2024-2025学年上海市高境中学高二上期末数学试卷+解析

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高境一中2024学年第一学期期末
高二年级数学学科测试卷
2025年1月9日
命题人：顾铭鉴 审核人：盛晓君
满分150分 考试时间：120分钟
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1. 已知事件，其对立事件记为，若，则__________．
【答案】0.8##
【解析】
【分析】根据对立事件的性质即可求解.
【详解】事件的对立事件为，
,则．
故答案为：0.8．
2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中，点关于坐标轴对称特征求出点的坐标.
【详解】点关于轴的对称点的坐标为.
故答案为：
3. 空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为__________．
【答案】平行或异面
【解析】
【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断.
【详解】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线.
故答案为：平行或异面.
4. 表面积为的球的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出半径，再利用公式可求体积.
【详解】，
故答案为：.
5. 已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积_________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得母线长，即可用圆锥的表面积公式求得结果.
【详解】根据题意，求得母线长，即可用圆锥的表面积公式求得结果.
设圆锥的母线长为，则，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
6. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心.
【答案】外
【解析】
【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而由求出，得到答案.
【详解】因为，，所以，
故，
因为，所以，
故是的外心.
故答案为：外
7. 已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解得答案.
【详解】由数列的通项公式为，得数列是等差数列，
则，即，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：
8. 已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，其中，若这两组数据中位数相等，平均数也相等，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由甲乙的中位数求出，由平均数相同求出即可得解
【详解】由茎叶图知甲的中位数为，乙的中位数为，
由两组数据的中位数相同，则，
由平均数相同，得，解得，
所以．
故答案为：
9. 已知无穷等比数列和，满足各项和为9，则数列的各项和为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】设的公比为，由无穷等比数列各项和公式，求得，进而得到，求得数列的首项和公比，即可求得的各项和．
【详解】设的公比为，由,的各项和为9，得，解得，
则，，
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的各项和为．
故答案为：
10. 甲、乙两人下棋，每局甲获胜的概率为0.6，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，各局的胜负之间是独立的，最终胜者赢得100元奖金．第一局比赛甲胜，后因为有其他要事而中止比赛．按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则甲能获得__________元．
【答案】84
【解析】
【分析】分别求出甲、乙最终获胜的概率，即可求出答案.
【详解】乙最后获胜的情况为第二局、第三局必须乙胜，其概率为：，
即甲最终获胜的概率为，乙最终获胜的概率为，
故甲的奖金为元.
故答案为：.
11. 如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，且，则异面直线与的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可.
【详解】四棱柱的底面为平行四边形，
，，
，而，
则，
，因此，
所以异面直线与BD的夹角的余弦值为.
故答案为：
12. 如图是一座山示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为______________公里.
【答案】32
【解析】
【分析】先展开圆锥的侧面，确定观光铁路路线，再根据实际意义确定下坡段的铁路路线，最后解三角形得结果.
【详解】沿母线将圆锥的侧面展开，如图：

记为上的任意一点，作，垂足为，连接，
由的长为，得，由两点间线段最短，知观光铁路为图中线段，
而，则，
上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的距离越来越大，
因此上坡段的铁路，即图中的线段，由，得.
故答案为：32
【点睛】关键点点睛：作出圆锥侧面展开图，确定铁路对应线段是解决问题的关键.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题年题4分，第15-16题每题5分每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）
13. 下列关于散点图的说法中，正确的是（ ）
A. 任意给定统计数据，都可以绘制散点图B. 从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系
C. 从散点图中可以看出两个量的因果关系D. 从散点图中无法看出数据的分布情况
【答案】B
【解析】
【分析】根据散点图的概念判断即可.
【详解】散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；
散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；
散点图中能看出数据的分布情况，故D错误.
故选：B
14. 已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（ ）
A. 两两垂直B. 两两异面C. 两两相交D. 两两平行
【答案】D
【解析】
【分析】对ABC作出相应空间图形即可；对D，通过反证法即可得到其无法两两平行.
【详解】如图1，可得，，可能两两垂直，故A正确；
如图2，可得，，可能两两相交，故C正确；
如图3，可得，，可能两两异面，故B正确；

