高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1．了解根式的概念以及分数指数幂的意义；
2．掌握分数指数幂和根式之间的互化，以及分数指数幂的运算性质，了解指数幂的意义；
3．通过具体情境，引发思考，增强求知欲，感受探索未知世界的乐趣，从而培养对数学的热爱情感．

二、教学重难点
重点：n次方根及根式的概念和性质，能利用根式的性质对根式进行运算；理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化.
难点：能利用根式的性质对根式进行运算; 理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．

三、教学过程
（一）创设情境
情境：公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯
的发现导致了数学史上第一个无理数2的诞生. 初中已经学过整数
指数幂，为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实
数，上面的情景描述的，正是我们本节课要学习的知识之一根式.
师生活动：教师讲述情景并提出问题，让学生思考.学生思考后，继续讲述情景问题的答案，引出的和本节相关的知识点.
设计意图：通过经典历史数学问题，集中学生注意，回顾历史知识点，引出本节课知识点之一根式.
（二）探究新知
任务1：n次方根的概念
思考：你还记得初中时平方根、立方根是如何定义的吗？
如果x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根. 例如，±2就是4的平(2次)方根.
如果x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根. 例如，2就是8的立(3次)方根.
师生活动：教师根据创设情景中提到根式，以及板书内容.引导学生观察板书内容的描述，总结规律.
类似地，由于±24=16，我们把±2叫做16的4次方根.
由于25=32，我们把2叫做32的5次方根.
思考：能否类比上方的描述，归纳总结.
答：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根. 其中n>1，且n∈N∗.
设计意图：通过创设情景中提到根式，以及板书内容的引入，引导学生通过归纳总结出n次方根的概念.
任务2：n次方根的性质
思考：观察下面表述，并尝试总结规律.
4的平方根（2次方根）：±2； -4没有偶次方根
8的立方根（3次方根）：2； -8的立方根（3次方根）：-2
16的4次方根：±2； -16没有偶次方根
32的5次方根：2； -32的5次方根：-2
师生活动：教师提出问题，引导学生从以下4点寻找规律，然后分组发言：
1.根的次数（n）的奇偶性；2.根数量；3.被开放数（a）正负；4.特殊情况
总结：一般地，如果xn=a，其中n>1，且n∈N∗.
1.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号na表示.
例：532=2, −327=−3.
2.当n是偶数时，正数的n次方根有两个且互为相反数.正的n次方根用na表示，负的用−na表示可合并成±na(a>0).
例：416=2,−416=−2,±416=±2
3.负数没有偶次方根.（因为在实数的定义里，任意实数的偶次方是非负数.）
4.0的任何次方根都是0.记作：n0=0.
设计意图：通过实例引入，让学生思考，归纳总结出n次方根的性质.
任务3：根式的概念
【概念形成】式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根据n次方根的定义nan=a
比如：52=5 5−35=−3
注意：1、na一般读作“n次根号a”
2、当a＜0且n为偶数时，na在实数范围内没有意义.
3、当na有意义时， na是一个实数，且它的n次方等于a.
思考：（1）nan表示an的n次方根，nan=a一定成立吗？
（2）nan和nan有什么区别？
要求：先独立思考，再分组讨论并发言.
答：（1）当n为奇数时：nan=a；
当n为偶数时：nan=a=a,a≥0,−a,a0)
4a12=4a34=a3=a124(a>0)
总结：当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
师生活动：教师根据板书内容，引导学生推导过程，再进行总结.完成后根据总结内容抛出问题，当指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
思考：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
例如：3a2=a23a>0 b=b12b>0 4c5=c54c>0.
对比：a23=a2∗3a>0 b12=b1∗2b>0 c54=a5∗4c>0.
整数指数幂的运算性质如：akm=akm为我们熟知.
【概念形成】数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容.基如此，我们希望这规则同样适用分数指数幂运算,不妨进行下面的规定：
1.规定正数的正分数指数幂的意义是：amn=nam a>0,m,n∈N∗,n>1；
2.规定正数的负分数指数幂意义的意义是：a−mn=1amn=1nama>0,m,n∈N∗,n>1
3.规定0的分数指数指数幂的意义是：规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
任务5：有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用,对于任意有理数r，s 均有下面的运算性质：
aras=ar+s a>0,r,s∈Q 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
aras=ar−s a>0,r,s∈Q 同底数幂相除，底数不变，指数相减.
ars=ars a>0,r,s∈Q 幂的乘方，底数不变，指数相乘.
abr=arbra>0,b>0,r∈Q
积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
思考：①②③ 中法则逆向使用是否成立.例如：ar+s=aras
要求：先独立思考，再分组讨论并发言.
答：当a0时运算法则才一定成立.
（三）应用举例
例1 求解求下列各式的值：
(1) 3−83 ；(2) −102 ；(3) 43−π4 ；(4) a−b2.
解：(1) 3−83=−8；
(2) −102=10；
(3) 43−π4=π−3；
(4) a−b2=|a−b|=a−b,a≥bb−a,a0).
（1）a2⋅3a2；（2）a⋅3a.
答：（1）a2⋅3a2=a2⋅a23=a83；
（2）a⋅3a=a⋅a13=a4312=a23.
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
（1）2a23b12−6a12b13÷−3a16b56；
（2）m14n−388=(m14)8(n−38)8；
（3）3a2−a3÷4a2.
解：（1）原式=[2×(−6)÷(−3)]a23+12−16b12+13−56=4ab0=4a.
（2）原式=(m14)8(n−38)8=m2n−3=m2n3.
（3）原式=(a23−a32)÷a12=a23−12−a32−12=a16−a=6a−a.
（四）随堂练习
1.已知a>0，b>0，则下列各式正确的是( )
A. 4(π−3)4=π−3 B. a3b b2a6=1
C. a−mn=1man D. 4b23a−13÷(−23b−13a−13)=−6b
解：∵π>3，∴4(π−3)4=|π−3|=π−3，则A正确;
a3b b2a6= a3b⋅ba3=1，则B正确;
a−mn=1nam，则C错误;
4b23a−13÷(−23b−13a−13)=4×(−32)b23−(−13)a−13−(−13)=−6b1a0=−6b，则D正确．
2.已知n∈N∗，则“nan=a”是“a>0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
解：当n是奇数时，对于任意实数a总有nan=a，也就是说由nan=a推不出a>0，而由a>0总能得出nan=a，所以“nan=a”是“a>0”成立的必要不充分条件．
3.已知a>0，b>0，则a85⋅b−65−12⋅5a4÷5b3= ．
解：a85⋅b−65−12⋅5a4÷5b3=a85×−12⋅b−65×−12⋅a45÷b35=a−45+45⋅b35−35=a0⋅b0=1
故答案为：1．
4.求值：4−12−(278)13−(π−3)0= ．
解： 4−12−(278)13−(π−3)0=(22)−12−[(32)3]13−1
=2−1−32−1=12−32−1=−2 ，
故答案为： −2 ．
5.已知am=9，an=2，则 am−2n= ．
解：因为am=9，an=2，
所以am−2n=ama2n=94，
所以 am−2n= 94=32．
故答案为：32．
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.