2023-2024学年云南省昆明市嵩明县八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2023-2024学年云南省昆明市嵩明县八年级下学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级学生进行分析．过程如下等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）在下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）一次函数y＝x﹣2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（2分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣＝B．÷2＝C．D．3
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝5，S2＝15，则S3的值是（ ）
A．5B．8C．10D．16
6．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝11B．（x﹣2）2＝11C．（x+4）2＝23D．（x﹣4）2＝23
7．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k≥1C．k＜1D．k≤1
8．（2分）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠ECF＝53°，则∠B＝（ ）
A．53°B．45°C．37°D．70°
9．（2分）已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
10．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，且AE＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
11．（2分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，若AB＝5，BC＝8（ ）
A．2B．1.5C．2.5D．3
12．（2分）位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示（ ）
A．他们在服务区休息了20分钟
B．小陆家距离基地350千米
C．他们出发80分钟后达到服务区
D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快
13．（2分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
14．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝（c﹣b）（c+b）B．a＝1，b＝2，c＝3
C．∠A＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
15．（2分）如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＜x+b．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．③④D．①④
二、填空题（（每小题2分，满分8分）
16．（2分）若有意义，则实数x的取值范围是 ．
17．（2分）甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 （填“甲”或“乙”）．
18．（2分）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的C处折断，经测量AB＝12米，折断前树高为 ．
19．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，AE＝3BE，P是AC上一动点 ．
三、解答题（共8小题，满分62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）
20．（7分）计算
（1）；
（2）．
21．（6分）解方程
（1）x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）x2﹣8x+2＝0．
22．（7分）近些年来，我国航天事业飞速发展．2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭，神舟十六号航天员乘组由景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让广大人民尤其是青少年学到了很多科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况（百分制）进行分析．过程如下：
【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，70，69，73，75，80，78，90，81，86，88，98；
八年级20名学生成绩在80≤x＜90的分数：80，81，82，84，85；
【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据：
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？
【得出结论】
（3）通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合理性（写出一条理由即可）．
23．（6分）3月15日是国际消费者权益日，云南各地开展“3•15”消费维权活动，营造良好消费环境．图1是某品牌婴儿车，AB＝CD＝6dm，BC＝3dm（即∠ABD＝90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
24．（8分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
25．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE＝AC
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若 BD＝4，AE＝2，求菱形ABCD的面积．
26．（8分）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，售价每降低1元，每天可多售出15千克，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，则售价应降低多少元？
27．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD，F．
【特例探究】
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为D′ ；
（2）如图2，若点F为BC的中点，45°＜∠EFC＜90°，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，且BF＝1，当点E为AD的三等分点时，求
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每个小题只有一个正确选项，每题2分，共30分）
1．（2分）如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的定义判断即可．
【解答】解：∵C图象中对于每一个x的值，y都有唯一确定的值与之对应；而ABD图象中对于每一个x的值，不符合函数的定义；
∴C符合题意，ABD不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数的概念，理解并掌握函数的定义是本题的关键．
2．（2分）在下列各式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【解答】解：A选项，原式＝2；
