江苏省连云港市赣榆实验学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省连云港市赣榆实验学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.满足下列哪种条件时，能判定与全等的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3.如图，≌，若，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则的周长是( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
5.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
6.如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，AP平分，于点D，若，点E是边AB上一动点，关于线段PE叙述正确的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图①是正方形方格，已有两个正方形方格被涂黑，请你再将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定经过旋转后全等的图案都视为同一种，图②中的两幅图就视为同一种，则得到的不同图案共有( )
A. 6种B. 7种C. 8种D. 9种
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.等腰三角形的两边长为4，则它的周长为__________.
10.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条即图中AB、CD两个木条，这样做根据的数学道理是______.
11.如图，C、D点在BE上，，请补充一个条件：______，使≌
12.如图，在中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点若，，，则BD的长是______.
13.如图，P为内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点，，连接交OA于点M，交OB于点若，则的周长为______.
14.如图，OP平分，，，，则的面积等于______
15.如图所示，≌，且，，则______.
16.如图中，，AD平分，于E，给出下列结论：①；②DA平分；③DE平分；④；⑤其中正确的是______写序号
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，在和中，，，。求证：。
18.本小题10分
如图，是正方形网格上的格点三角形顶点A、B、C在正方形网格的格点上
画出关于直线l的对称图形；
画出以P为顶点且与全等的格点三角形．规定：点P与点B对应
19.本小题8分
已知：如图，及M、N两点．请你在内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N的距离分别相等保留作图痕迹
20.本小题10分
如图，在中，，AD为的角平分线.以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，
求证：≌；
若，求的度数.
21.本小题10分
如图，点D，E分别在AB，AC上，，BE，CD相交于点O，
求证：
小虎同学的证明过程如下：
小虎同学的证明过程中，第______步出现错误；
请写出正确的证明过程.
22.本小题10分
如图，的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，求BE的长．
23.本小题10分
如图，大小不同的两块三角板和直角顶点重合在点C处，，，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
找出图中的全等三角形，并说明理由；
当，则AE的长度为______
猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
24.本小题10分
如图：在中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取，在CF的延长线上截取，连接AD、
求证：；
与AG的位置关系如何，请说明理由．
25.本小题12分
如图，中，，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达B点时，点M、N同时停止运动.
点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？
当点M、N在BC上运动时，连接AM、AN，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时点M、N运动的时间.
26.本小题14分
已知为等腰三角形，，点P在线段BC上不与B、C重合，以AP为腰作等腰直角，如图1，过Q作于
求证：≌；
连接CQ交AB于M，探究线段PC与线段BM之间存在什么数量关系？并说明理由；
如图2，过点Q作交AB的延长线于点F，过点P作交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时不与B、C重合，式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、逐条判断即可．
重点考查了全等三角形的判定．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：A、边或角不是对应相等的边角；
B、角不是两边的夹角，不符合SAS；
C、角不是两边的夹角，不符合SAS；
D、符合ASA能判定三角形全等；
仔细分析以上四个选项，只有D是正确的．
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
由全等三角形的性质可得到，在中可求得，则可求得
【解答】
解：，，
，
≌，
，
，
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出是解题关键．
直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：的垂直平分线交BC于点D，
，
，，
，
的周长为：
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可。
【解答】
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处。
故选C。
6.【答案】C
【解析】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道，为所需管道最短．
故选：
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
7.【答案】D
【解析】解：过P点作于H，如图，
平分，，，
，
点E是边AB上一动点，
故选：
过P点作于H，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短可对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
8.【答案】C
【解析】解：如图，
得到的不同图案共有8种．
故选：
根据轴对称的性质画出图形，进一步得出答案即可．
本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
9.【答案】22
【解析】解：当腰长为4，底长为9时；，不能构成三角形；
当腰长为9，底长为4时；，能构成三角形；
故等腰三角形的周长为：
故填
由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；正确进行分类讨论是解题的关键．
10.【答案】三角形的稳定性
【解析】解：结合图形，为防止变形钉上两条斜拉的木板条，构成了三角形，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题．
11.【答案】
【解析】解：条件是，
理由是：，
，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：
条件是，求出，根据SAS推出即可．
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
12.【答案】2
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：
证明≌，得出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13.【答案】10cm
【解析】解：与关于OA对称，
为线段的垂直平分线．
同理可得：
，
的周长
故答案为：
根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得的周长．
本题考查了求作关于直线的对称点的作法和中垂线的性质，利用轴对称的性质得出对应线段相等是解题关键．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．过点P作于点D，根据角平分线的性质求出PD的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】
解：过点P作于点D，
平分，，，
，
，
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：≌，
，
，
故答案为：
根据全等三角形的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
16.【答案】①②④⑤
【解析】解：，AD平分，，
，故①正确；
在和中，，
，
，，
平分，故②正确；
，故④正确；
，
，
，故⑤正确；
，而，
，
平分错误，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，判断①正确，然后利用“HL”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，判断②正确；全等三角形对应边相等可得，然后求出，判断④正确；根据同角的余角相等求出，判断⑤正确，并得到③错误．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，求出三角形全等是解题的关键．
17.【答案】证明：
在和中，
≌

