∴另一交点为
设抛物线解析式为，将点代入得
解得
抛物线解析式为
则顶点坐标为
当x＞0时，函数值y的取值范围是
故选A
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．
10．D
【分析】先判断二次函数y=2x2+4x+5的对称轴为x==-1，（-3，y3）得对称点的横坐标为x3=-1×2-（-3）=1，对称点坐标为（1，y3），根据二次函数图象的性质：a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大即可得答案.
【详解】解：∵对称轴为x==-1，
∴（-3，y3）的对称点坐标为（1，y3），
∵-1＜＜1，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y3＞y2＞y1．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，找到二次函数的对称轴并利用二次函数的性质求解是解题关键.
11．A
【详解】由题意得， ， .
∵两交点的距离为4，∴两个交点坐标为（0,0），（4,0），∴b=0.
∴y=x2-4x=(x-2)2-4.
∴关于直线x＝－2对称的抛物线C′的解析式为y=x2-4x=(x-2+4)2-4=x2+4x..
故选A.
12．B
【分析】由交y轴于点（0，5），求出c＝5；由对称轴为直线x＝−2，求出b；确定函数解析式求出二次函数与x轴的交点即可求解．
【详解】解：∵交y轴于点（0，5），
∴c＝5，
∵对称轴为直线x＝−2，
∴＝−2，
∴b＝−4，
∴y＝−x2−4x＋5，
当y＝0时，−x2−4x＋5＝0，
∴x＝−5或x＝1，
∴y＞0时，−5＜x＜1；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；根据条件求出函数的解析式，数形结合求解是解题的关键．
13．y=-x2-1
【分析】关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数.
【详解】把抛物线y＝x2＋1关于x轴对称，故得到抛物线的解析式为：y＝－x2－1.
【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象的转换求抛物线的解析式.
14．-.
【分析】分别计算出自变量为1和2时的函数值，再利用函数值减少4列方程a-4a=4，然后解此一元一次方程即可．
【详解】当x=1时,y= =a；
当x=2时,y==4a，
所以a−4a=4,解得a=−43.
故答案为−43.
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式.
15．
【分析】根据抛物线的顶点在y轴上，可知：b=0，即可求解.
【详解】∵一条抛物线的顶点在轴上，
∴，即：b=0，
∴这条抛物线的表达式可以是：.
故答案是：.
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式，掌握二次函数图象的顶点坐标公式，是解题的关键.
16．/4.5
【分析】根据题意求得顶点坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，根据图象上点的坐标特征即可求得抛物线上最高点的纵坐标．
【详解】解：∵、两点的坐标分别为、，点是线段的中点，
∴轴，，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，轴，
∴顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
代入得，，
∴，
∴，
∴抛物线开口向下，
∴当时，在时，函数有最大值为：，
∴当时，抛物线上最高点的纵坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形变化-旋转，根据题意得到顶点坐标是解题的关键．
17．
【分析】先根据抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2＋2相同，可设抛物线的顶点式为y=-2（x-h）2+k,再由顶点坐标是（4，-2），确定解析式即可．
【详解】解：∵一条抛物线的形状和开口方向与y=-2x2+2相同，
∴a=-2，
∴设求得抛物线：y=-2（x-h）2+k,
∵顶点坐标是（4，-2），
∴设求得抛物线：y=-2（x-4）2-2,
化简：
故答案为：．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，求二次函数表达式，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤，以及用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤是解题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）把，代入，求出m和n的值，即可得出二次函数表达式．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
19．解：（1）∵抛物线与直线y2=x+1的一个交点的横坐标为2，
∴交点的纵坐标为2+1=3，即交点坐标为（2，3）．
设抛物线的解析式为y1=a（x﹣1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得：
3=a（2﹣1）2+4，解得a=﹣1．
∴抛物线解析式为：y1=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．．
（2）令y1=0，即﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．
在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图：
根据图象，可知使得y1≥y2的x的取值范围为﹣1≤x≤2．
（3）由（2）可知，点A坐标为（3，0）．
令x=3，则y2=x+1=3+1=4，
∴B（3，4），即AB=4．
设△PAB中，AB边上的高为h，
则h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|．
∴S△PAB=AB•h=×4×|xP﹣3|=2|xP﹣3|．
∵S△PAB≤6，∴2|xP﹣3|≤6，化简得：|xP﹣3|≤3．
去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：
﹣3≤xP﹣3≤3，解此不等式组，得：0≤xP≤6．
∴当S△PAB≤6时，点P的横坐标x的取值范围为0≤xP≤6．
【详解】试题分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）确定出抛物线与x轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直观地看出使得y1≥y2的x的取值范围．
（3）首先求出点B的坐标及线段AB的长度；设△PAB中，AB边上的高为h，则由S△PAB≤6可以求出h的范围，这是一个不等式，解不等式求出xP的取值范围．
20．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)不存在，理由见详解