B选项，是最简二次根式；
C选项，原式＝＝；
D选项，原式＝；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3．（2分）一次函数y＝x﹣2的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先根据一次函数y＝x﹣2中k＝1，b＝﹣2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝x﹣2中k＝1＞2，b＝﹣2＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
4．（2分）下列计算错误的是（ ）
A．﹣＝B．÷2＝C．D．3
【分析】利用二次根式的加减法对A、D进行判定；根据二次根式的乘法法则对C进行判定；根据二次根式的除法法则对B进行判定．
【解答】解：A、原式＝2﹣＝；
B、原式＝2，所以B选项的计算正确；
C、原式＝＝；
D、3与8，所以D选项的计算错误．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝5，S2＝15，则S3的值是（ ）
A．5B．8C．10D．16
【分析】根据题意和题目中的图形，可以发现，，，再根据S1＝5，S2＝15以及AC2+BC2＝AB2，即可得到S3的值．
【解答】解：∵S1＝5，S7＝15，S1，S2，S5分别表示三个正方形的面积，
∴BC2＝5，AB7＝15，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AC2＝15﹣5＝10，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是关键．
6．（2分）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝11B．（x﹣2）2＝11C．（x+4）2＝23D．（x﹣4）2＝23
【分析】先把方程变形为x2﹣4x＝7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x﹣2）2＝11即可．
【解答】解：x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝11，
所以（x﹣2）2＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
7．（2分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k≥1C．k＜1D．k≤1
【分析】根据所给的方程找出a，b，c的值，再根据关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，得出Δ＝b2﹣4ac≥0，从而求出k的取值范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，
而方程有实数根，
∴Δ＝b8﹣4ac＝4﹣7k≥0，
∴k≤1；
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．
8．（2分）如图，在▱ABCD中，CE⊥AB于点E，若∠ECF＝53°，则∠B＝（ ）
A．53°B．45°C．37°D．70°
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，再证CF⊥BC，求出∠BCE＝37°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CF⊥AD，
∴CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∵∠ECF＝53°，
∴∠BCE＝90°﹣53°＝37°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BCE＝90°﹣37°＝53°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．（2分）已知P1（﹣3，y1），P2（2，y2）是一次函数y＝2x+1的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【分析】先根据一次函数y＝2x+1中k＝2判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中k＝4＞0，
∴此函数是增函数，
∵﹣3＜6，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题开查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
10．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，且AE＝3，则AB的长为（ ）
A．4B．3C．D．2
【分析】根据平行四边形性质得出AB＝DC，AD∥BC，推出∠DEC＝∠BCE，求出∠DEC＝∠DCE，推出DE＝DC＝AB，得出AD＝2DE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠BCE，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC＝AB，
∵AD＝2AB＝2CD，CD＝DE，
∴AD＝5DE，
∴AE＝DE＝3，
∴DC＝AB＝DE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE＝AE＝DC．
11．（2分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，若AB＝5，BC＝8（ ）
A．2B．1.5C．2.5D．3
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，进而求出EF．
【解答】解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB＝8.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝BC＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2.5＝7.5，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
12．（2分）位于昆明市西山区的豹子箐是一处集旅游、观光、研学、游玩、自然体验于一体的研学基地．周末，小陆一家从家出发开车前往该基地游玩，经过服务区时（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数图象如图所示（ ）
A．他们在服务区休息了20分钟
B．小陆家距离基地350千米
C．他们出发80分钟后达到服务区
D．在服务区休息前的行驶速度比休息后快
【分析】根据图象信息逐一判定即可解答．
【解答】解：由题意可知，小陆家距离亲子乐园225千米，选项B符合题意；
汽车经过80分钟后到达服务区，故选项C的判断正确；
他们在服务区休息了100﹣80＝20（分钟），故选项A的判断正确；
在服务区休息前的行驶速度：125÷80＝1.5625（km/min），
休息后的行驶速度：（225﹣125）÷（200﹣100）＝1（km/min），
则在服务区休息前的行驶速度比休息后快，故选项D的判定正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了函数图象与实际结合的问题，利用数形结合得出关键点坐标同时能够结合题意得出图中每个点和每一段代表的含义是解答该题的关键．
13．（2分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝（c﹣b）（c+b）B．a＝1，b＝2，c＝3
C．∠A＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】求出a2+b2＝c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．
