广西壮族自治区柳州市柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

这是一份广西壮族自治区柳州市柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：袁志勇唐亚平审题人：唐亚平
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置.
1.设集合，若，则（ ）
A.B.C.D.
2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现偶数点”，事件“出现3点或4点”，则事件与事件的关系为（ ）
A.相互独立事件B.相互互斥事件
C.既相互独立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互独立事件
3.“对任意实数都有”是“”的（ ）．
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强，已知某海域5米深处的光强是海面光强的；则该海域消光系数的值约为（ ）（参考数据：）
A.0.2C.0.1
5.曲线在点处的切线方程为（ ）
A.B.C.D.
6.记为数列的前项积，已知，则（ ）
A.23B.24C.25D.26
7.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.最小正周期为B.函数在上有3个零点
C.函数在区间上单调递增D.函数的图象关于直线对称
8.四边形ABCD是边长为4的正方形，点是正方形内的一点，且满足．则的最大值是（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是样本
C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体．则每个个体被抽到的概率都是
D.若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27
10.已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A.B.复数的虚部为
C.D.复数满足，则的最大值为2
11.设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（ ）
A.的最大值为B.的最小值为-8
C.存在点使D过点作圆的切线，则切线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的导函数为，则______.
13.如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为______.
14.定义在上的偶函数对于任意的有，且当时，，若函数在上只有四个零点，则实数______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图.
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将末患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布.
（1）当漏诊率时，求临界值和误诊率；
（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图（图2），临界值，从样本中该医学指标在[95，105]上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一人为被误诊者的概率是多少？
16.（15分）已知在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，满足
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17.（15分）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求证：；
（2）若，求的面积.
18.（17分）如图，三棱锥中，，平面平面，为棱AB的中点，为棱PC上的点.
（1）证明：平面PBC；
（2）若二面角的余弦值为，求点到平面AEF的距离.
19.（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知，动点满足，且.设动点形成的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于M，N两点，试判断是否存在直线，使得A、B、M、N四点共圆.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
柳州铁一中学2024—2025学年第一学期高二年级段考数学科
参考答案：
12.013.14.
15.解：（1）依题可知，图1第一个小矩形的面积为，所以，所以，解得，
.
（2）由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在[95，105]中的有人，
其中被误诊者有人，
记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误诊的2人，
样本空间，
事件，故，
，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是.
16.解：（1）由题意得，设公差为，
又，所以，解得或0，因为公差不等于0，所以，
故；
①中，当得，解得，
当时，②，①-②得，即，
故为公比为2的等比数列，故；
（2），
，
，
两式相减得解得.
17.解：（1）由正弦定理，知，
所以，即为，所以，
即，所以.
因为，所以或，即或（舍去）；
（2）由，得，
所以，即.由余弦定理，得，
即，解得，所以.
又由，可得，得，
所以的面积.
18.解：（1）因为平面平面ABC，平面平面平面ABC，所以平面PAB.
因为平面PAB，所以.
因为，所以.
又，所以，所以.
因为平面，
所以平面PBC.
（2）过点P作，垂足为点.
因为平面平面ABC，平面平面平面PAB，所以平面ABC.
以为原点，OB所在直线为轴，过点且平行于BC的直线为轴，
OP所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，平面PBC，又平面PBC，
所以，
在直角中，，则.
又，所以，
所以，
.
设，则，
所以.所以.
设平面PAF（平面PAC）的法向量为，
则即
取，则，
为平面PAF的一个法向量，
设平面AEF的法向量为，
则即.
取，则，
为平面AEF的一个法向量，
设二面角的大小为，
则，解得.
此时为PC的中点，，平面AEF的法向量为.
所以点到平面的距离.
19.解：（1）设，则，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，整理得，
所以曲线的方程为；
（2）易知当的斜率不存在时，直线与曲线没有两个交点，所以直线的斜率存在，
设，将直线与曲线联立，得
消去，整理得，
因为且，
所以且，
设，则，
所以MN的中点，且，
将代入上式，
整理得，
当时，线段MN的中垂线方程为，
令，解得，即与轴的交点坐标为，
当时，线段MN的中垂线为轴，与轴交于原点，符合点坐标，
因为AB的中垂线为轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
因为且，所以上述方程无解，即不存在直线符合题意.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
B
B
B
C
C
D
AD
ACD
AD