2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略巩固练05基本不等式及其应用12种常见考点全面练(精练99题)(原卷版+解析)

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考点1基本不等式的内容及辨析
1．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设AC=a，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“a+b≥2”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考点2由基本不等式比较大小
5．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
9．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
12．【多选】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．【多选】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知正数a，b满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·四川成都·模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·山西晋城·一模）定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最小值是
16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A．B．a1a2D．的大小无法确定
考点3由基本不等式证明不等关系
17．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知，，且满足.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
18．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c均为正实数，且．
(1)求abc的最大值；
(2)求证：．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，实数满足．
(1)解不等式；
(2)证明：对任意实数，使．
20．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
21．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证：
(1)；
(2)．
22．（2024·青海·一模）已知正数满足．求证：
(1)；
(2)．
23．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知为正数，且.证明：
(1)；
(2).
考点4基本不等式求积的最大值
24．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·上海奉贤·三模）若，则有最大值为 ．
26．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数，满足，则 .
27．（2024·天津·模拟预测）若，，且，则的最小值为
28．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为
29．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 .
30．【多选】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
31．【多选】（2022·广东佛山·一模）在中，所对的边为，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
32．（2024·四川·模拟预测）设球的直径为，球面上三个点，，确定的圆的圆心为，，，则面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
33．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．有最小值25B．有最大值25C．有最小值50D．有最大值50
考点5基本不等式求和的最小值
34．（2024·内蒙古赤峰·三模）下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．6D．
36．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知，则的最小值为 .
37．【多选】（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
38．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ．
39．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点在椭圆上，，是该椭圆的两个焦点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
40．（2024·江西·模拟预测）已知平面向量，，其中，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为 ．
42．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．5
43．（2024·宁夏石嘴山·三模）若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则取最小值时，n=（ ）
A．4B．12C．16D．6
44．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是
45．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列的前项和为，且，则的最小值为 ．
46．（2024·天津·模拟预测）已知正的边长为，中心为，过的动直线与边，分别相交于点、，，，.
（1）若，则 ；
（2）与的面积之比的最小值为 .
考点6二次与二次（或一次）的商式的最值
47．（2021·浙江嘉兴·二模）若正实数，满足，则的最大值为 ．
48．（2021·天津河西·模拟预测）函数的最小值为 .
49．（2020·江苏南通·二模）已知，，，则的最大值为 .
50．（2018·江苏常州·一模）已知，，2x+y=2，则的最大值为 .
51．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ．
52．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 .
53．（2023高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 .
考点7基本不等式“1”的妙用求最值
54．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为 ．
55．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数，且，则的最小值是 ．
56．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若，，且，则的最小值为 ．
57．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，则的最小值为 .
58．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为 ．
59．（2024·河南·三模）在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 ．
60．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是 ．
61．（2024·全国·模拟预测）已知，，则的最小值为 ．
62．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 .
63．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，P是线段AD上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 .
64．（2024·广西柳州·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=2π3，的平分线交AC于点D，且，则a+4c的最小值为 ．
65．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ．
66．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为 ．
考点8条件等式求最值
67．（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ．
68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ．
69．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
70．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）．
71．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为 ．
73．（2023·全国·模拟预测）已知，b>12，，则的最大值为 ．
74．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
考点9基本不等式的恒成立问题
75．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．D．
76．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
77．（23-24高二下·陕西西安·期末）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
78．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 .
80．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 .
81．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ．
82．（2024·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数．
（1）若的图象过点，则的最小值为 ；
（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ．
考点10对勾函数求最值
83．（2024高二·全国·竞赛）设函数，则下列结论中正确的是（ ）．
A．在递增B．在递减
C．的最小值是D．不存在反函数
84．（2022高三·全国·专题练习）给出四个命题：
①的最小值为2；
②的最大值为；
③的最小值为2；
④的最小值为4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
85．（22-23高一上·全国·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
86．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（ ）
A．若，则函数y=x2+4+1x2+4的最小值为2
B．函数最小值为
C．当
D．最小值等于4
87．【多选】（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（ ）
A．B．
C．D．
考点11容积的最值问题
88．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.
