初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教学设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）1.2 有理数教学设计，共12页。教案主要包含了教学目标，教学设计等内容，欢迎下载使用。
（一）学习目标
1．理解并掌握有理数大小的比较的方法；
2．会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”号连接；
3．通过对有理数大小比较方法的推理，培养学生的数学推理能力.
（二）学习重点
运用绝对值的知识比较两个负数的大小；
（三）学习难点
有理数大小比较的推理．
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
在数轴上，右边的数总比左边的数大；
正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
两个负数比较，绝对值大的反而小.
2.预习自测
（1）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，－1的大小关系是 （ ）
a
-1
0
A. B． C． D．
【知识点】有理数的大小比较
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：由数轴可知：
【思路点拨】根据数轴上的点，左边的数总比右边的数小即可求解.
【答案】C
（2）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．－6 B．－2 C．0 D．
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解: 题意可得:
【思路点拨】根据两个负数比较绝对值大的反而小和0大于负数即可求解.
【答案】 C
（3）在5，，－1，+0.001这四个数中，小于0的数是 （ ）
A．5 B． C．－1 D．+0.001
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解:在5，，－1，+0.001这四个数中，小于0的数是 －1.
【思路点拨】根据0大于负数，正数大于0，正数大于负数即可求解.
【答案】C
下列四组有理数的大小比较正确的是（ ）
A. B． C． D．
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解: 因为 且 所以,故A错误;
因为,所以,故B错误；又C错误;故应选D.
【思路点拨】根据有理数大小比较的法则即可求解.
【答案】D.
（二）课堂设计
1.知识回顾
绝对值的定义是什么？
绝对值的法则是什么？
数轴的三要素是什么？
2.问题探究
探究一 有理数大小的比较法则
活动
某一天我国5个城市的最低气温如图所示：
比较这5个城市，哪个城市的最低气温最低？是多少？哪个城市的最低气温最高？是多少？
你能将这5个城市的最低气温按从低到高的顺序排列吗？
请你将这5个数字分别在数轴上表示出来？
学生举手抢答.
总结：
数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数总小于右边的数.
师问：对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？
学生举手抢答.
总结：有理数大小比较的法则：一般地，（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数比较，绝对值大的反而小.
【设计意图】学生通过生活中的实际问题的大小比较，自然的引出有理数大小的比较方法，体验数学来源于生活的本质，通过小组合作和师生互动，激发学生学习热情的同时，锻炼学生的小组合作能力，分析归纳的能力等.
探究二 会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”号连接★
活动： 会比较有理数的大小，并能正确地使用“＞”或“＜”号连接
例1 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，eq \f(1,2)，－1eq \f(1,2)，4，0
【知识点】 有理数的大小比较
【数学思想】数形结合.
5
4
【解题过程】解：如图所示：
因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1eq \f(1,2)＜0＜eq \f(1,2)＜4＜＋5.
【思路点拨】画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较．
【答案】－3.5＜－1eq \f(1,2)＜0＜eq \f(1,2)＜4＜＋5.
练习：把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数：
0，－（＋4），3，－（－2），|－3|，＋（－5），并用“＜”号连接．
【知识点】有理数的大小比较.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：∵－5＜－4＜0＜2＜3＜3，
∴＋（－5）＜－（＋4）＜0＜－（－2）＜|－3|＜3，
在数轴上表示：
【思路点拨】先判断各数的大小，然后确定数轴的三要素即可在数轴上表示各数的位置．
【答案】＋（－5）＜－（＋4）＜0＜－（－2）＜|－3|＜3
【设计意图】通过练习，理解用数轴比较大小的方法，体会数形结合给解题带来的方便．
探究三 会对有理数大小比较进行推理★▲．
活动
例2 比较下列各对数的大小：
和；（2）和；（3）和.
【知识点】有理数大小比较的法则
【解题过程】解:（1）先化简，=1，=－2.
因为正数大于负数,所以,即.
这是两个负数比较大小，应用两个负数比较，绝对值大的反而小，先求它们的绝对值.
.
因为，即，所以 .
(3)先化简,,因为,所以.
