初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数第2课时教学设计及反思

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数第2课时教学设计及反思，共12页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。
（一）学习目标
1.掌握有理数混合运算的顺序.
2.发现、探索根据乘方运算排列的规律.
3.能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
（二）学习重点
掌握有理数混合运算的顺序，能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
（三）学习难点
能正确、熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
阅读教科书P43
在有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算中的运算顺序应该是：
先乘方，再乘除，最后加减；
同级运算，从左向右依次进行；
如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.预习自测
计算下列各题
（1）计算（﹣1+2）×÷（﹣2）的结果是（ ）
A.8 B.﹣8 C. D.
【答案】D
【解析】解：原式=1××（）=，
【点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果.
（2）计算：﹣3×2+（﹣2）2﹣3的结果是 .
【答案】﹣5.
【解析】解：﹣3×2+（﹣2）2﹣3
=﹣6+4﹣3
=﹣5
【点拨】根据有理数的混合运算的运算方法，求出算式的值是多少即可.
（3）计算：﹣12016+16÷（﹣2）3×|﹣3|= .
【答案】﹣7
【解析】解：原式=﹣1﹣6=﹣7，
【点拨】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果.
（4）计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2].
【答案】
【解析】解：原式=﹣1﹣0.5××（2﹣9）
=﹣1﹣（﹣）
=.
【点拨】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号计算即可.
（二）课堂设计
1.知识回顾
有理数四则混合运算的运算顺序是 先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
表示的意义是：2个-2相乘，结果是 4 ；
表示的意义是： 2个2相乘的相反数，结果是_-4___.
= 1 ，=-1，
2.问题探究
探究一：掌握有理数混合运算的顺序，能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算.★
●活动① 探究有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算运算顺序.
观察算式： 3+50÷22×（－）－1
师问1：这个算式里有哪几种运算？
生答：这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算.
师问2：这五种运算应该按怎样的顺序进行运算？为什么？
生答：先乘方，再乘除，最后加减；因为乘方是更高级的运算.
师讲：我们将加、减、乘、除、乘方分为三级运算，加减是第一级，乘除是第二级，乘方是最高级的运算，为第三级，如果是混合运算，我们应该从高级运算算到低级运算，同级运算从左至右依次进行.
师问3：那你们认为有括号后，又应该先算什么？再算什么？
生答：先算小括号里面的，再算大括号里面的.
总结：1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左往右进行；
3.如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
【设计意图】从一个含有五中运算的例题出发，探讨运算顺序，从而引入乘方是最高级的运算，让学生掌握五种运算的运算顺序.
探究二 发现、探索根据乘方运算排列的规律.
●活动① 探索乘方运算的规律▲
例1：观察下面三行数：
－2， 4，－8， 16，－32， 64，…①
0， 6，－6， 18，－30， 66，… ②
－1， 2，－4， 8， －16， 32，… ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
师问1：从符号和绝对值的角度观察第①行数，你发现了什么？
生答：第奇数个数是负数，偶数个数是正数，从绝对值的角度看从第2个数开始，每一个数的绝对值都是前一个数的绝对值的2倍.
师问2：可不可以把第①行的每一个数都写成幂的形式？
生答：可以，分别是，，，，，…
师问3：根据这样的规律，第n个数应该是多少？
生答：.
师讲：所以第①行数是按照，，，，，…，排列，也就是第n个数是.
师问4：第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
生答：第②行的每一个数在第①行每一个数上相应的加2，第③行的每一个数是第①行每一个数的.
师问5：如果要求每一行的第8个数，你会先做什么？为什么？
生答：先求第①行的第8个数，因为第②、③行数都与第①行相关，求出了第①行的第8个数，就可以求出其他两个数了.
师问6：取每行数的第10个数，如果要计算这三个数的和，你会怎么做？
生答：先求出每行数的第10个数，再相加.
师生活动：老师示范.
总结：当规律比较复杂的时候，我们要用“分而治之”的思想，先从局部找规律.
【知识点】乘方运算的规律
【解析】 解：（1）第①行数是
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…
（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？
第②行数是第①行相应的数加2.