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键。根据两直线平行，内错角相等可得，再利用“边角边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可。
18.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为与全等的格点三角形．答案不唯一
【解析】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知图形轴对称的性质是解答此题的关键．
分别作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接各点即可；
根据勾股定理画出与全等的格点三角形即可．
19.【答案】解：点P就是所求的点．分
如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分
【解析】点P是的平分线与线段MN的中垂线的交点．
本题主要考查了尺规作图的一般作法．
20.【答案】证明：是的角平分线，
由作图知：
在和中，
，
≌；
解：，AD为的角平分线，
，
由作图知：
，
，
，AD为的角平分线，

【解析】由角平分线定义得出由作图知：由SAS可证明≌；
由作图知：得出，由等腰三角形的性质求出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
21.【答案】二；
证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
，

【解析】解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
见答案.
根据全等三角形的判定定理判断；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，再证明，得到
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：如图，连接CD，BD，
是的平分线，，，
，，，
，
是BC的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，，

【解析】首先连接CD，BD，由的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，，，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，继而可得，易证得，则可得，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
23.【答案】8
【解析】解：≌，理由如下：
，
，
即，
在与中，
，
≌；
≌，
，
故答案为：8；
，理由如下：
AE与CD相交于点O，在与中，
≌，
，
，
，
根据SAS证明≌即可；
根据全等三角形的性质解答即可；
根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出与全等解答．
24.【答案】证明：，，
，又，
，
在和中
，
≌，
全等三角形的对应边相等；
位置关系是，
理由：≌，
，
又，，
，

【解析】由BE垂直于AC，CF垂直于AB，利用垂直的定义得，由得对顶角相等得，所以再由，，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACG全等，由全等三角形的对应边相等可得出，
利用全等得出，再利用三角形的外角和定理得到，又，利用等量代换可得出，即AG与AD垂直．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
25.【答案】解：设点M、N运动t秒后重合，
则，
解得，
点M、N运动12秒后重合；
设点M、N运动t秒后，是等边三角形，
如图1，，，
当时，是等边三角形，
即，
解得，
当点M、N运动4秒时，是等边三角形；
能得到以MN为底边的等腰三角形AMN；理由如下：
如图2，
设点M、N运动t秒，
则，，
假设是等腰三角形，
则，，
，
又，
≌，
，
即，
解得，
当点M、N运动16秒时，是等腰三角形．
【解析】首先设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，然后表示出AM，AN的长，由于等于，所以只要三角形ANM就是等边三角形；
首先假设是等腰三角形，可证出≌，可得，设出运动时间，表示出CN，MB的长，列出方程，可解出未知数的值．
此题是三角形的综合问题，主要考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．
26.【答案】证明：为等腰三角形，，点P在线段BC上不与B，C重合，以AP为腰长作等腰直角，于
，，，
，
在和中，
，
≌；
解：；理由如下：
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
解：式子的值不会变化；理由如下：
如图2所示：作交QF于点H，
，，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，

【解析】根据题目中的信息可以得到，与之间的关系，与之间的关系，从而可以解答本题；
由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，从而得到PC与MB的关系；
作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．
本题属于三角形综合题，主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．证明：，
，
……第一步
又，，
≌……第二步
……第三步