【思路点拨】（1）先化简，再根据正数大于负数即可判断；（2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断；（3）先化简得两个正数即可比较.
【答案】（1），（2），（3）
练习：比较下列各对数的大小：
(1)3和－5；(2)－3和－5；(3)－2.5和－|－2.25|；(4)－eq \f(3,5)和－eq \f(3,4).
【知识点】有理数大小比较的法则
【解题过程】解：(1)因为正数大于负数，所以3＞－5；
(2)因为|－3|＝3，|－5|＝5，3＜5，所以－3＞－5；
(3)因为|－2.5|＝2.5，－|－2.25|＝－2.25，|－2.25|＝2.25，2.5＞2.25，所以－2.5＜－|－2.25|；
(4)因为|－eq \f(3,5)|＝eq \f(3,5)，|－eq \f(3,4)|＝eq \f(3,4)，eq \f(3,5)＜eq \f(3,4)，所以－eq \f(3,4)＜－eq \f(3,5).
【答案】3＞－5；－3＞－5；－2.5＜－|－2.25|；－eq \f(3,4)＜－eq \f(3,5).
【设计意图】通过练习，熟练掌握两个负数比较的方法，学会书写两个负数大小比较的推理过程.
3.课堂总结
知识梳理
（1）在数轴上，右边的数总比左边的数大；
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较，绝对值大的反而小.
重难点归纳
会对两个负数进行比较，会书写两个负数比较的推理过程；
数形结合的思想.
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.某日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是℃、℃、6℃、℃，当时这四个城市中，气温最低的是（ ）
北京 B.上海 C.重庆 D.宁夏
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解：因为，所以气温最低的是宁夏.
【思路点拨】根据有理数大小比较的法则即可求解。
【答案】D
2.已知，，在数轴上的位置如图所示，比较大小．
c
0
b
a
（2） （3） （4）
（5） （6）
【知识点】有理数的大小比较.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：由题意可得：
（1） > （2） > （3） > （4） <
（5） < （6） >
【思路点拨】先分别求出绝对值和相反数的大小，根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解.
【答案】
（1） > （2） > （3） > （4） <
（5） < （6） >
3.比较大小：
（1） |－2| （2） （3） （4）
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解:（1）因为，所以；
因为，且，所以；
因为负数小于正数，所以
因为，所以
【思路点拨】根据有理数大小比较的方法即可求解.
【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）.
4.若的绝对值小于2，且，则满足条件的整数= ．
【知识点】有理数的大小比较.
【解题过程】解：若的绝对值小于2，且，则满足条件的整数=－1.
【思路点拨】若的绝对值小于2，则可为，又，所以为负数，即可求解.
【答案】－1.
5.当= 时，式子的最小值是 .
【知识点】有理数的大小比较.
【解题过程】解：当=4时，式子的最小值是3 .
【思路点拨】根据绝对值是一个非负数即可求解.
【答案】4；3.
6.在数轴上表示出下列各数：2.5，－(－1)，+(－4)，－(+3)，0并用“＜”号将它们连接起来．
【知识点】有理数的大小比较.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：由题意得：，如图
即
【思路点拨】先化简,将各数在数轴上表示出来,再比较大小即可求解.
【答案】

能力型 师生共研
1.比较与的大小．
【知识点】有理数的大小比较．
【数学思想】分类讨论.
【解题过程】解：当时,；当时,.
【思路点拨】由于的取值范围不清楚,故需要分类讨论.
【答案】当时，;当时，.
2.用字母a，b表示任一有理数，若已知a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，借助于数轴，试把a，－a，b，－b四个数用“＜”号连接起来．
【知识点】有理数的大小比较.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：如图所示：
所以b＜－a＜a＜－b．
【思路点拨】根据|a|＜|b|，可得b距离原点比a远，画出数轴后，利用数形结合即可得出答案．
【答案】b＜－a＜a＜－b．
探究型 多维突破
1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b－c 0， a＋b 0，c－a 0．
（2）化简：|b－c|＋|a＋b|－|c－a|．
【知识点】有理数的大小比较，绝对值化简.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b－c＜0，a＋b＜0，c－a＞0；
（2）|b－c|＋|a＋b|－|c－a|
=（c－b）＋（－a－b）－（c－a）
=c－b－a－b－c＋a
=－2b．
【思路点拨】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
【答案】（1）＜，＜，＞；（2）－2b.
