浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

这是一份浙江省钱塘联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.命题“，”的否定是( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
4.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
5.已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在同一坐标系内，函数和的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.正数x，y满足，则的最小值为( )
A. 4B. 7C. 8D. 9
8.已知函数，，记，则下列关于函数的说法不正确的是( )
A. 当时，
B. 函数的最小值为
C. 函数在上单调递减
D. 若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列函数中，是偶函数且值域为的有( )
A. B. C. D.
10.2024年巴黎奥运会中国游泳队斩获2金3银7铜，战绩喜人，现有甲、乙、丙三名游泳健同时参加100米自由泳比赛，所用时间分别为，，甲有一半的时间以速度米/秒前进，另一半的时间以速度米/秒前进;乙全程以速度米/秒前进;丙有一半的路程以速度米/秒前进，另一半的路程以速度米/秒前进.其中，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.设函数，则下列结论正确的有( )
A. 的值域是
B. 任意，且，都有
C. 任意，且，都有
D. 规定，，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：__________.
13.已知是定义域为R的偶函数，在上为单调增函数，且，则不等式的解集为__________.
14.已知，集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
设集合或，
若，求和
若，求a的取值范围.
16.本小题15分
已知函数
当时，函数在上单调，求b的取值范围；
若的解集为，求关于x的不等式的解集．
17.本小题15分
习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可以近似地表示为，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.
当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.
该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?
18.本小题17分
已知是定义在上的函数，若满足且
求的解析式;
判断的单调性，并利用定义证明你的结论;
设函数，若对，都有成立，求m的取值范围.
19.本小题17分
对于数集M，定义M的特征函数：，对于两个数集M、N，定义
已知集合，
ⅰ求的值，并用列举法表示
ⅱ若用表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合 X是正整数集的子集，求的最小值无需证明
证明：
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算，解不等式，属于基础题.
先解一元二次不等式化简B，再根据交集的概念可求出结果.
【解答】
解：由，解得，
所以，
因为，所以
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，其中涉及绝对值不等式和一元二次不等式的解法，属于基础题．
解绝对值不等式和一元二次不等式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由“”得，
由得或，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了含有量词的命题的否定，是容易题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出该命题的否定即可．
【解答】解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是
，
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，当时，显然不成立，因此A选项不正确；
对于B，若，，则，所以，故B正确；
对于C，若，，取，，，，则，故C错误;
对于D，若，，则，所以，故D错误.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的性质的运用，利用了增函数的性质，注意定义域的范围，比较基础．
利用函数在定义域上是增函数，将转化为求解．
【解答】解：由已知可得，
解得，即x的取值范围是
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查幂函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．
结合幂函数和一次函数的图象与性质，分析a的取值，即可得解．
【解答】解：选项A，由的图象知，，此时在上为增函数，而图中为减函数，即选项A错误；
选项B，由的图象知，，此时在上为减函数，而图中为增函数，即选项B错误；
选项C，由的图象知，，当a为偶数时，为偶函数，即选项C正确；
选项D，由的斜率知，由它在y轴上的截距知，互相矛盾，即选项D错误．
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式求最值，属于较易题.
，利用基本不等式求解即可.
【解答】
解：正数x，y满足，
则
，当且仅当时取得等号，
则的最小值为
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】本题考查分段函数，函数的新定义问题，函数的零点，属于中档题.
先根据题意，求得函数的解析式，再逐项分析即可.
【解答】解：由或
由或，
所以因此选项A正确;
当时，，当时，，
当时，，当时，，所以函数的最小值为，选项B正确;
当时，单调递增，选项C不正确;作出函数的图象，如图所示，
因为关于x的方程恰有两个不相等的实数根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，因此有或，选项D正确，故选
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数奇偶性和值域判断，属于基础题
根据偶函数的定义即函数的值域，逐项判断即可.