89．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
91．（2023·山东·模拟预测）如图，在中，∠BAC=π2，，为所在平面外一点，的面积为，且平面PAC⊥平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
考点12基本（均值）不等式的应用
92．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .
93．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）.
94．（2024·山东济南·三模）三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．18D．36
95．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.
96．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.
(1)判断的形状；
(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.
97．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?
98．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某旅游开发公司计划2023年开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2023年有万游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴万元．
(1)求2023年该旅游公司开发的游玩项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）；
(2)当2023年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？
99．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由.
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巩固练05 基本不等式及其应用12种常见考点全面练（精练99题）
考点1基本不等式的内容及辨析
1．（2023·辽宁·二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由为等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判断.
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设AC=a，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论．
【详解】设，可得圆的半径为，
又由，
在中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
3．（2023·陕西宝鸡·二模）设a，，则“a+b≥2”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】若a+b≥2，则成立，当且仅当时取等，
若，不妨设，则a+b≥2不成立，
所以“a+b≥2”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式判断．
【详解】x，y都是正数，
由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
考点2由基本不等式比较大小
5．（2024·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】A选项，根据的妙用进行求解；B选项，对原条件直接使用基本不等式，即可求解；C选项，将待证明表达式消去一个字母，构造函数，利用导数知识解决；D选项，结合B选项的分析可解决.
【详解】因为，所以，
对于A项：，
当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误；
对于B项：因为，所以，
，当时取得等号，此时，故B错误；
对于C项：因为，所以，所以，
于是等价于，等价于，
构造函数，，
所以在1,+∞上单调递增；
所以恒成立，所以不等式成立，故C正确；
对于D项：根据B选项的分析，，
则，即，
当时取得等号，此时，故D错误.
故选：C
6．（2024·湖南岳阳·二模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数性质得出，，，然后利用作差法比较与的大小关系即可.
【详解】因为，所以，即，所以，即；
因为，所以，即，所以，即；
因为，所以，即，所以，即；
又因为，
且，
所以，所以，所以；
综上所述，.
故选：A.
7．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列、等比数列的性质，利用二次函数及均值不等式可得解.
【详解】因为数列an为等差数列，所以，
因为bn为等比数列，所以，
而，
所以，故A对C错；
因为，而可同为正数也可同为负数，
当时，，当时，
所以，大小不确定，故BD错误.
故选：A
8．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由导数分析函数在0,+∞上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可.
【详解】设，则在0,+∞上单调递减，
所以，所以，，，
，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在0,+∞上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可.
9．【多选】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由，得，所以，A正确．
因为，所以，所以0，所以，B正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，C正确．
因为，所以，D错误．
故选：ABC．
10．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.，当时，等号成立，故A正确；
B.，当时，等号成立，故B正确；
C.，故C正确；
D.，当时等号成立，故D正确 .
故选：ABCD
11．【多选】（2024·贵州贵阳·一模）已知，则实数满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】由条件求出，结合对数运算，基本不等式逐项判断即可.
【详解】因为，
所以，，
所以，A正确；
，B正确，
，C错误，
由，可得，D正确，
故选：ABD.
12．【多选】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．
【详解】∵，∴ 即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知 ,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
13．【多选】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知正数a，b满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出的范围并结合均值不等式判断AB；举例说明判断C；利用不等式性质推理判断D作答.
【详解】由，，得，即，而，则，A正确；
显然，当且仅当时取等号，则，B正确；
取，，则满足，，此时，C错误；
由，得，即a>2，于是，同理，则，D正确．
故选：ABD
14．（2023·四川成都·模拟预测）已知分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根据函数的奇偶性算出表达式，然后利用的单调性，奇偶性，结合对数函数的单调性，对数的运算性质进行大小比较.
【详解】，用代替，，
根据分别为上的奇函数和偶函数，于是，
结合可得.
故，设，则，
根据基本不等式和余弦函数的范围，，，
于是，则g′(x)在上单调递增，注意到，于是时，递增.
由于是偶函数，根据对数的性质，，，
于是，，，故只需要比较的大小.
由，，
根据基本不等式，，故.
由于时，递增可知，，结合是偶函数可得，
，即.
