高三数学二轮培优微专题36讲02.三角函数求最值的六种类型训练

这是一份高三数学二轮培优微专题36讲02.三角函数求最值的六种类型训练，共6页。试卷主要包含了 与辅助角公式，二次函数型，分式型，求值域，求函数的最大值和最小值等内容，欢迎下载使用。
1.辅助角公式: 形如的式子可做如下变换:
--------(1)
令
(1)式=,其中.
例1．已知.求的单调递增区间.
解析：化简得
，
令，，解得，
所以单调递增区间为，.
例2．已知函数，其中，且．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值．
解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的单调递增区间为；
（2）.
类型2.二次函数型
（1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值.
（2）对于和的形式，也可转化为二次函数来求解.
例3．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时， ，当时， ，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知， ，所以的取值范围是：．故选：A
类型3.
如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值.
例4．已知函数，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
解析：，
令，
即，由，则.故选：A.
类型4.分式型
其中同名函数利用分离常数法，形如
非同名函数利用数形结合的方法，形如利用单位圆与直线相交相切来解决最值问题.
例5.求值域。
解：，故，则值域为.
例6.求函数的最大值和最小值。
解：法一：如图所示，表示过点的直线与单位圆有交点时，直线的斜率，令直线方程为，原点到直线的的距离为，故函数的最大值为，最小值为0.
法二：利用辅助角公式：计算，
，解得：.
类型5.三次函数
（1）形如：等均为三次函数.
（2）三倍角结构
这类函数虽然最后是借助导数来实现，但它的转化方向是一致的，结果就是三次函数！
例7．已知函数，则函数的最大值为_____.
解析：因为，
令，则，，令，解得，
当时，在上是减函数；当时，
在上是增函数；当时，在上是减函数，又，，由此，得在时取得最大值，最大值为，故的最大值为. 故答案为：
例8．函数的值域为____________．
解析：，设，，则，
，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为.
例9．函数在上的最大值为______.
解析：.又，故令，.，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减.. 故答案为：.
类型6.导数型
例10．（2018全国1卷）已知函数，则的最小值是__________．
解析：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
例11．已知函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
解析：函数；显然，，函数值才取最小；由．令，可得：或．
当，可得；当，，，时，函数取得最小值为．故选：A．
例12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为B．的图象关于对称
C．的最大值为D．在区间在上单调递减
解析：由于，故A正确；
由于，
即的图象不关于对称，故B错误；
，当时，，函数单调递增；当或时，，函数单调递减；所以，故C正确；由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；故选：ACD.