2024_2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册

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第一章1.1.1　空间向量及其线性运算学习单元1　空间向量及其运算在必修第二册“立体几何初步”中,我们用几何方法研究空间几何体的结构特征,研究空间点、直线、平面的位置关系,研究各类角的问题等,但如果对几何图形的直观感觉不够,有时会觉得非常困难.形不够用,数来帮忙.能否用代数方法来解决问题?类比平面向量解决几何问题的基本思路,把平面向量向空间推广,利用空间向量来解决几何问题.本学习单元类比平面向量的研究过程,学习空间向量的概念、运算;类比平面向量解决几何图形的方法,学会用空间向量解决立体几何问题.即在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上,类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法,将平面向量及其运算推广到空间.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间向量的实际背景→空间向量及其相关概念→空间向量的线性运算→空间向量的数量积运算→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:本单元学习的最终目标是能类比平面向量学习空间向量及其相关概念,掌握空间向量的线性运算.空间向量的数量积运算,能用向量方法解决立体几何问题.在这个过程中,蕴含数学抽象和数学运算核心素养的培养.基础落实·必备知识一遍过知识点1　空间向量的定义及相关概念1.定义.在空间,我们把具有　　　　和　　　　的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的　　　　　　. 2.空间向量及其模的表示方法.空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作　　　,其模记为|a|或 . 大小 方向长度或模3.空间向量的相关概念. 对于任意向量a,均有0∥a 微思考怎么规定零向量的方向?长度为1的向量都是相等向量吗?提示 规定零向量的方向是任意的;长度为1的向量不一定是相等向量,方向可能不同.知识点2　空间向量的线性运算 0 (λμ)a λa+μa λa+λb 知识点3　共线向量与共面向量1.互相平行或重合 同一个平面a=λb p=xa+yb 2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得 =λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　　　　　.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 方向向量 微思考任意两个空间向量是共面向量,则任意三个空间向量是否共面?提示 任意三个空间向量不一定共面,如下图所示. 重难探究·能力素养速提升问题1类比平面向量的相关概念及其线性运算,能否推出空间向量相应的概念及其线性运算?问题2空间向量线性运算的结果,与向量起点的选择有关系吗?问题3对两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系?反过来,向量p与向量a,b有什么位置关系时,p=xa+yb?探究点一 空间向量及相关概念的理解问题4向量有大小、有方向.若从大小来分,有哪些特殊的向量?若从方向来看,又会有哪些特殊的向量?若从大小及方向的特殊性来考虑呢?②③ 解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模为0,模为0的向量只有零向量;规律方法　空间向量概念的辨析 探究点二 空间向量的线性运算问题5根据已知向量,如何用空间向量的加减运算表示其他向量? 规律方法　空间向量线性运算的技巧与思路(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧:①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活运用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.(2)化简空间向量的常用思路:①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).探究点三 空间共线向量定理及其应用问题6借助空间向量如何证明三点共线?三点共线如何用空间向量运算来表示?规律方法　利用空间共线向量定理可解决的主要问题(1)判断任意两个空间向量是否共线:判断任意两个空间向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.(2)求解参数:已知两个非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(b≠0,λ∈R)”.(3)判断或证明空间中的任意三点(如P,A,B)是否共线:探究点四 空间共面向量定理及其应用问题7借助空间向量如何证明四点共面?四点共面如何用空间向量运算来表示?规律方法　证明空间三向量共面或四点共面的方法(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.本节要点归纳1.知识清单:(1)空间向量的相关概念;(2)空间向量的线性运算及运算律;(3)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量;(4)空间向量共面的充要条件,三点共线、四点共面的证明方法.2.方法归纳:类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合和转化思想.3.常见误区:(1)容易忽视向量的“大小”和“方向”两个要素,要注意向量不是一个数;(2)容易混淆向量共线与线段共线、点共线之间的关系.学以致用·随堂检测促达标12341.(例1对点题)下列说法正确的是(　　)A.若|a|=|b|,则向量a,b的长度相同,方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>cB解析 两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确. 12342.(例2对点题)如图所示,已知四面体OABC,M,N分别是棱OA,BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设123412343.(例3对点题)如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是线段AC,BF的中点,判断向量 是否共线.1234解 共线.证明如下:∵M,N分别是线段AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,12344.(例4对点题)已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:试判断点P是否与点A,B,C共面.12341234