【解答】
解：对于函数，定义域为，且值域，故A错误；
对于函数，定义域为R，
且，故为偶函数，且值域为故B正确；
对于函数，定义域为，
且，故函数为偶函数，
又，当且仅当时，等号成立，
故函数的值域为故C正确；
对于函数，定义域为R，
，
故函数为偶函数，且函数的值域为故D 错误，
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本小题主要考查速度公式的应用和基本不等式的实际应用，属于基础题．
分别列出，，的表达式，根据选项逐一判断即可．
【解答】解：由题可得甲所用时间，乙所用时间，
丙所用时间，
易知，
故，当且仅当时取“=”，即A正确，B错误；
又²，
所以，故C正确，
对于D，若成立，即，
由，可得，
所以，即，
而由A可知，，当且仅当时取“=”，
故D不一定成立，
故选：
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了对函数单调性与奇偶性的判断和证明及应用，涉及分段函数，属于中档题．
判断出函数奇偶性和单调性就能判断AB，对，分别取值代入即可验证C，对D由递推式得到的表达式即可判断．
【解答】
解： ，
又 ， 为奇函数；
当 时， ，且在 ， 上单增，所以 在 上单增，
所以 在 R 上单增，所以B正确；
又因为当 时， ，所以 的值域为 ，故A正确；
对于C，取 ， ，则 ， ，
所以 ，所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，又因为 ，
所以 ，
，
， ，
，故D正确；
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查指数幂的运算，
根据指数幂的运算法则化简即可.
【解答】
解：原式，
故答案为
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的解法，属于中档题.
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：函数是定义在R上的偶函数且在上为增函数，，
故函数在上单调递减且，
因为，
所以或，
所以或，
解可得，或
故答案为：或
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，一元二次不等式的求解，属于较难题．
由A与B交集中恰有两个整数，对整数进行分类讨论求解，可得a的范围即可．
【解答】
解：设，，
①若中恰有两个整数为2，3，
则，解得
②若中恰有两个整数为，2，
则且，
解得
③若中有两个整数为，，
则，无实数解;
综上可得
15.【答案】解：当时，，所以或，
又或，所以
由题可得，
当时，则，即时，此时满足，
当时，则，所以，
综上，实数a的取值范围为
【解析】本题考查了集合的并集、补集运算，含参数的集合关系的问题，属于中档题；
求集合的并集、补集即可；
对，两种情况分类讨论，列不等式求解即可；
16.【答案】解：当时，函数，
函数对称轴为，要使在上单调，
故或，
解得或，
故b的取值范围为
因为的解集为，
则的两根为和2，且，
故，解得，
故不等式，
即，
即，解得或，
故不等式的解集为或
【解析】本题考查二次函数的性质，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
确定函数对称轴，根据二次函数的单调性即可求得b的取值范围；
根据一元二次不等式的解法，即可得到答案.
17.【答案】解：当时，该项目获利为S，
则，
当时，；
由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
当时，，
所以当时，取得最小值
当时，，
当且仅当，即时，取得最小值200，
因为，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
【解析】本题考查函数模型的构建，考查函数的最值、基本不等式的应用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定函数关系式，属于中档题.
先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；
确定生活垃圾的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．
18.【答案】解：由题意得：，即，解得，，
所以，
解：设，则，
因为，所以，，所以，即，
所以函数在上为单调递增函数
对，都有成立，即为，
由可知所以函数在上为单调递增函数，最小值为，
又由在上有解，只需在上有解，
令，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，解得，即实数m的取值范围为
【解析】本题考查求函数的解析式，不等式存在性与恒成立问题，属于中档题.
由题意可得，解方程组可得解析式；
根据单调性定义证明即可，
由可得在上有解，再由基本不等式求得最值可得m的取值范围.
19.【答案】【解答】解：；
因为且，分析：要使得最小，X不应含有1，2，3，7，8，9以外的正整数要最小，X应该为A的子集，同理X应为B的子集，分析可得所以最小为无需证明
①若，，则，则，，
②若，，则，则，，
③若，，则，则，，
④若，，则，则，，，
即
【解析】【分析】
本题考查子集与交集、并集运算的转换，集合的基本运算，考查逻辑推理能力，分类讨论思想的应用．属于较难题.
ⅰ直接用列举法写出集合和的值；
ⅱ要使的值最小， X不应含有1，2，3，7，8，9以外的正整数，X应该为A的子集，同理X应为B的子集，从而得出的最小值；
若，，则，②若，，则，③若，，则，④若，，则，分四种情况讨论即可.