2024~2025学年广东省东莞市五校高二上学期第二次联考数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年广东省东莞市五校高二上学期第二次联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 抛物线的焦点坐标为， 已知圆，则下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
第一部分（选择题共58分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线的倾斜角为，
直线，即为，
可知直线的斜率为，所以倾斜角.
故选：D.
2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以直线过点，
所以，解得.
故选:A.
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
4. 若空间中三个点，则直线与直线夹角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
记直线与直线的夹角为，
则.
故选：B
5. 由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
由直线上的点向圆引切线，切点为A，
则.
要使切线长最小，则PC最小，此时.
所以切线长的最小值为．
故选：B.
6. 已知两条直线与被圆截得线段长均为2，则圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为两条直线与，
所以，
所以与间的距离为，
所以圆心到直线的距离为1，
因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径为，
所以圆的面积为.故选：A.
7. 已知椭圆的右焦点为是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为（ ）
A. B. 14
C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆方程得，，.
设椭圆的左焦点为，

,
，
则的周长为
,
当且仅当三点共线，且在的延长线上时取等号.
的周长最大值为.
故选:B.
8. 已知是双曲线的左､右焦点，过的直线与的左､右两支分别交于两点.若，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，不妨令，，，
因为，所以，
又由双曲线定义得：，,
所以，所以，
所以，所以，
在直角三角形中，，又，
所以，所以双曲线离心率为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 过点且与两点距离相等的直线方程（ ）
A B.
C D.
【答案】BC
【解析】由题意得：满足条件的直线斜率存在，
可设所求直线方程为，即，
因为与点距离相等，
则，可得，解得或，
所以所求直线方程为或.
故选：BC
10. 已知圆，则下列命题正确的是（ ）
A. 圆心坐标为2,1
B. 圆与圆有三条公切线
C. 直线与圆相交所得的弦长为8
D. 若圆上恰有三个点到直线的距离为，则或
【答案】ACD
【解析】对于选项A：由圆，可化为，
可得圆心，半径为，故A正确；
对于选项B：由圆，可得圆心，半径.
，且，则.
所以圆与圆不可能外切或外离，故两圆至多有两条公共切线，故B错误；
对于选项C：由圆心到直线的距离为，
所以相交弦长为，故C正确；
对于选项D：由圆上恰有三个点到直线的距离为，
则满足圆心到直线的距离为，即，
解得或，故D正确.故选：ACD.
11. 人教A版选择性必修第一册在椭圆章节的最后《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（ ）
A. B.
C. 直线与椭圆相切时，D.
【答案】ABD
【解析】对A：由条件知：，故，故A正确；
对D：作轴于，则，
，所以，故D正确；
对B：同D知：，
因为，所以，
所以，即平分，
由角平分线性质知即，故B正确；
对C：下面证明当且仅当时与椭圆相切，
因为，所以时当且仅当，此时点是唯一的，故与椭圆相切
当时，，满足条件的有两个，即点有两个，此时与椭圆相交，
故当且仅当时与椭圆相切，此时，故C错误.
故选：ABD
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的标准方程为__________.
【答案】
【解析】由题知双曲线的焦点在轴上，所以，即，
又，联立，求解得，
所以双曲线的标准方程为.故答案为：
13. 已知空间向量，且∥，则__________.
【答案】
【解析】因为∥，且均不是零向量，故存在非零实数使得，
此即.故，
所以.
故答案为：.
14. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】不妨设点在第二象限，的内切圆与各边的切点分别为,
设,
则
，
故，，
，
由于点在第二象限，，所以
，故，
，
因此，
，
当代入得（负值舍去），
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程.
解：（1）由题知，，在直线上，
设，
则，解得，
即点坐标为.
（2）设，则，解得，即，
所以直线的方程为，
即.

16. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）如图所示，取中点，连接，，
由四边形为菱形，且，
得，，
又，
，
，
，，
又，且，平面，
平面，
平面，
平面平面.
（2）如图所示，过点作，垂足，连接，
由（1）得平面平面，平面平面，，平面，
∴平面.
∵平面,
，.
又，平面，且，
平面.
∵平面，
平面平面，
所以即为直线与平面所成角，
又，
，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知，动点满足到两点的距离之比为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求的取值范围.
解：（1）设Px,y，，
由题意可得，两端同时平方得，
故，化简得.
故曲线的方程为：.
（2）直线：，即，
令，解得，
故直线过定点.
代入点到圆的方程：，
故点在圆的内部.
设圆心到直线的距离为，
又，
所以.
又因为，，
所以,解得.
故的取值范围为：.
18. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
（3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
解：（1），，
将代入椭圆方程得，
所以椭圆方程为；
（2）依题意得在椭圆上，
直线和的斜率都存在且不为，
设，所以，
，
，
所以直线和的斜率之积为定值；
（3）设直线的方程为，，
由消去，整理得，
，则，
则，
，
点到直线的距离为，
，
当，即时面积最大，且最大值为，
此时直线的方程为．
19. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；
（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值.
解：（1）由题可得，直线族为圆M的切线，
故满足，
所以满足．
（2）将点代入，可得关于的方程，
因为点不在直线族上，
故方程无实数解，
所以，那么，故，
因为区域的边界为抛物线，
下证：是的包络曲线．
证明：联立直线与，可得，
所以，
故直线族：为抛物线的切线.
因此直线族的包络曲线的方程为.
（3）由（2）得曲线的方程为，
设Px0,y0在直线上，
则，即.
设Ax1,y1,Bx2,y2，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
与联立，可得，
即.
因为直线与相切，
所以，即.
因为，所以，，解得.
所以直线的方程为，化简得，
同理可得直线的方程为.
因为点Px0,y0在切线上，所以，
所以直线的方程为，即.
将代入，
得，化简得.
则原点到直线的距离.
设，则,
所以，
所以.
当时，，则重合，不符合题意，
所以，
所以.
令，则.
对于二次函数，其对称轴为，
则时，的最小值为，
所以有最大值，则的最大值为.