2.先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：结合具体的数，通过特例探究当时，与的大小．
解：当时，取，则2＞；
取，则……所以；
当时，；
当0＜＜1时，取，则＜2；
取，则＜……所以．
综上：当时，；当时，；当0＜＜1时，．
问题：结合具体的数，通过特例探究当时，与的大小．
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】
解：当时，取，则；取，则……所以；
当时，； 当时，取，则，取，则……所以
【思路点拨】结合所给例题，进行分类讨论即可.
【答案】当时；当时，；当时，.
自助餐
1.下列说法错误的是（ ）
A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是－1
C．绝对值最小的有理数是0 D．最小的有理数是0
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解:最小的正整数为1，最大的负整数为－1，绝对值最小的有理数为0，没有最小的有理数，故应选D
【思路点拨】根据最小的正整数为1，最大的负整数为－1，绝对值最小的有理数为0，没有最小的有理数即可判断。
【答案】D
2.给出下列判断：
①若|m|＞0，则m＞0；
②若m＞n，则|m|＞|n|；
③若|m|＞|n|，则m＞n；
④任意数m，则|m|是正数；
⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大.
其中正确的结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解：①若|m|＞0，则m＜0或m＞0，此说法错误的；
②1＞﹣2，|1|＜|﹣2|，此说法是错误的；
③|﹣2|＞|1|，﹣2＜1，此说法是错误的；
④任意数m，则|m|是非负数，此说法是错误的；
⑤在数轴上，离原点越远，该点对应的数的绝对值越大是正确的．
【思路点拨】分别利用绝对值的定义以及有理数的定义以及数轴的性质分析得出即可．
【答案】B
3.实数、在数轴上对应位置如图所示，则 .（填“＞”“＜”或“=”号）
b
0
a
【知识点】有理数的大小比较.
【数学思想】数形结合.
【解题过程】解:由题意可得.
【思路点拨】根据数轴上的两个数右边的数总比左边的数大即可判断.
【答案】.
4.比较下列各组数的大小．
（1）－2 －3 ；（2） （3）－(－4) |－4|.
【知识点】有理数的大小比较.
【解题过程】解:（1）因为且，所以；
因为且，所以；
因为，所以.
【思路点拨】根据有理数的大小比较的法则即可判断。
【答案】（1）；（2）；（3）
5.已知,求的值.
【知识点】绝对值.
【解题过程】解:因为 ；所以，即
则.
【思路点拨】根据非负数的和为零时，分别为零即可求解.
【答案】3.
6.探索研究：
（1）比较下列各式的大小 （用“＜”或“＞”或“=”连接）
① ；
② ；
③ ．
④ ．
（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当a、b为有理数时，与的大小关系．（直接写出结论即可）
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015=|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．
如|a1+a2|+|a3+a4|=15，|a1+a2+a3+a4|=5，则a1+a2= ．
【知识点】有理数的大小比较
【解题过程】解：（1）①∵=5，=1，
∴＞；
②∵=，=，
∴=；
③∵=9，=3，
∴＞；
④∵=8，=8，
∴=；
（2）当a，b异号时，＞，
当a，b同号时，=，
∴≥；
（3）由（2）中得出的结论可知，x与﹣2015同号，
当|x|+2015=|x﹣2015|时，则x的取值范围是：x≤0．
当|a1+a2|+|a3+a4|=15，|a1+a2+a3+a4|=5，
可得a1+a2和a3+a4异号，
则a1+a2=10或﹣10或5或﹣5．
故答案为：x≤0；10或﹣10或5或﹣5．
【思路点拨】（1）分别先求出左右两边的值，进而比较大小；
（2）根据绝对值的性质结合“当a，b异号时，当a，b同号时”分析得出答案；
（3）利用（2）中结论进而分析得出答案．
【答案】（1）；=；；=； （2）|a|+|b|≥|a+b|； （3）x≤0；10或﹣10或5或﹣5．