即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，…
对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？
第③行数是第①行相应的数的一半，即
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…
（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的第10个数为（－2）10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5.
所以每行数中的第10个数的和是：
（－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5]
=1024+（1024+2）+1024×0.5
=1024+1026+512=2562
【点拨】（1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，从绝对值看，它们都是2的乘方；（2）从和差倍分的角度考虑；（3）找到第一行的第10个数，再利用前面的规律找到第②、③行中的第10个数即可.
【答案】（1）第①行数按后一个数是前一个数的2倍规律排列；（2）第②数比第①行对应数大2，第③行数是第①行对应数的一半；（3）2562.
【设计意图】通过教科书上的例题，引导学生从符号和绝对值的角度探寻规律，结合乘方运算，培养学生探索、归纳、总结的规律.
探究三 运用有理数混合运算法则进行计算★▲
●活动① 有理数的混合运算
例3：计算：（1）； （2）.
师生活动：老师示范第1小题，讲解计算题的步骤，①观察运算符号；②确定运算顺序；③不同级别的运算,划横线标注.第2小题先由学生观察，抽问1名学生谈谈运算顺序，再由1名学生板演，其他学生练习，最后学生点评.
【教学建议】因为符号问题是易错点也是难点，所以在例题示范的时候，要慢下来，要让学生过手.
【知识点】有理数加减乘除乘方的简单应用
【解析】 解：（1）原式=2×（－27）－（－12）+15
=－54+12+15
=－27
（2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2）
=－8+（－3）×18－（－4.5）
=－8－54+4.5
=－57.5
【点拨】分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减.计算时，特别注意符号问题.
【答案】－57.5
练习：计算
； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）0；（2）；（3）（4）9992
【解析】解：
；
=
=；
=；
=
=
=9992
【点拨】分清运算顺序，注意符号问题.
【设计意图】通过例题示范，让学生掌握混合运算的运算顺序，通过题目中易错符号问题，培养学生细心的习惯.通过4个小题的练习，强化学生对有理数的加减乘除乘方运算顺序、符号问题的理解.
3.课堂总结
知识梳理
有理数加减乘除乘方混合运算的运算顺序.
有理数加减乘除乘方混合运算的解题步骤.
在一列数中，当后面一个是前面一个的倍数时,可以考虑从乘方的角度去归纳总结规律.
重难点归纳
如何确定有理数加减乘除乘方混合运算的运算顺序
特别注意符号问题:①幂的符号；②加减乘除中的符号.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.计算（﹣1）2017的结果是（ ）
A.﹣1 B.1 C.﹣2017 D.2017
【答案】A.
【解析】解：（﹣1）2017=﹣1，
【点拨】直接利用有理数的乘方性质得出答案.
2.﹣22=（ ）
A.﹣2 B.﹣4 C.2 D.4
【答案】B.
【解析】解：﹣22=﹣4，
【点拨】根据幂的乘方的运算法则求解.
3.计算：|﹣3|+（﹣1）2= .
【答案】：4.
【解析】解：|﹣3|+（﹣1）2=4，
【点拨】利用有理数的乘方法则，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果.
4.比较大小：32 23.
【答案】：＞.
【解析】解：∵32=9，23=8，
∴9＞8，
即32＞23.
【点拨】分别计算32 和23，再比较大小即可.
5.
【答案】14
【解析】解：原式=
=+18+4-9
=14.
【点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果.
能力型 师生共研
1.观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C.
【解析】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256，…
∴220的末位数字是6.
【点拨】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出220的末位数字.
2.对于正整数n，定义：其中f（n）表示n的首位数字与末位数字的平方和.
例如：f（6）=62=36，f（123）=12+32=10.规定f1（n）=f（n），fk+1（n）=f（fk（n））（k为正整数）.
例如：f1（123）=f（123）=12+32=10，f2（123）=f（f1（123））=f（10）=1.则f4（4）的值为（ ）
A.37 B.58 C.89 D.145
【答案】：C.
