2024_2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示课件新人教A版选择性必修第一册

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第一章学习单元3　空间向量及其运算的坐标表示本学习单元包括空间直角坐标系,空间向量运算的坐标表示,向量平行和向量垂直时坐标之间的关系,向量长度公式的坐标表示,两向量夹角公式的坐标表示,以及空间两点间的距离公式等内容.在平面向量中,我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,从而把平面向量的运算转化为数的运算.类似地,通过建立空间直角坐标系,以与x轴、y轴、z轴方向相同的三个单位向量i,j,k为基底,可以把空间向量的运算转化为数的运算.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间向量基本定理→空间直角坐标系→空间向量运算的坐标表示→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:空间向量基本定理→空间直角坐标系→空间向量运算的坐标表示→简单应用 通过本单元的学习,我们应该了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间向量及其运算的坐标表示,并会应用这些知识解决简单的立体几何问题,从中发展数学运算和逻辑推理等素养.基础落实·必备知识一遍过知识点1　空间直角坐标系与坐标表示1.空间直角坐标系.在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:　　　　　　　　　　,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.O叫做原点, i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面. x轴、y轴、z轴 2.点的坐标.3.向量的坐标.在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).当向量的始点为坐标原点时,向量的坐标与向量终点坐标是一致的微点拨1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.微思考1.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,向量 的坐标与终点P的坐标有何关系?   2.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系? 提示 向量 的坐标恰好是终点P的坐标,这就使得向量的坐标与点的坐标形成一一对应.提示 是.在给定空间直角坐标系下,空间给定一点,其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间也有唯一的点与之对应.知识点2　空间向量运算的坐标表示1.空间向量的坐标运算法则.设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3)　 a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示.若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)当b≠0时,a∥b⇔a=λb⇔　　　　　　　　　　(λ∈R); (2)a⊥b⇔　　　　　⇔　　　　　　　　　　. a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示.若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则微思考 重难探究·能力素养速提升问题1在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢?问题2在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任意一点A,或任意一个向量 ,能否借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z)?问题3有了空间向量的坐标表示,类比平面向量的坐标运算,能否得到空间向量的坐标运算法则并加以证明?探究点一 空间向量的坐标表示问题4我们建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,从而把向量的运算转化为坐标运算,由此将向量从几何往代数的方向过渡.根据向量坐标的定义,如何求空间向量的坐标表示?规律方法　用坐标表示空间向量的步骤如下: 探究点二 空间向量的坐标运算 问题5类比平面向量的坐标运算,能否得到空间向量的坐标运算法则?根据空间向量的坐标运算法则,如何进行空间向量的坐标运算?【例2】 已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)·(p-q)=-15-25+56=16.规律方法　关于空间向量坐标运算的两类问题 探究点三 空间向量的平行与垂直问题6根据空间向量的坐标运算法则,结合立体几何线面平行及线面垂直的判定定理,如何证明线面平行以及线面垂直?【例3】 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥平面BDF.规律方法　判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或 (x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.探究点四 空间向量夹角与模的计算问题7根据空间向量的坐标运算法则,结合向量数量积的定义,如何求空间向量的夹角及模?【例4】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC=2,M是棱CC1上的中点.求异面直线AM与BC所成角的余弦值.解 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),M(1,1,1),B(1,0,0),C(1,1,0),规律方法　向量夹角与模的计算方法利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.本节要点归纳1.知识清单:(1)空间直角坐标系的概念;(2)空间点的坐标;(3)空间向量的坐标及坐标运算;(4)向量的坐标表示的应用.2.方法归纳:数形结合、类比、转化.3.常见误区:(1)混淆空间点的坐标和向量坐标的概念,只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同;(2)求异面直线所成的角时易忽略范围;讨论向量夹角易忽略向量共线的情况.学以致用·随堂检测促达标1234512345123451234512345123453.(例3对点题)已知l为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,且l⊄α,判断下面直线l与平面α的位置关系是平行还是垂直.(1)l=(-1,1,1),n=(1,4,-3);(2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).解 (1)由题得,l·n=-1+4-3=0,所以l⊥n.又l⊄α,所以l∥α.(2)因为n=-2l,即l∥n,所以l⊥α.12344.(例4对点题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF=　　　　　,EF=　　　　　. 1234