2023-2024学年重庆市北碚区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年重庆市北碚区九年级（上）期末数学试卷，共6页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；，如图，在中，，则的值是，估计的值应在，已知两个二次根式等内容，欢迎下载使用。
（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式不为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程，原方程变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，以点为位似中心，将四边形放大到原来的3倍，得到四边形，若四边形的面积为1，则四边形的面积是（ ）
4题图
A．3B．6C．8D．9
5．如图，在中，，则的值是（ ）
5题图
A．B．C．D．
6．估计的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
7．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的切线，为切点，经过圆心，若，则的长度是（ ）
8题图
A．B．C．D．
9．如图，四边形中，，点为对角线的中点，于点，若，，则的度数是（ ）
9题图
A．B．C．D．
10．已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推．
下列说法：①当时，；②；
③（为自然数）．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．化简：______．
12．在一个布袋里装着标号分别为的3个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，将小球上的数字记为，摇匀再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，则使二次根式的值为有理数的概率是______．
13．某商品经过两次降价，每件零售价由60元降为38.4元．已知每次降价的百分率均为，根据题意，可列方程为______．
14．如图，在中，于点，点在上，且，则点到的距离是______．
14题图
15．如图，在矩形中，点是的中点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积是______．
15题图
16．已知关于的方程的根都是整数，且满足等式，则所有满足条件的整数的值之和是______．
17．如图，在中，分别是边上的点，将沿翻折至所在的平面内，得相交于点．若，，则的长是______．
17题图
18．如果一个三位自然数的各数位上的数字均不为0，且使得关于的方程有两个相等的实数根，那么称这个三位数为该方程的“等根数”．例如：三位数441是方程的“等根数”．则关于的方程的最小“等根数”是______；如果是关于的方程的“等根数”，记，若是整数，则满足条件的最大值是______．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：（1）；（2）．
20．如图，在中，的平分线交于点，交于点．
20题图
（1）用直尺和圆规，作的平分线交于点，交于点（只保留作图痕迹）．
（2）在（1）所作的图中，若，试说明．请根据以下思路完成填空：证明：在中，，
，
平分，平分，
，___①___，
，
___②___，
，
___③___．
，
．
21．某校为了解学生每周课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取了10名学生，记录下他们每周课外阅读时长（小时），并对数据进行了整理、描述和分析（阅读时长记为，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：．
抽取的八年级学生每周课外阅读时长属于优等的数据是：．
抽取的七八年级学生每周课外阅读时长统计表
抽取的八年级学生每周课外阅读时长扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生每周课外阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级有800人，八年级有720人，估计两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有多少人？
22．已知关于的方程．
（1）求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围．
23．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价为40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每降低1元，销售量将增多10台．
（1）商店若希望销售量为260台，则应降价多少元？
（2）商店若希望获利2000元，且使顾客得到实惠，则销售定价为多少元？
24．为了满足市民的需求，某市在一公园外围开辟了两条步道，如图：①，②．经勘测，点在点的正东方向300米处，点在点东北方向，点在点的正东方向，且在点的北偏东方向，米．
（参考数据：）
24题图
（1）求点到的距离；
（2）由于时间原因，小贝决定选择一条较短步道锻炼，请计算说明小贝应该选择步道①还是步道②？（结果精确到1米）
25．在中，，点是的中点，是延长线上一点，且．
25题图1 25题图2
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点是的中点，求证：．
26．在中，，点为外一点，和相交于点，．
26题图1 26题图2 26题图3
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，将绕点旋转得到，连结，点是的中点，当取最小值时，直接写出此时的面积．
【机密】2024年
1月19日前
年级
七年级
八年级
平均数
6.6
6.6
中位数
7.5
众数
8
方差
2.44
2.34
“优等”所占百分比