【解答】解：A．∵a2＝（c﹣b）（c+b），
∴a2＝c2﹣b2，
∴a2+b4＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵17+22＝4+4＝5，52＝9，
∴52+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形；
D．∵∠A：∠B：∠C＝4：4：5，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
15．（2分）如图，已知一次函数y1＝x+b与正比例函数y2＝kx的图象交于点P．四个结论：①k＞0；②b＞0；③当x＜0时，y2＞0；④当x＜﹣2时，kx＜x+b．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．③④D．①④
【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：∵直线y2＝kx经过第二、四象限，
∴k＜0，故①错误；
∵y4＝x+b与y轴交点在正半轴，
∴b＞0，故②正确；
∵正比例函数y2＝kx经过原点，且y随x的增大而减小，
∴当x＜8时，y2＞0；故③正确；
当x＜﹣8时，正比例函数y2＝kx在一次函数y1＝x+b图象的上方，即kx＞x+b．
故选：B．
【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
二、填空题（（每小题2分，满分8分）
16．（2分）若有意义，则实数x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
17．（2分）甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是 乙 （填“甲”或“乙”）．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：因为乙的方差最小，所以射击成绩较稳定的是乙；
故答案为：乙．
【点评】本题考查方差，算术平均数，解答本题的关键要明确：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
18．（2分）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面5米的C处折断，经测量AB＝12米，折断前树高为 18米 ．
【分析】树高等于AC+BC，在直角△ABC中，用勾股定理求出BC即可．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝，
所以AC+BC＝5+13＝18（米）．
故答案为：18米．
【点评】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形．
19．（2分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，AE＝3BE，P是AC上一动点 10 ．
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，连接DE，连接BP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝5，AB＝8，
∴DE＝＝10，
故PB+PE的最小值是10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
三、解答题（共8小题，满分62分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．特别注意：作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图）
20．（7分）计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简，再算乘除法，最后合并同类二次根式；
（2）先化简，再算乘法去括号，再合并同类二次根式．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝．
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的运算法则是解决本题的关键．
21．（6分）解方程
（1）x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）x2﹣8x+2＝0．
【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）x（x﹣1）＝2﹣7x，
x（x﹣1）+2（x﹣6）＝0，
（x﹣1）（x+4）＝0，
x﹣1＝8，x+2＝0，
x8＝1，x2＝﹣6；
（2）x2﹣8x+3＝0，
x2﹣5x＝﹣2，
x2﹣7x+16＝14，
（x﹣4）2＝14，
，
∴．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
22．（7分）近些年来，我国航天事业飞速发展．2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭，神舟十六号航天员乘组由景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员组成，发射取得圆满成功．而“天宫课堂”让广大人民尤其是青少年学到了很多科学知识，某校开展了“天宫课堂”知识竞赛．为了解七、八年级学生（七年级有600名学生、八年级有800名学生）的竞赛情况（百分制）进行分析．过程如下：
【收集数据】七年级20名学生成绩：62，52，58，70，69，73，75，80，78，90，81，86，88，98；
八年级20名学生成绩在80≤x＜90的分数：80，81，82，84，85；
【整理数据】按照分数段，整理、描述两组样本数据：
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据抽样调查数据，估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的共有多少人？
【得出结论】
（3）通过以上分析，你认为这两个年级中哪个年级对“天宫课堂”知识掌握情况更好一些，并说明推断的合理性（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得；
（2）分别求得七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀的人数，相加即可得解；
（3）从八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数分析即可．
【解答】解：（1）由题意可得a＝20﹣5﹣5﹣4＝71（分）；
七年级20名学生成绩中，75出现的次数最多，
故众数b＝75；
八年级20名学生成绩的中位数为：；
（2）600×+800×，
答：估计全校七、八年级“天宫课堂”竞赛成绩为优秀（80分及以上）的大约共有680人；
（3）八年级成绩较好，理由如下：
因为七、八年级的平均数相等，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级成绩较好（答案不唯一）．
【点评】本题考查了方差，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，频数（率）分布表，算术平均数，中位数，众数，理解中位数、众数的意义是正确解答的关键．
23．（6分）3月15日是国际消费者权益日，云南各地开展“3•15”消费维权活动，营造良好消费环境．图1是某品牌婴儿车，AB＝CD＝6dm，BC＝3dm（即∠ABD＝90°）．根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【分析】根据勾股定理进行解题即可．
【解答】解：该车符合安全标准．
理由：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2＝AD2﹣AB8＝92﹣22＝45，