对D，设，且与均不重合，
假设：，由可得：，，
又，可知，，
又，可得：，
因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面，
若与或重合，同理可得与相交或异面，
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行，故D错误.
故选：D.
15. 有下列几何对象：①长度为的短棍（粗细忽略不计）；②面积为的正方形纸片（厚度忽略不计，不可折叠）；③体积为的正四面体木块.关于上述几何对象能否单独完全装入一个棱长为的正方体盘子（壁厚度忽略不计），正确的结论是（ ）
A. 仅①②能B. 仅②③能
C. 仅①③能D. ①②③均能
【答案】D
【解析】
【分析】通过比较正方体体对角线的长可以判断①，通过比较正方体对角面的面积可以判断②，计算正四面体的棱长，与正方体中最大的正四面体的棱长比较，可以判断③.
【详解】①棱长为的正方体盘子，体对角线长为，
所以长度为的短棍（粗细忽略不计）放入正方体体对角线的位置就可以装入；
②棱长为的正方体盘子，对角面的面积为，
所以面积为的正方形纸片（厚度忽略不计，不可折叠）放入正方体对角面的位置就可以装入；
③设正四面体棱长为，如图正四面体，是面中心，是四面体的高，
则，，
体积,所以，
棱长为的正方体中最大的正四面体为面对角线构成的正四面体，此时正四面体的边长为，，所以可以装入.
故选：D
16. 设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A. ①成立，②成立B. ①不成立，②成立
C. ①成立，②不成立D. ①不成立，②不成立
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取，则，满足题设，即可判断①；对是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②.
【详解】对于①，取，则，满足题设，①成立；
对于②；假设存在，，公比为，
当时，，，则，当时，对任意正整数，不存在正整数m，使得，
当时，，要使，则需，
即，由为常数，为确定的正整数，得是确定的数，
而为任意正整数，是变量，且当趋近于无穷大的正整数时，
趋近于）或趋近于无穷大（），因此②不成立.
故选：C
三､解答题（本大题共78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）
17. 如图，在棱长为1的正方体中，及分别为棱和的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为棱的中点，求证：平面．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用线面垂直的性质与判定定理即可得解.
【小问1详解】
在正方体中，E，F，G分别为棱和的中点，
，且，则四边形是平行四边形，，
而平面平面DEG，所以平面DEG.
【小问2详解】
在正方体中，平面，面，则，
由是正方形边的中点，得，则，
为棱的中点，在正方形中，，
则，即，则，
又平面DEG，所以平面DEG.
18. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，取中点，利用正四棱锥的结构特征及线面角的定义求出线面.
（2）作出二面角的平面角，利用几何法求出二面角的大小.
【小问1详解】
在正四棱锥中，连接，取中点，连接
则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角，
由，得，而，在中，，
所以直线与平面所成角的大小为.
【小问2详解】
在中，过作于，连接，
由≌，得，而，
则≌，，即，
因此是二面角的平面角，，
，，
，在中，，，
，，
所以二面角的大小为.
19. 某公司积极投入本市“五个新城”建设，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题：
（1）求2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计多少亿元？
（2）该公司在哪年哪季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？
【答案】（1）
（2）年第4季度
【解析】
【分析】（1）由已知，可知该公司营业收入组成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可；
（2）设季度后的利润将首次超过该季度的营业收入的，则得，利用计算器解得的最小值为，即可得到答案.
【小问1详解】
由已知，该公司2021年第一季度起其营业收入组成首项为，公差为的等差数列，
则2021年至2026年，六年共24个季度营业收入共计，
即2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计亿元.
【小问2详解】
设季度后的利润将首次超过该季度的营业收入的，
因为该公司2021年第一季度的利润为0.16亿元，
每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长，
所以，
因为，所以利用计算器解得的最小值为，又，
所以该公司在年第4季度的利润将首次超过该季度的营业收入的.
20. 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男､女学生的比例分别抽样调查了48名男生和27名女生的每周锻炼时间．通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8．
（1）若该校男生总数为1280，求该校学生总数；
（2）若所选27名女生每周锻炼时间从小到大排列后的第9至第13个数据依次为5､5.3､5.6､5.8､5.9，求所选女生样本的第40百分位数；
（3）求所有样本数据的平均数和方差（精确到0.001）．
【答案】（1）2000；
（2）5.6； （3）平均数为7.168，方差为7.692.
【解析】
【小问1详解】
设该校学生总数为，依题意，，解得，
所以该校学生总数为2000.
【小问2详解】
由，得所选女生样本的第40百分位数为第11个数5.6.
【小问3详解】
所有样本数据的平均数；
所有样本数据的方差为.
21. 已知数列满足（为正整数）．
（1）设是公差为2的等差数列．当时，求的值；
（2）设．求正整数，使得对一切正整数，均有；
（3）设．当时，求数列的通项公式．
【答案】（1），
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据公差化简计算得出,再代入求值即可；
（2）代入求出，再分类得出数列的单调性即可得出；
（3）分和两种情况分别应用累加法及分组求和法求出通项公式.
【小问1详解】
，是公差为2的等差数列，
所以，所以，又因为，
所以，即，
，即．
【小问2详解】
因为，所以，
所以，当，单调递减，所以，
当，单调递增，所以，
所以数列最小值为，所以，使得对一切正整数，均有；
【小问3详解】
因为，所以，
所以化简得，
当时，，
求和得，
所以；
当时，，
则.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是得到，进而分情况利用累加法及分组求和法进行求解.