河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷及参考答案

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选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。）
1-8：ACBC CDDD
多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。）
9. BCD 10. AD 11. ABD
填空题（本大题共 3小题，每小题5分，共15分。）
12. -4或-25 13. 1 14. 22+3
解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
解：（1）因为A（0，4），B（2，0），所以D的坐标为（1，2），
因为CD⊥AB，所以m-2-5-1×4-00-2=-1，
解得m＝﹣1． ……………………………………6分
（2）设线段BC的中点为E，由（1）知C（﹣5，﹣1），则E(-32，-12)，
所以kAE=4+120+32=3，
所以直线AE的方程为y﹣4＝3（x﹣0），化简得3x﹣y+4＝0，
即BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y+4＝0．……………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解答】（1）证明：因为AB＝AD＝2，BD=22，
所以AB2+AD2＝8＝BD2，
所以AB⊥AD，
因为ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱往，
所以A1A⊥AB，
因为A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂面ADD1A1，
所以AB⊥面ADD1A1，
因为A1B1∥AB，
所以A1B1⊥面ADD1A1，
因为AD1⊂面ADD1A1，
所以A1B1⊥AD1． ……………………………………7分
（2）解：由（1）及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝AD＝2，BD=22，BC＝4，A1A＝2．
所以A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），D（0，2，0），
所以CB1→=(0，-4，2)，CD1→=(-2，-2，2)，BC→=(0，4，0)， ………9分
设平面B1CD1的一个法向量为n→=(x，y，z)，
则n→⋅CB1→=0n→⋅CD1→=0，即-4y+2z=0-2x-2y+2z=0，
令y＝1，解得x＝1，z＝2，
∴n→=(1，1，2)， ……………………………………12分
所以点B到平面B1CD1的距离为d=|BC→⋅n→||n→|=46=263． …………………15分
17．（本小题满分15分）
【解答】解：（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，
所以d=|m|1+(m-3)2=1，解得m=53；……………………………………4分
（2）当m＝4 时，直线l：x+y﹣4＝0，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP，
所以O，A，P，B四点共圆，切线长|AP|=|OP|2-|OA|2=|OP|2-1，
故|AP|最短当且仅当|OP|最短，即OP⊥l时最短， ……………………………8分
因为|OP|≥42，所以|AP|≥162-1=7，此时kOP＝1，
所以lOP：y＝x，
联立y=xx+y-4=0，得P（2，2）， ……………………………………11分
故以OP为直径的圆的方程为 x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，
因为弦AB即圆O与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得2x+2y﹣1＝0，
所以弦AB所在直线方程为2x+2y﹣1＝0． ……………………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解答】（1）证明：取PB中点F，连接EF,CF.
∆PAB中，EF//AB，且EF=12AB，
又CD//AB，且CD=12AB，
所以EF//CD，且EF=CD，
即四边形EFCD为平行四边形，
所以DE//CF，
又CF⊂面PBC，DE⊄面PBC，
所以DE∥平面PBC. ……………………………………4分
（2）因为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
由题意CD＝AD=12AB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1，
故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
所以BC→=(-1，-1，0)，CP→=(0，-1，1)，
设平面PBC的法向量为m→=(x，y，z)，则m→⋅BC→=0m→⋅CP→=0，即-x-y=0-y+z=0，
令y＝1，则x＝﹣1，z＝1，∴m→=(-1，1，1)，
设点G坐标为（1，t，0），则CG→=(1，t-1，0)，DB→=(1，2，0)，
由CG⊥BD得CG→⋅DB→=1+2(t-1)=0⇒t=12，∴G(1，12，0)，
设平面GPC的法向量为n→=(a，b，c)，CG→=(1，-12，0)，
由n→⋅CP→=0n→⋅CG→=0得-b+c=0a-12b=0，令a＝1，则n→=(1，2，2)，
则cs〈m→，n→〉=m→⋅n→|m→|×|n→|=333=33，
所以平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为33． ………………………………10分
（3）AP→=(-1，0，1)，设AH→=λAP→=(-λ，0，λ)，λ∈[0，1]，GA→=(0，-12，0)，
∴GH→=GA→+AH→=(-λ，-12，λ)，∴cs＜GH→，n→＞=GH→⋅n→|GH→||n→|=2λ-23(8λ2+1)，
∵GH与平面PGC所成角的正弦值为33，∴2λ-238λ2+1=33，
整理得：20λ2+8λ﹣1＝0，解得：λ=110，λ=-12（舍），
∴存在满足条件的点H，AH→=(-110，0，110)，且AH=210．
…………………………17分
19. （本小题满分17分）
解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点N在⊙D上.
若另一点M在⊙E上，则MN≤ME+ED+DN=1+22，当M,E,D,N共线时取到等号；
若另一点M在⊙F上，则MN≤MF+FD+DN=1+22，当M,F,D,N共线时取到等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为⊙E直径，即2.
综上，该几何系统的区径为1+22. ……………………………………4分
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，容易求得棱切球的半径为．
因为∆AB1C为正三角形，记它的外接圆圆心为，易知其半径为263.
又OO1=33，则球心到∆AB1C的外接圆上任意一点的距离均为，圆与球的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，设点M在球O上，点N在⊙O1上，则有OM=2，ON=3. 所以MN≤OM+ON=2+3，当M,O,N三点共线，且M,N在的异侧时取到等号.
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为⊙O1的直径，即463.
综上，该几何系统的区径为463. ……………………………………10分
（3）如图以D为原点建立空间直角坐标系，
在xDy平面上，⊙O1的方程为x-12+y-12=1；
在xDz平面上，⊙O2的方程为x-12+z-12=1.
若两点分别在两圆上，设点M在⊙O1上，点N在⊙O2上，且
M1+csα,1+sinα,0,N1+csβ,0,1+sinβ.
则
MN2&=csα-csβ2+1+sinα2+1+sinβ2&=4+2sinα+sinβ-csαcsβ&=4+2(sinα+1+cs2αsinβ-φ&≤4+2sinα+1+cs2α&≤4+22sin2α+1+cs2α&=8
即MN≤22，等号成立当且仅当α=β=π2.
若两点在同一个圆上，则最大距离为⊙O1的直径，即2.
综上，该几何系统的区径为22. ……………………………………17分