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，及二次函数的性质．
（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）把点代入二次函数的解析，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，且经过点，
，
，
故抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：不存在，理由如下：
把代入，得
，
，
，
原方程无解，即抛物线上不存在点．
21．(1)
(2)见解析
(3)士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
(4)射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键．
（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当与时的函数值相等，据此即可求解；
（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；
（3）先求得抛物线的解析式，再求出当时所对应的的值，再和作比较即可；
（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点的坐标和右上角的点的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．
【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，
根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线，
∴与时的函数值相等，
∵当时，，
∴当时，．
故答案为：．
（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：
（3）解：设二次函数的解析式为：，
当时，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，
，
∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里．
（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为，
∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，
依题意，正方形左下角的点的坐标为，右上角的点的坐标为，
设后退米，即抛物线向左平移米，当抛物线经过正方形的左下角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去）；
设前进米，即抛物线向右平移米，当抛物线经过正方形的右上角的点时，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为．
22．(1)
(2)摩托车能成功飞跃小旗，理由见解析
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键．
（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出当时的函数值，与参考小旗高比较即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得，二次函数图象过原点，
设二次函数表达式为，
在中，，且坡比为，
∴，
∴点A的坐标为．
∵，在抛物线上，
∴，
解得，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）摩托车能成功飞跃小旗．
理由：当时，摩托车腾空高度，
参考小旗高为，
∵，
∴摩托车能成功飞跃小旗．
23．（1）顶点坐标是（，）；（2）证明见解析，（﹣1，0）；（3）①b＝2a；②﹣4＜m＜2
【分析】（1）代入a与b的值，确定函数解析式即可求顶点坐标；
（2）将表达式因式分解，可得到当x=-1时，y=0时是函数过的顶点；
（3）①由抛物线开口向下，当抛物线的顶点在最低位置时即是顶点是（-1，0）时，可求a、b关系；
②结合函数图象即可求m的范围．
【详解】（1）当a＝﹣1，b＝1时，
∴y＝﹣x2+x+2=，
∴顶点坐标是（，）；
（2）y＝ax2+bx﹣a+b＝（ax2﹣a）+（bx+b）＝a（x+1）（x﹣1）+b（x+1）＝（x+1）（ax﹣a+b），
当x＝﹣1时，y＝0，
所以抛物线必经过定点（﹣1，0）；
（3）①∵抛物线必经过定点（﹣1，0），
∴当a＜0，抛物线的顶点在最低位置时，即（﹣1，0）是抛物线的顶点，
此时﹣＝﹣1，
∴b＝2a；
②当两点（2，s），（m，t），在x＝﹣1右侧时：
∵s＜t，
∴﹣1＜m＜2，
当（m，t），在x＝﹣1左侧时，如图：
由图象知，当s＜t时，﹣4＜m＜﹣1，
综上所述，﹣4＜m＜2时，s＜t．
【点睛】本题考查了二次函数解析的求法；函数图象过定点问题；函数图象的增减性；能够结合函数图象做题是解题的关键．
24．(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）根据抛物线的对称轴得出，求出b的值，再将点代入求出c的值，即可得出抛物线解析式；
（2）①把分别代入两个解析式，得出，则直线和直线，根据直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，求出，，即可推出是方程的两根，根据一元二次方程根于系数的关系即可求解；
②根据，且都经过，可以设直线的解析式为，直线的解析式为，结合，推出直线的解析式为，联立方程，得出P、Q、G、H的横坐标，再根据中点坐标公式得出点M和点N的横坐标，进而得出点M和点N的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，即可求证．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，
∴，
∴，
将点代入得：
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵直线和直线过，
∴，
∴，
∴直线和直线，
∵直线和直线均与抛物线有且只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
，
∴是方程的两根，
∴；
②证明：∵，且都经过，
∴设直线的解析式为，直线的解析式为，
∵，则
∴直线的解析式为，
联立方程组，
整理得，，
设点G横坐标为，点H横坐标为，
∴，
∵点M为中点，
∴点M横坐标为，则点M纵坐标为，
∴，
同理可求，即，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线经过定点．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系．
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
2
－1
－2
－1
2
…
d/m
0
10
20
30
40
50
60
70
h/m
k
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
D
D
C
C
A
A
D
题号
11
12








答案
A
B