第八章　必刷大题17　解析几何-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.(2024·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M.过点P作l的垂线交C于另一点N.(1)证明：线段MP的中点在定直线上；
令y＝0，则x＝－x0，所以M(－x0，0)，
所以线段MP的中点在定直线x＝0上.
(1)求曲线C的方程；
将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以x1x2＋y1y2＝0⇒x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，化简得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
(1)求椭圆C的标准方程；
设椭圆C的半焦距为c>0，
(2)当直线l的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由.
由(1)可得F(1,0)，根据题意可设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(m,0)(m≠1)，
消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，
因为k≠0，可得(x1－1)(x2－m)＋(x1－m)(x2－1)＝0，整理得2x1x2－(m＋1)(x1＋x2)＋2m＝0，②
解得m＝4，所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4,0).
(1)求双曲线C的渐近线方程；
设|F1F2|＝2c，因为AF1⊥F1F2，∠AF2F1＝30°，
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值.
设E(x1，y1)，F(x2，y2).①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，
化简得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋8)＝0，则Δ＝(－2km)2＋4(m2＋8)(2－k2)>0，
即m2－4k2＋8>0，
＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，所以(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4
化简得m2－4km－12k2＝(m＋2k)(m－6k)＝0，所以m＝－2k或m＝6k，且均满足m2－4k2＋8>0.当m＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m＝6k时，直线l的方程为y＝k(x＋6)，过定点M(－6,0).②当直线l的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线DE：y＝x－2，