湖南省株洲市2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题-

这是一份湖南省株洲市2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题-，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈Z|−10)，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小值为ea+1
B. 若x>a，f(x)的最小值为a+4，且2a∈(n0,n0+1)，n0∈N，则n0=1 (参考e3=20.09)
C. 若g(x)=f(x)−eax−a(x>a)，则g(x)≥e
D. 若f(x)=ka有两根，则k的取值范围为(e2,+∞)
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，3S4−4S3=3，则d= ．
13.曲线f(x)=x+1+ln(x+1)在x=0处的切线方程为 ．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，设A1，A2，B1，B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，R为线段OA2靠近原点O处的三等分点，若点B2关于直线B1R的对称点M恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ABC的三个顶点分别为A(0,1)，B(1,2)，C(4,3)．
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC的外接圆M的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnxax．
(1)当a>0时，求y=f(x)的单调区间；
(2)若g(x)=f(x)−x有两个零点，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，AA1=4，AA1⊥AC，∠BAA1=60∘，D是CC1的中点．
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面BAD;
(2)求平面ABC与平面AB1C1夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线x22−y24=1与直线l:y=kx+m(k≠± 2)有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0)，B(0,y)两点．
(1)求直线AB的方程(用k，m表示);
(2)当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹E的方程;
(3)已知点Q(3 2,0)，若直线ST不过点Q且与曲线E相交于S，T两点，并且有QS⋅QT=0，问是否存在直线ST使得△QST的面积为72?若存在，求出此时直线ST的方程;若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
若正整数数列{xn}满足：对任意的n∈N*，都有xn−xn−1>xn−1−xn−2(n≥3)恒成立，则称数列为“差增数列”．
(1)若1，a，b，8为“差增数列”，写出所有可能的a，b;
(2)若“差增数列”xn满足：x1=1，xk=2024，求k的最大值;
(3)对所有可能的“差增数列”{xn}，记T=maxx1,x2,⋯,x2024(maxM表示数集M中的最大值)，求T的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】12
13.【答案】2x−y+1=0
14.【答案】 63或 306
15.【答案】解：(1)|AB|= (1−0)2+(2−1)2= 2，
边AB所在直线l的方程为y−21−2=x−10−1，即x−y+1=0，
点C(4,3)到直线l:x−y+1=0的距离为d=|4−3+1| 12+(−1)2= 2，
所以S△ABC=12× 2× 2=1；
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意得1+E+F=05+D+2E+F=025+4D+3E+F=0,
∴D=−8，E=4，F=−5，
∴所求圆的方程为x2+y2−8x+4y−5=0，
即(x−4)2+(y+2)2=25，
∴所求圆的圆心坐标是(4,−2)，半径r=5．
16.【答案】解：(1)由定义知x>0，f′(x)=1−lnxax2，
令f′(x)=0⇒lnx=1⇒x=e，
当x∈(0,e)时，f′(x)>0，此时f(x)在(0,e)上单调递增，
当x∈(e,+∞)时，f′(x)0时，f(x)的增区间为(0,e)，减区间为(e,+∞)；
(2)由g(x)=f(x)−x有两个零点，可知lnxax−x=0(x>0,a≠0)有两个解，
即lnxx2=a，即y=lnxx2与y=a有两个交点，令h(x)=lnxx2，
则h′(x)=1−2lnxx3，令h′(x)=0⇒x= e，且h( e)=12e，
∴x∈(0, e)时，h′(x)>0，x∈( e,+∞)时，h′(x)0，
∴要使y=lnxx2与y=a有两个交点，
则02b，注意到a，b∈N*，
故所有可能的a，b为a=1b=2或a=1b=3或a=1b=4或a=2b=4；
(2)由题意知，当k≥2时，
xk=2024=x1+(x2−x1)+⋯+(xk−1−xk−2)+(xk−xk−1)
≥1+0+1+2+3+···+k−2=1+12(k−1)(k−2)，
即2023≥(k−1)(k−2)2，k∈N*，
当k=65时，(k−1)(k−2)2=2016，
当k=66时，(k−1)(k−2)2=2080，
则当k=65时，x65=1+0+1+2+3+⋯+62+70=2024，
故正整数k的最大值为65；
(3)令yi=xi+1−xi，由题知，yk−yk−1≥1(2≤k≤n−1)，
则xm+k−xk=(xm+k−xm+k−1)+(xm+k−1−xm+k−2)+⋯+(xk+1−xk)≥m，
此时有(x1+x2024)−(x1012+x1013)=(x2024−x1013)−(x1012−x1)
=(y1013+y1014+⋯+y2023)−(y1+y2+⋯+y1011)
=(y1013−y1)+(y1014−y2)+⋯+(y2023−y1011)
≥1012×1011，
故T≥x1+x20242≥x1012+x1013+1012×10112≥2+1012×10112=511567，
另一方面，
当y1=−1011，y2=−1010，⋯，y1011=−1，y1012=0，y1013=1，⋯，y2023=1011时，
取x1012=1，
则x1013=1，x1>x2>x3>⋯>x1012，x1013