故选：C
15．（2024·山西晋城·一模）定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最小值是
【答案】B
【分析】由题先分析出实数，，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可.
【详解】因为，所以在，，中，负数的个数为1或3，
又，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则．
因为，所以，因为，所以，则，
故的最大值是，无最小值．
故选：B.
16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（ ）
A．B．a1a2D．的大小无法确定
【答案】B
【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.
【详解】由题意得，，
因为，故，，
即a10，
故a+4c=(a+4c)1a+1c×2=2×5+4ca+ac≥25+24ca⋅ac=18，
当且仅当4ca=ac1a+1c=12，即a=6c=3时取等号.
所以a+4c的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用角平分线与三角形面积公式得到的关系式1a+1c=12，从而得解.
65．（23-24高一下·宁夏银川·期中）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】将变形后，由，，三点共线，可得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值.
【详解】因为，所以．
因为，，三点共线，所以，
所以．
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是8.
故答案为：8
66．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为，且总体的平均值为10，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据平均数得到方程，求出，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由题意得，
解得，
由于，
故，
当且仅当，时，等号成立.
故答案为：
考点8条件等式求最值
67．（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.
【详解】将两边展开，
得到，
从而，
故，而，
故，又，
故，
从而．
设函数，则，
观察易得在0,+∞上单调递增，故，
又，所以．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.
68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】解法1、根据题意，得到，结合基本不等式求得，进而求得的最大值；
解法2、根据题意，得到，利用权方和不等式得，进而求得的最大值．
【详解】解法1、由，可得，
由基本不等式得，可得，
所以，当且仅当时取等号，
联立方程组，解得，，故的最大值为2．
解法2、由，可得，
因为，由权方和不等式得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
联立方程组，解得，，故的最大值为2．
故答案为：.
69．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可.
【详解】由可得，
因为，所以，即，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
70．（2024·四川成都·三模）若正实数满足，则的最大值为 （用表示）．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】因为是正实数，，所以，
当且仅当时取等号，于是，
所以的最大值为.
故答案为：
71．（2024·陕西西安·三模）已知，，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为 ．
【答案】2
【分析】
依题意得，再利用基本不等式求解.
【详解】
依题意得，
则，
即，则，
解得，则的最大值为2．当且仅当时取得最大值.
故答案为：2.
73．（2023·全国·模拟预测）已知，b>12，，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
【详解】令，，
则，，，，，所以，
所以
，
当且仅当，，即，时等号成立．
故答案为：
74．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
【答案】8
【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
又，所以，即，
即，所以，
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：8
考点9基本不等式的恒成立问题
75．（2024·四川成都·三模）设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得，从而得到，再令，最后利用基本不等式计算可得.
【详解】因为，所以，，
又，
所以，即，
因为，，所以，所以，所以，
又，即，
所以，所以，
令，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，
则实数的最大值为2+22.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而参变分离得到，再换元、利用基本不等式求出的最小值.
76．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将变形为，利用均值不等式求的最小值即可求解.
【详解】因为，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当，
所以，，
故实数a的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
77．（23-24高二下·陕西西安·期末）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将问题化为，利用基本不等式求左侧的最小值，注意取值条件，即可得参数范围.
【详解】由题意，只需在时即可，
又，则，故，
当且仅当时等号成立，故，
所以，即.
故选：A
78．（2023·河南·二模）若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】参变分离可得，再设，结合基本不等式求解的最小值即可.
【详解】解析依题意知，，结合，知，不等式转化为，须.
设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是.
故选：A
79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式，解出即可.
【详解】因为且，所以
，当且仅当时取等号．
因为不等式恒成立，
所以，解得．
故答案为：.
80．（2023·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围.
【详解】因为不等式恒成立，所以，
由，，
可得，
当且仅当时等号成立，
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
81．（2023·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为 ．
【答案】
【分析】分析可得原题意等价于对任意恒成立，根据恒成立问题结合基本不等式运算求解.
