2024-2025学年河南省郑州市高二上学期1月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河南省郑州市高二上学期1月月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．有最大值1B．有最小值1
C．有最大值2D．有最小值2
4．已知向量，，若，则实数等于（ ）
A．B．C．0D．1
5．以双曲线的焦点为顶点，离心率为的双曲线的渐近线方程是
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是C上一点，若，则（ ）
A．B．C．或D．1或
7．若椭圆的长轴比短轴长，则（ ）
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（ ）
A．B．C．4D．
二、多选题（本大题共4小题，每题5分共20分）
9．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．左顶点的坐标为
10．已知直线m方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线m斜率为B．直线m横截距为1
C．直线m纵截距为D．点不在直线m上
11．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．的长轴长与的实轴长相等B．的短轴长与的虚轴长相等
C．焦距相等D．离心率不相等
12．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围为B．若该椭圆的焦点在y轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4D．若，则该椭圆经过点
三、填空题（本大题共4小题，每题5分共20分）．
13．若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C分别交于M，N两点，则的周长为 ．
15．已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为 ．
16．已知椭圆，圆，过原点且斜率为正的直线与圆相切于点，与椭圆在第一象限交于点，若是的中点，则椭圆的离心率是 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题10分，18--22题每题12分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量，．
(1)求与的夹角余弦值．
(2)若，求实数的值．
18．（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
①；
②．
（2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围.
19．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的角的余弦值．
20．（1）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
（2）如图，在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，为垂足，求线段PD的中点M的轨迹方程．
21．椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程．
22．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
1．D
【分析】根据集合的交集运算求解.
【详解】由题意可得.
故选：D.
2．C
【分析】利用复数的运算法则以及共轭复数的定义即可得出结果.
【详解】因为，
即，
所以的共轭复数为，其虚部为.
故选：C.
3．D
【分析】由基本不等式求和的最小值.
【详解】已知，则，
当且仅当，即时等号成立，
则有最小值.
故选：D.
4．D
【分析】根据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知向量，，，
故，
故选：D
5．D
【分析】由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出值即可得答案．
【详解】由题可知双曲线的焦点坐标为，则所求双曲线的顶点坐标为，即，又因为离心率为，所以，解得，所以，即，所以渐近线方程是
故选D
本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得，属于简单题．
6．B
【分析】由双曲线的方程求得，且，得出点在的左支上，根据双曲线的定义可得选项.
【详解】由题意知，，所以点在的左支上，所以即，所以.
故选：B.
7．D
【分析】先判断与的值，再由即可求得.
【详解】因为，所以，
所以结合椭圆方程，可得，，即，，
由题意可知，即，解得．
故选：D.
8．A
【分析】设点，，，根据已知列式化简得出动点的轨迹方程为椭圆，由椭圆的定义得出为椭圆的两焦点，即可根据椭圆的定义得出答案.
【详解】设点，，，
由，得，
点在椭圆上，
，，
则代入，得，
，
，
将代入，得，
得
由，得，
则，
直线与直线斜率之积为，即，得，
则，即，
故动点的轨迹方程为，即，
即动点的轨迹方程为椭圆，
平面内存在两定点，使得为定值，
则为椭圆的两焦点，
则，
故选：A.
9．ABC
【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，那么，
所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
10．AC
【分析】A选项，变形为，得到斜率；B选项，令求出横截距；C选项，令求出纵截距；D选项，代入检验即可.
【详解】A选项，变形为，故直线m斜率为，A正确；
B选项，中令得，，故直线m横截距为-1，B错误；
C选项，中令得，，故直线m纵截距为，C正确；
D选项，当时，，故点在直线m上，D错误.
故选：AC
11．CD
【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.
【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
离心率为，
当时，，，
双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，
焦距为，离心率为.
故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，
与的焦距相等，离心率不相等．
故选：CD．
12．BC
【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.
【详解】A：因为方程表示椭圆，
所以，解得，且，故A错误；
B：因为椭圆的焦点在y轴上，
所以，解得，故B正确；
C：若，则椭圆方程为，
所以，从而，故C正确；
D：若，则椭圆方程为，
点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误.
故选：BC.
13．
【分析】由渐近线方程得，进而求得离心率.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，
双曲线的离心率为.
故答案为.
14．20
【分析】由椭圆定义可知，的周长为．
【详解】由，得，由椭圆定义可知，的周长为．
故20.
15．20
【分析】根据已知求出，根据即得的面积.
【详解】
因为＝0，所以⊥，
所以△是直角三角形．
由椭圆定义知||＋||＝6，①
又，②
由－②得，
因为，
所以.
故20.
16．##
【分析】由题意画出图形，根据已知条件求出直线的斜率，求出直线，结合已知条件求出点的坐标，再利用中点公式表示出点的坐标公式，将点代入方程中得到一个关于的方程，然后结合得出关于椭圆离心率的方程解出即可.
【详解】由题意如图所示：

圆的圆心为，半径，
由题意得直线的斜率，且经过坐标原点，
所以设直线的方程，
即，
由圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离等于半径即：，
化简得：，解得，
所以，
由于点在直线上，所以设，
所以，
又圆与直线相切则有，
且，
所以，
所以有，
则，
又因为是的中点，所以，
由点在椭圆上，故有：，
化简整理得：，
所以椭圆的离心率为：
，
故答案为.
方法总结：
求椭圆离心率的方法：
（1）简单类：知道直接用公式计算即可
（2）较难类：根据已知条件建立关于的齐次式方程解出即可.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）应用空间向量夹角的坐标表示求与的夹角余弦值．
（2）由向量线性运算的坐标表示及垂直关系的坐标表示列方程求参数.
【详解】（1）由题设.
（2）由，又，
所以，则.
18．（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）．
【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得.
（2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得.
【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3；
②圆的标准方程为，圆心为，半径为.
（2）由点在圆的内部，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为四棱锥的底面是矩形，所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）因为底面且是矩形，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，则，
所以平面与平面所成的角的余弦值为.
20．（1）；（2）．
【分析】（1）根据条件，建立方程，化简即可求出结果；
（2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，，再利用点在圆上，根据相关点代入法即可求得的轨迹方程.
【详解】（1）设d是点M到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合，则，
将上式两边平方，并化简，得，即，
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．
（2）设点M的坐标为，点P的坐标为，则，，
因为点在圆上，所以，
把，代入上述方程，得，即所求轨迹方程为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆几何性质求解即可；
（2）设，直线：，并联立直线和椭圆方程求出，，再将面积表达出即可利用求函数最值的方法求出直线.
【详解】（1）令，
由题意得：，解得，则
∴椭圆的方程为.
（2）
由题意可知，直线斜率必存在，故设，直线：，
联立，得，。
，，
，
令，则，
又∵在单调递增，
∴当即即时，面积最大，
此时直线.
22．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.