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精品解析：内蒙古呼和浩特2023-2024学年高二上学期学业质量监测数学试题
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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．
本试卷满分150分，考试时长120分钟．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（ ）
A B.
C. D.
3. 已知直线与直线垂直，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
4. 已知椭圆的标准方程为，左右焦点分别为为椭圆的上顶点，，则椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则直线与平面所成角正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知抛物线为抛物线焦点，经过的直线与抛物线交于两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，等边的面积为．则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、多项选择题（本题共4小题，全部选对得5分，选不全得2分，多选或选错一个得0分，共20分）
9. 在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A. 共有60种方法B. 男生不相邻，共有12种方法
C. 女生相邻，共有48种方法D. 女生不站两边，共有36种方法
11. 在长方体上任意选取不共面的4个顶点，由这4个顶点构成的几何体中，则（ ）
A. 存在三个面为直角三角形的四面体
B. 存在每个面都是直角三角形的四面体
C. 存在每个面都是全等三角形的四面体
D. 四面体的体积为该长方体体积的六分之一
12. 椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 圆锥的母线长为2，侧面积为，则这个圆锥的底面半径为______．
14. 圆关于直线对称的圆的方程为______．
15. 2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是______．
16. 已知为双曲线的右焦点，为双曲线的两条渐近线，以为圆心的圆与渐近线相切于两点，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18. 已知点
（1）求经过三点的圆的标准方程；
（2）直线的方程为，与圆交于两点，求弦的长．
19. 如图，已知四棱锥中，侧面为边长为4的正三角形，底面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，求四棱锥的体积．
20. 已知点，经过点的直线和经过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线与曲线相交于两点，为坐标原点，若，求的值．
21. 如图,在直三棱柱中,是棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
22. 已知抛物线焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过作准线的垂线，垂足分别为，四边形的面积为18．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过定点的直线交抛物线于，则是否为定值？若是，求出定值并证明，若否，请说明理由．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．
本试卷满分150分，考试时长120分钟．
2．作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（ ）
A B.
C. D.
3. 已知直线与直线垂直，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
4. 已知椭圆的标准方程为，左右焦点分别为为椭圆的上顶点，，则椭圆的离心率为（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，则直线与平面所成角正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体中，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知抛物线为抛物线焦点，经过的直线与抛物线交于两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为，等边的面积为．则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、多项选择题（本题共4小题，全部选对得5分，选不全得2分，多选或选错一个得0分，共20分）
9. 在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 现有3名男生2名女生，在某风景点前站成一排拍合照，则（ ）
A. 共有60种方法B. 男生不相邻，共有12种方法
C. 女生相邻，共有48种方法D. 女生不站两边，共有36种方法
11. 在长方体上任意选取不共面的4个顶点，由这4个顶点构成的几何体中，则（ ）
A. 存在三个面为直角三角形的四面体
B. 存在每个面都是直角三角形的四面体
C. 存在每个面都是全等三角形的四面体
D. 四面体的体积为该长方体体积的六分之一
12. 椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 圆锥的母线长为2，侧面积为，则这个圆锥的底面半径为______．
14. 圆关于直线对称的圆的方程为______．
15. 2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是______．
16. 已知为双曲线的右焦点，为双曲线的两条渐近线，以为圆心的圆与渐近线相切于两点，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18. 已知点
（1）求经过三点的圆的标准方程；
（2）直线的方程为，与圆交于两点，求弦的长．
19. 如图，已知四棱锥中，侧面为边长为4的正三角形，底面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，求四棱锥的体积．
20. 已知点，经过点的直线和经过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，且．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）已知直线与曲线相交于两点，为坐标原点，若，求的值．
21. 如图,在直三棱柱中,是棱的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
22. 已知抛物线焦点为，过且垂直于轴的直线交抛物线于两点，过作准线的垂线，垂足分别为，四边形的面积为18．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知经过定点的直线交抛物线于，则是否为定值？若是，求出定值并证明，若否，请说明理由．
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