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
82．（2024·山东潍坊·三模）已知均为正实数，函数．
（1）若的图象过点，则的最小值为 ；
（2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】 9
【分析】（1）由的图象过点得，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；
（2）由的图象过点得，进而得出，利用换元法及基本不等式即可求得的最大值，即可得出的最小值．
【详解】（1）由的图象过点得，，即，
所以，当且仅当，即时等号成立．
由恒成立得，，
（2）因为的图象过点，则，即，
当时，不合题意舍，
所以，即，则，则由得，
所以，
设，
所以
，
当且仅当，即，则时，等号成立，
故答案为：9；．
【点睛】方法点睛：第二空由的图象过点得出，代入消元得出关于的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．
考点10对勾函数求最值
83．（2024高二·全国·竞赛）设函数，则下列结论中正确的是（ ）．
A．在递增B．在递减
C．的最小值是D．不存在反函数
【答案】D
【分析】由基本不等式可判断C；由双勾函数的性质可判断A，B；在其定义域内非单调函数，不存在反函数，可判断D.
【详解】当时，,
当且仅当，即时取等，
当时，,
当且仅当，即时取等，故C错误；
由双勾函数的性质可得：在上递减，上递增．故A、B不正确．
在其定义域内非单调函数，不存在反函数，故D正确.
故选：D.
84．（2022高三·全国·专题练习）给出四个命题：
①的最小值为2；
②的最大值为；
③的最小值为2；
④的最小值为4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用基本不等式可判断①的真假，取特殊值，举反例可判断②③的真假，利用换元，结合函数的单调性可判断④的真假，即得答案.
【详解】对于①，，则，
当且仅当，即时取得等号，
即的最小值为2，正确；
对于②，当时，，②错误；
对于③，满足且，
当时，，③错误；
对于④，令，则在上单调递减，
故时，取到最小值5，
即的最小值为5，④错误，
故真命题的个数是1，
故选：A
85．（22-23高一上·全国·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】结合对勾函数的性质即可求解.
【详解】根据对勾函数的性质，当时，函数为增函数，故当时，有最小值，
故选：B.
86．【多选】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正确的有（ ）
A．若，则函数y=x2+4+1x2+4的最小值为2
B．函数最小值为
C．当
D．最小值等于4
【答案】BC
【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解
【详解】A选项，令，
则，
由对勾函数性质可知，y=t+1t在上单调递增，
故，
故y=x2+4+1x2+4的最小值为，A错误；
B选项，因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数最小值为，B正确；
C选项，当时，，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故，C正确；
D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，
故，D错误.
故选：BC
87．【多选】（2024高三·全国·专题练习）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)；
，但是等号取不到；
因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号；
因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号).
故选：ACD.
考点11容积的最值问题
88．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值.
【答案】米，米；立方米
【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解.
【详解】由题意，，即，，
所以，即，
解得，当且仅当，即时等号成立，
因为，所以.
即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米.
89．（22-23高一·全国·随堂练习）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）

【答案】长为m，宽为m时总造价最低．
【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出．
【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，，
，
当且仅当，又，即，时取到等号，
故长为m，宽为m时总造价最低．
90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
【答案】
【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案.
【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，
所以房屋的总造价为，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：.
91．（2023·山东·模拟预测）如图，在中，∠BAC=π2，，为所在平面外一点，的面积为，且平面PAC⊥平面，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，得，设，结合面面垂直的性质、余弦定理、等积转换与基本不等式，即可求得三棱锥体积的最大值.
【详解】因为平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面，又，平面
所以平面PAC，因为平面PAC，故，
设，则，得，设，
在中，由余弦定理得，所以，
所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以三棱锥体积的最大值为．
故选：D．
考点12基本（均值）不等式的应用
92．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为 ，比较两种方案，沙坑面积最大值为 .
【答案】 （其中，），或， /
【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；
（2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.
【详解】连接，由，，，，得，
在中，，由，得，
显然在上单调递减，
所以满足的关系式为（x∈(0,1)，）或，；

方案1：设游泳池的面积为，
由（1）得，解得，当且仅当2x=y，即，时取等号，
所以；
方案2：设游泳池的面积为，取的中点，
连接，，设，，在中，，
则，解得，当且仅当时取等号，
，
而，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.
故答案为：（x∈(0,1)，），或，；
【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键.
93．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）.
【答案】3.2
【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可.
【详解】如图：作于，设，
则，.