因为BC＝3dm，CD＝5dm，
所以BC2+CD2＝62+64＝45，
所以BC2+CD2＝BD3，
所以△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
所以BC⊥CD，
所以该车符合安全标准．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．（8分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC＝2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，7），﹣2），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC＝2，
∴•2•x＝6，
解得x＝2，
∴y＝2×3﹣2＝2，
∴点C的坐标是（6，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
25．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE＝AC
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若 BD＝4，AE＝2，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由菱形的性质得OC＝OA＝AC，AC⊥BD，而DE∥AC，DE＝AC，所以DE∥OC，DE＝OC，而∠COD＝90°，即可证明四边形OCED是矩形；
（2）由BD＝4，得CE＝OD＝OB＝2，则AC＝＝6，求得S菱形ABCD＝AC•BD＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，
∴OC＝OA＝AC，
∵DE∥AC，DE＝，
∴DE∥OC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵BD＝4，AE＝4，
∴OD＝OB＝BD＝7，
∴CE＝OD＝2，
∵∠ACE＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝，
∴菱形ABCD的面积为12．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，推导出DE＝OC是解题的关键．
26．（8分）云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同．
（1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率．
（2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，售价每降低1元，每天可多售出15千克，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，利用该村民2023年种植橙子的亩数＝该村民2021年种植橙子的亩数×（1+该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出（120+15y）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x2＝0.2＝20%，x3＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%；
（2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣4）元，
根据题意得：（18﹣y﹣8）（120+15y）＝840，
整理得：y2﹣8y﹣24＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）．
答：售价应降低2元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（12分）综合与实践
【问题情境】
数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD，F．
【特例探究】
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为D′ 菱形 ；
（2）如图2，若点F为BC的中点，45°＜∠EFC＜90°，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，且BF＝1，当点E为AD的三等分点时，求
【分析】（1）先由矩形的性质得AD∥BC，则∠AEF＝∠CFE，再由折叠的性质得AF＝CF，∠AFE＝∠CFE，推出∠AEF＝∠AFE，AE＝CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而得出平行四边形AECF为菱形；
（2）连接PF，先证∠PC'F＝90°，C'F＝BF，再证Rt△PC'F≌Rt△PBF（HL），即可得出结论；
（3）分两种情况：①若点E为AD的三等分点，且AE＝2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE＝2AE，再由矩形性质和折叠的性质以及勾股定理即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CFE，
由折叠的性质得：AF＝CF，∠AFE＝∠CFE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝CF，
∴平行四边形AECF为菱形，
故答案为：菱形；
（2）PC′与PB的数量关系为：PC′＝PB，理由如下：
如图2，连接PF，
∵F为BC的中点，
∴BF＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：CF＝C′F，∠C＝∠D′C′F＝90°，
∴∠PC′F＝90°，C′F＝BF，
在Rt△PC′F和Rt△PBF中，
，
∴Rt△PC′F≌Rt△PBF（HL），
∴PC′＝PB；
（3）分两种情况：
①如图3，若点E为AD的三等分点，
∵AD＝8，
∴AE＝4，DE＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
过点E作EM⊥BC于M，
则四边形ABME为矩形，
∴BM＝AE＝4，EM＝AB＝3，
∴FM＝BM﹣BF＝2﹣1＝3，
在△EMF中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：DE＝D′E＝2，C′D′＝CD＝2，
在Rt△C′D′E中，由勾股定理得：，
∴；
②如图4，若点E为AD的三等分点，
则DE＝4，AE＝2，
过点E作EN⊥BC于N，
则∠ENF＝90°，
同理可得：FN＝1，EN＝3，
在Rt△ENF中，，
由折叠的性质得：DE＝D′E＝7，C′D′＝CD＝3，
在Rt△C′D′E中，由勾股定理得：，
∴，
综上所述，的值为或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
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x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
5
a
5
3
八年级
3
6
7
4
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
76
b
131
八年级
c
78
124
年级
x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
5
a
5
3
八年级
3
6
7
4
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
76
b
131
八年级
c
78
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