第一章　§1.4　基本不等式-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
(1)基本不等式成立的条件： .(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.(3)其中_____称为a，b的算术平均值，____称为a，b的几何平均值.k
2.利用基本不等式求最值(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值___；(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值_____.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
3.已知0a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴由p可推出q；当a1，所以x－1>0，
与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型
命题点3　代换法例4　(1)已知正数a，b满足 ＝1，则8a＋b的最小值为A.54 B.56 C.72 D.81
已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为______.
由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4，
命题点5　构造不等式法例6　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为A.9 B.6 C.3 D.12
所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9.
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法.
跟踪训练2　(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是
则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；
即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍)或a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；
对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，
一、单项选择题1.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是
m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18.
A.23 B.26 C.22 D.25
故4a＋9b的最小值是25.
3.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5
故3x＋4y的最小值为5.
所以my>0得2x－y>0，x＋2y>0，令a＝2x－y，b＝x＋2y，则a＋2b＝4x＋3y，由4x＋3y＝1得a＋2b＝1，
二、多项选择题7.已知x，y是正数，且x＋y＝2，则A.x(x＋2y)的最大值为4B.lg2x＋lg2y的最大值为0C.2x＋2y的最小值为4
由x，y是正数，且x＋y＝2，可得05，所以a的取值范围是(5,12).
A.4 B.5 C.6 D.8
∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴a(a－b)＞0，