【解析】解：依题意得：则
f1（4）=f（4）=02+42=16，
f2（4）=f（f1（4））=f（16）=12+62=37.
f3（4）=f（f3（4））=f（37）=32+72=58.
f4（4）=f（f3（4））=f（58）=52+82=89.
【点拨】根据新定义运算法则列出算式并计算.
探究型 多维突破
1.计算：.
【答案】﹣30
【解析】解：原式=﹣36××+4+=﹣36+4+=﹣30.
【点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果.
2.用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b=ab和a★b=ba，那么（﹣3☆2）★1= .
【答案】：1.
【解析】解：∵a☆b=ab和a★b=ba，
∴（﹣3☆2）★1=[（﹣3）2]★1=9★1=19=1.
【点拨】先根据题意得出（﹣3☆2）★1=[（﹣3）2]★1=9★1=19即可.
2.阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017
首先设S=1+2+22+23+24+…+22017①
则2S=2+22+23+24+25+…+22018②
②﹣①得S=22018﹣1
即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1
1+3+32+33+34+…+32017= .
【答案】
【解析】解：设S=1+3+32+33+34+…+32017①
则3S=3+32+33+34+35+…+32019②
②﹣①得2S=32019﹣1，
即1+3+32+33+34+…+32017=，
【点拨】仿照题中的方法求出值即可.
自助餐
1.下列各组数中，结果相等的是（ ）
A.﹣12与（﹣1）2 B.
C.﹣|﹣2|与﹣（﹣2） D.（﹣3）3与﹣33
【答案】D.
【解析】解：A.﹣12=﹣1，（﹣1）2=1，故本选项错误；
B.=，=，故本选项错误；
C.﹣|﹣2|=﹣2，﹣（﹣2）=2，故本选项错误；
D.（﹣3）3=﹣27，﹣33=﹣27，故本选项正确.
【点拨】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分析判断即可得解.
2.若a、b为有理数，下列说法正确的是（ ）
A.若a≠b，则a2≠b2 B.若a2=b2，则a=b
C.若a＞b，则a2＞b2 D.若a、b不全为零，则a2+b2＞0
【答案】D.菁
【解析】解：A、当a=1，b=﹣1时，则a2=b2，故本选项错误；
B、若a=1，b=﹣1时，a2=b2，则a≠b，故本选项错误；
C、若a=1，b=﹣2时，a＞b，此时a2＜b2，故本选项错误；
D、若a、b不全为零，则a2+b2＞0，故本选项正确；
【点拨】根据有理数的乘方的性质进行判断.
3.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为 .
【答案】2.
【解析】解：[2×3+（﹣2）2]÷5
=[6+4]÷5
=10÷5
=2
【点拨】首先分别求出x的3倍，以及y的平方的值各是多少；然后根据有理数混合运算的运算方法，用它们的和除以5，求出输出的结果是多少即可.
4.“24点游戏”指的是将一副扑克牌中任意抽出四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能使用一次），使得运算结果是24或者是﹣24，其中红色代表负数，黑色代表整数．现抽出的牌所对的数字是12，﹣12，3，﹣1，请你写出刚好凑成24的算式 ．
【答案】12×（﹣1）﹣（﹣12）×3=24.
【解析】解：根据题意得：12×（﹣1）﹣（﹣12）×3=24．
【点拨】利用“24点”游戏规则写出算式即可．
5.计算：.
【答案】0.
【解析】解：原式=
=1﹣8÷8
=0.
【点拨】根据有理数的运算法则和顺序计算.注意同级运算中的先后顺序.
6.定义一种对正整数n的“F运算”：
（1）当n为奇数时，结果为3n+5；
（2）当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，
例如，取n=26，则：
若n=449，则第2014次“F运算”的结果是 .
【答案】1.
【解析】解：第一次：3×449+5=1352，
第二次：，根据题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，
第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；
第五次：1×3+5=8；
第六次：，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环.
因为2014是奇数，所以第2014次运算结果是1，
【点拨】把n值代入进行计算第一次，结果是1352，第二次，所以k=3，结果是169，以此类推，第三次代入计算结果是512，第四次代入k只能等于9，计算结果是1，第五次代入计算结果是8，第六次是1，此后计算结果8和1循环.