广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学题

这是一份广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学题，共11页。试卷主要包含了椭圆，，若椭圆等内容，欢迎下载使用。

1.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线，切点为使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.椭圆，（）的右顶点为，已知，若椭圆上存在点，满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A.4 B. C. D.
5.加斯帕尔•蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A.椭圆的离心率为
B.若为正方形，则的边长为
C.椭圆的蒙日圆方程为
D.长方形的面积的最大值为14
6.若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.现将质点随机投入椭圆所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆的面积公式为）（ ）
A. B. C. D.
8.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10双曲线的蒙日圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题
11过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为__________.
12.椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，，直线交椭圆于点，则椭圆的离心率为__________.
13.已知椭圆的左､右焦点为，过作轴垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是__________.
14.已知椭圆为椭圆的两焦点，如果上存在点，使，那么离心率的取值范围是__________.
三､多选题
15.如图，正方体的棱长为是的中点，是侧面内的一个动点（舍边界），且平面，则下列结论正确的是（ ）
A.平面截正方体所得截面的面积为
B.动点的轨迹长度为
C.的最小值为
D.与平面所成角的正弦值的最大值为
16.在棱长为2的正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有（ ）
A.点的轨迹长度为
B.直线与直线所成角可能为
C.平面与平面所成锐二面角的正切值为
D.过点的平面截正方体所得的截面面积最大为
四､解答题
17.在中，内角所对的边分别为的面积为，已知
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
18.中，内角的对边分别为，记的面积为，且.
（1）求角；
（2）若为的中点，且，求的内切圆的半径.
19.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A为锐角，的面积为S，且满足.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
柳州铁一中学2023级高二上学期数学周周清（2）参考答案
1.A 【详解】椭圆上长轴端点向圆外两条切线，，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，，解得，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是；
2.B 解：因为椭圆，所以，设点，因为，所以点满足的轨迹方程：，即，
故当时，点存在，故椭圆的离心率，又因为，所以
3.D 【详解】圆的圆心，半径为1，
因为圆心到距离为2，所以圆上的点到的距离最大值为3，最小值为1，
又因为，则以为直径的圆和圆有交点，可得，所以有，
4.B 【详解】点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交
点，，设，
，
，在中，，
，解得，在
中，，所以直线的斜率为，
5.B 【详解】对于A，由椭圆方程知：，则，
椭圆的离心率，A正确；对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，
正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，
正方形的边长为，B错误，C正确；对于D，设长方形的长和宽分别为，
长方形的对角线长为圆的直径长方形的面积（当且仅当时取等号），即长方形的面积的最大值为D正确.
6.D 【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.
所以点在蒙日圆上，所以，
所以，即，所以椭圆的离心率.
7.D 【详解】由题意知，蒙日圆的半径为，
所以，根质点落在椭圆外部的概率为.
8.B 【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，因为圆与圆仅有一个公共点，所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，由此解得，
9.A 【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为，
所以为蒙日圆的直径，所以，所以，
因为，当且仅当，时，等号成，立，所以面积的最大值为，所以，则，
10.A 【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为存在且不为零，
联立，消去得，
所以，整理得
可知为关于的方程的两个根，且，
即，整理得，即点的轨迹方程为，
即双曲线的蒙日圆方程为，
半径为面积为.
11. 【详解】由题可知，的蒙日圆方程为，
半径为，且，
所以为直径，所以.
又，所以.
所以的周长为.
12.（也可以） 【详解】
由题意知三角形为等腰直角三角形，设，
则，解得，在三角形中，由勾股定理得，所以.
13.【详解】椭圆的左､右焦点为，点由为等腰直角三角形可知，，即可化为，
故或（舍）
14. 【详解】解：当为椭圆上下顶点时最大，
所以，则，
所以，
因为，所以，即椭圆离心率的取值范围为，
15.BCD 【详解】如图1，取的中点，连接，因为，
所以平面截正方体所得的截面为四边形.
因为，所以A错误.如图1，取的中点的中点，连接，，因为，由于平面平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面，
所以点的轨迹为线段.因为，所以正确
连接交于，此时最小，因为，所以C正确.
如图3，建立空间直角坐标系，则，设，则，所以.
设平面的法向量为，因为，
所以，令，得，设与平面所成的角为，
则，当时，有最大值，所以D正确.
16.ACD 【详解】解：对于A：取和的中点分别为，连接，则平面平面，所以平面平面，因为在侧面上运动，且满足平面，所以点在线段上.故点运动的轨迹长度为：，故选项A正确；对于B：因为.所以与直线所成角即为与直线所成角，则即为异面直线所成的角，在中，，因为正方体的棱长为2，在中，，若所成的角为，则，而最大为，矛盾，所以所成角不可能为，故选项B不正确；对于C：因为面面，所以下面与平面所锐二面角，即为平面与面所成锐二面角，因为面面，当为线段的中点，可得，所以即为二面角的平面角，且，所以，故选项正确：对于：当为与的交点时过点的平面截正方体所得的截面面积最大，取的中点，则截面为䓗形，，其面积为故选项D正确，
17.（1）（2）【洋解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面积公式，得，即，花，则，不符合题意，故，
所以，由，得.
（2），由正弦定理，，
由，则，得，
所以，即的取值范围.
18.（1）（2）
【详解】（1）因为，所以，
由余弦定理得，所以，又，所以；
（2）因为为的中点，所以，
所以，
解得或（舍），
由余弦定理得，所以
设的内切圆半径为，则，
所以，解得
19.【答案】（1）（1）4
（1）由正弦定理和，得，
又∵，∴，
因为，所以，则，即，又∵，则.
（2）∵，
由余弦定理得，
所以，则，
又∵，则，当，即时，.最大值，最大值为4.