所以（当且仅当时取“”）
又，故（米），
故答案为：3.2
94．（2024·山东济南·三模）三棱锥中，平面，．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（ ）
A．B．C．18D．36
【答案】C
【分析】由线面垂直得到线线垂直，推出该三棱锥的最长的棱为，故，最短的棱为或，分三种情况，利用锥体体积公式和基本不等式求出体积的最大值，得到答案.
【详解】因为平面，平面，
所以，，
故，
因为，所以，故，
则该三棱锥的最长的棱为，故，
最短的棱为或，
当最短的棱为，即时，
由勾股定理得，
故，故，
当且仅当时，等号成立，
故三棱锥体积为，
当最短的棱为，即时，
设，则，则，
故，
三棱锥体积为，
当且仅当，即时，等号成立，
当最短的棱为，即时，
设，则，则，
故，
三棱锥体积为，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，该三棱锥的最大体积为18.
故选：C
95．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由题设条件重新组合后将证明替换成，再利用正、余弦定理即可求得；
（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得，根据余弦定理和基本不等式求得，代入即可计算得到.
【详解】（1）由，
得(*).
因为，所以，
由正弦定理，得，
代入（*）得，.
由正弦定理，得，
由余弦定理的推论，得.
（2）由余弦定理，得，即，
所以，当且仅当时等号成立，故得.
又，两边平方可得，
，
所以，即线段长度的最大值为.
96．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.
(1)判断的形状；
(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.
【答案】(1)等腰三角形
(2)36
【分析】（1）使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明；
（2）先用基本不等式证明，然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到，最后说明等号可以取到，即得结果.
【详解】（1）由正弦定理并结合已知有.
故，从而.
由于，从而，故由可知，所以一定是等腰三角形.
（2）设的外接圆半径为.
一方面，我们有
，
故；
另一方面，当是边长为的等边三角形时，有，.
此时，，且.
所以周长的最大值是36.
【点睛】关键点点睛：值得一提的是，第2小问证明时并不需要使用第1小问得到的. 若使用该条件，则可化为，然后再利用亦可得到结果. 但这样并未从本质上减少工作量，反而使解析失去了一般性和启发性，因此本解析不采用此法.
97．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2023年举行促销活动．经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．求该厂家2023年的年促销费用t投入多少万元时厂家利润最大?最大利润是多少?
【答案】该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元
【分析】首先将所获利润表示为的函数，结合基本不等式即可求得最大值即取最大值时的值.
【详解】由题意将该厂家2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数为：
.
所以，
当且仅当时“=”成立.
所以，该厂家2023年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大，最大利润是21.5万元.
98．（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）某旅游开发公司计划2023年开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2023年有万游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为50元，政府为鼓励企业更好发展，每年给该旅游开发公司财政补贴万元．
(1)求2023年该旅游公司开发的游玩项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=收入-成本）；
(2)当2023年的游客为多少时，该游玩项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当游客为万人时，该游玩项目所获利润最大，最大利润是120万元
【分析】（1）依题意可得，再结合的解析式计算可得；
（2）由二次函数的性质求出时函数的最大值，再由基本不等求出时的最大值，即可得解.
【详解】（1）依题意，
又，
所以当时，
当时，
所以；
（2）当时，
所以当时；
当时，
当且仅当，即时，
因为，
所以当的取得最大值120，即当游客为万人时，该游玩项目所获利润最大，最大利润是120万元.
99．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？请说明理由.
【答案】(1)0.1；
(2)（i）490；（ii）应该对余下的产品作检验，理由见解析.
【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；方法二：根据所求式子特征，利用基本不等式求最值，并根据等号成立条件求.
（2）由（1）得，在解（i）的时候，先求剩余180件产品中不合格产品的期望，再根据变量之间的关系，求得总费用的期望；在解（ii）的时候，通过比较两个期望的大小，得到结果.
【详解】（1）方法一（通性通法）利用导数求最值
20件产品中恰有2件不合格品的概率为.
因此.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以的最大值点为；
方法二（最优解）均值不等式
由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为.
，
当且仅当，即取等号，
故即为所求.
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，
即，且,
所以.
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于，故应该对余下的产品作检验.
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