精品解析：广东省茂名市化州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
第一部分 选择题（共58分）
一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
A. B. C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，，则与夹角是（ ）
A. B. C. D.
4. 圆圆心到直线的距离是（ ）
A. B. C. 1D.
5. 在空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（ ）

A. B. C. D.
6. 已知为锐角，，角的终边上有一点，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 过定点A直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
8. 已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（ ）
A. B. 0C. D.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选得对应分，错选和不选得0分.
9. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（ ）
A. 至多有1个白球；都是红球B. 至少有1个白球；至少有1个红球
C. 恰好有1个白球；都是红球D. 至多有1个白球；全是白球
10. 已知直线的方程，则（ ）
A. 恒过定点
B. 存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数
C. 直线的斜率一定存在
D. 点到直线的距离最大值为
11. 如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（ ）

A. 当点在棱上的移动时，恒有
B. 在棱上总存在点，使得平面
C. 四棱锥的体积为定值
D. 四边形的周长的最小值是
第二部分 非选择题（共92分）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卷的横线上.
12. 已知向量，，且，则______.
13. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______.
14. 设动点在棱长为的正方体的对角线上，且异于点，记当为锐角时，的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在△OAB中，O是坐标原点，，．
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求△OAB的外接圆方程
16. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）设的中点为，若，且，求的面积．
17. 如图，在多面体中，四边形是边长为2正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的余弦值.
18. 航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
19. 已知函数与函数，函数的定义域为.
（1）求的定义域和值域；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围；
（3）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心.