广东省茂名市化州市部分学校2024-2025学年高二上学期学科知识水平综合测试（一）数学试卷(含答案)

这是一份广东省茂名市化州市部分学校2024-2025学年高二上学期学科知识水平综合测试（一）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,则( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足(其中i是虚数单位),则( )
A.z的实部是2B.z的虚部是2iC.D.
3．已知空间向量,空间向量满足且,则( )
A.B.C.D.
4．在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )
A.恰有1件一等品B.至少有一件一等品
C.至多有一件一等品D.都不是一等品
5．在空间直角坐标系中,,,,则平面ABC的一个法向量为( )
A.B.C.D.
6．的大小关系为( )
A.B.C.D.
7．如图，在下列各正方体中，l为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足的是( )
A.B.C.D.
8．已知函数,的定义域为,在定义域内存在唯一,使得,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量,,,则( )
A.B.在上的投影向量为
C.D.向量,,共面
10．给定组数5,4,3,5,3,2,2,3,1,2,则( )
A.中位数为3B.标准差为
C.众数为2和3D.第85百分位数为4
11．函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.的最小正周期为
B.是图象的一个对称中心
C.在区间上单调递增
D.把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A.B.
C.向量与的夹角是D.与所成角的余弦值为
三、填空题
13．已知,则的最小值为________,当y取得最小值时x的值为________.
14．已知函数,则不等式的解集为________.
四、解答题
15．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
（1）求角A的大小;
（2）若,求的面积.
16．已知空间三点,,,在直线OA上有一点H满足.
（1）求AB的长;
（2）求点H的坐标.
17．已知函数,.
（1）当时,求函数的值域;
（2）若,,求的值.
18．为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召若干名宣传志愿者,成立环境保护宣传小组,现把该小组的成员按年龄分成、、、、这5组,得到的频率分布直方图如图所示,已知年龄在内的人数为5.
（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取6名参加某社区的宣传活动,再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者做环境保护知识宣讲,求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率;
（2）在（1）的条件下,记抽取的2名志愿者分别为甲、乙,该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者,给甲、乙各随机派发价值50元、80元、100元的纪念品一件,求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.
19．如图所示为直四棱柱，，，，，M，分别是线段，的中点.
(1)证明:平面；
(2)求线BC与平面所成角的正弦值，并判断线段BC上是否存在点P，使得平面，若存在，求出BP的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由可得,即,
所以.
故选:B
2．答案：D
解析：
因此z的实部是1,虚部是2,,
故选:D
3．答案：A
解析：,且空间向量满足,
可设,
又,,得.
,故A正确.
故选:A.
4．答案：C
解析：将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5,从中任取2件有10种取法:,,,,,,,,,.其中恰含有1件一等品的取法有:,,,,,,恰有1件一等品的概率为,恰有2件一等品的取法有:,,.故恰有2件一等品的概率为,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率为.
5．答案：A
解析：由已知,,
设平面ABC的一个法向量为,
取,解得,
选项A符合,另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线.
故选:A.
6．答案：D
解析：,即,,
所以.
故选:D
7．答案：C
解析：在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线l的端点为B，，
对于A，，，，，直线l的方向向量，
，显然，直线与l不垂直，A不是；
对于B，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，直线与l不垂直，B不是；
对于C，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，，C是；
对于D，由选项A知，直线l的方向向量，，，
则，显然，直线与l不垂直，D不是.
故选：C
8．答案：C
解析：由函数,
因为,可得,
因为函数的定义域为,在定义域内存在唯一,使得,
则满足,解得,所以的取值范围为.
故选:C.
9．答案：ABD
解析：对于A,,,,A正确;
对于B,,
在上的投影向量为,B正确;
对于C,,与不垂直,C错误;
对于D,,,,共面,D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABC
解析：将该组数从小到大排列:1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,显然中位数是,众数是2和3,而,即第9个数5为第85百分位数,故AC正确,D错误;
易知该组数的平均数,
所以其标准差为,故B正确.
故选:ABC
11．答案：AB
解析：由图知,,设的最小正周期为T,
则,解得,故A正确;
则,把点代入中,可得,
因,故得,故;
因时,,
故是图象的一个对称中心,即B正确;
对于C,设,因,则得,
而在上单调递减,故在区间上单调递减,即C错误;
对于D,把图象上所有点向右平移个单位长度后
即得到函数为,故D错误.
故选:AB.
12．答案：AB
解析：以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是，
可设棱长为1，则，
，
而，所以A正确.
，所以B正确.
向量，显然为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是，向量与的夹角是，则C不正确又，则，，，所以，所以D不正确.
13．答案：3;2
利用基本不等式求出最小值以及取得最小值时的值.
解析：,
当且仅当时取等号
故答案为:3;2
14．答案：或或
解析：当时单调递减,因为,
所以,所以或,
当时,则,
所以,所以,
所以,
所以都满足题意,
所以或或.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由和正弦定理可得,,
因,故得,即,
因,故;
（2）由余弦定理,,代值整理可得,,
又,代入解得,,
于是,的面积为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以AB的长.
（2）设,则,
由,即,
因为O,A,H共线,故存在实数使得,即
所以,解得,,,
所以点H的坐标为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
时,,可得,
,即函数的值域为;
（2）,
,
,
,
.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）因为志愿者年龄在、、内的频率分别为0.3、0.2、0.1,
所以用分层抽样的方法抽取的6名志愿者年龄在、、内的人数分别为3、2、1.
记年龄在内的3名志愿者分别记为、、,
年龄在的2名志愿者分别记为、,年龄在内的名志愿者记为C,
则从中抽取2名志愿者的情况有、、、、、、、
、、、、、、、,共种可能;
而至少有名志愿者的年龄在内的情况有、、、、、
、、、,共9种可能.
所以至少有1名志愿者的年龄在内的概率为.
（2）甲、乙获得纪念品价值的情况有、、、、、
、、、,共9种可能;
而甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的情况有、、、、
、,共6种可能.
故甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)，在线段存在点P使得平面，的值为
解析：(1)由，，知为正三角形，
又M为的中点，则.
又为的中点，则，
而，所以，
又，平面，
所以平面；
(2)由(1)知为正三角形，则，
在中，，有，所以，
易知，，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，故，
设与平面所成角为，则，
即与平面所成角的正弦值为.
假设在线段上存在点P，使得平面，令，
则，所以，
由平面，得，所以，
解得.此时，
所以，
即的值为.