精品解析：湖南省浏阳市2024-2025学年高二上学期期中质量监测数学试题

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考试时间：120分钟满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知非零向量，，且、、不共面，若，则（ ）
A. B. C. 8D. 13
3. 已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若是正三角形，则D的离心率是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 瑞士数学家欧拉在《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为“欧拉线”.已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．

A. B. C. D.
8. 已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18.分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A. 倾斜角为，的斜率为
B. 的斜率为，经过点，
C. 经过点，，经过点，
D. 方向向量为，的方向向量为
10. 长度为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段中点的运动轨迹为曲线，则下列选项正确的是（ ）
A. 点在曲线内
B. 直线与曲线没有公共点
C. 曲线上任一点关于原点的对称点仍在曲线上
D. 曲线上有且仅有两个点到直线的距离为
11. 在直三棱柱中，，，D是AC中点，下列判断正确的是（ ）
A. ∥平面
B. 面⊥面
C. 直线到平面的距离是
D. 点到直线距离是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）
12. 已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
13. 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为___________.
14. 已知圆经过点，且与圆：相切于点，则圆的标准方程为__________________
四、解答题：本题共5小题，共7分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
16. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程，并求的值；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
17. 设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
18. 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面，
（1）求证：；
（2）是否存在一点，满足，且使平面与平面所成的锐二面角的余弦值为；若存在，指出点的位置，否则，请说明理由.
19. 已知为坐标原点，椭圆：的两个顶点坐标为，，短轴长为2，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
（1）求椭圆C的方程
（2）求证：直线恒过定点；
（3）斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值.