广东省深圳市福田区外国语学校（集团）2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

这是一份广东省深圳市福田区外国语学校（集团）2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）不解方程，判断方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根D．无法确定
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．11D．12
5．（3分）如图，张老汉想用长为70米的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2米宽的门（建在EF处，门用其他材料），设AB的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x（70﹣x）＝640B．x（70﹣2x）＝640
C．x（72﹣x）＝640D．x（72﹣2x）＝640
6．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8B．12C．18D．24
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD和CD上，EF∥AC，连接BE交对角线AC于点G，若点G是AC的四等分点（AG＜CG），AC＝4，则EF的长为（ ）
A．B．2C．D．3
8．（3分）在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A落在点F处，BF与AC交于点H，点O是AC的中点，则OH的长度是（ ）
A．B．C．4﹣2D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）已知，则＝ ．
10．（3分）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
11．（3分）一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为 ．
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则＝ ．
13．（3分）在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，G为DE上一点，若AB＝6，∠B＝∠EGF＝60°，则DG的长为 ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题9分，第17题8分，第18题8分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．（6分）解一元二次方程：
（1）（x+2）2＝3（x+2）；
（2）x2﹣3x﹣1＝0．
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
16．（9分）本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ；
（4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
17．（8分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求BE的长．
19．（12分）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接AG、AC，则∠ACG＝ °；
【解决问题】：（2）将矩形AQGF绕点A顺时针转动，边AF与边CD交于点M，连接BM，AB＝10，AD＝6．
①如图2，当BM＝AB时，求证：AM平分∠DMB；写出证明过程
②如图3，当点F落在DC上时，连接BQ交AF于点O，则AO＝ ；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形ABCD的边长为，E是BC边上一点（不与点B、C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FC交AB的延长线于点G，则BG＝ ；
（4）如图5，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C、D重合），连接BE，将线段BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G，若，则CG＝ ．
20．（12分）在正方形ABCD中，AB＝10，AC是对角线，点O是AC的中点，点E在AC上，连接DE，点C关于DE的对称点是C′，连接DC′，EC′．
（1）如图1，若DC′经过点O，求证：；
（2）如图2，连接CC′，BC′，若∠ADC′＝2∠CBC′，求CC′的长；
（3）当点B，C′，E三点共线时，直接写出CE的长．
2024-2025学年广东省深圳市福田外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从上往下看的形状就是俯视图．
【解答】解：俯视图是应该正方形．
故选：B．
2．（3分）在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵随机出一个手势，可以出“石头、剪子、布”中任意一个，
∴出“石头”的概率是．
故选：C．
3．（3分）不解方程，判断方程x2﹣4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根D．无法确定
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．8B．10C．11D．12
【分析】由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE：BC＝AD：AB，又由，DE＝4，即可求得BC的长．
【解答】解：∵，
∴＝，
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴＝，
∵DE＝4，
∴BC＝3DE＝12．
故选：D．
5．（3分）如图，张老汉想用长为70米的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2米宽的门（建在EF处，门用其他材料），设AB的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．x（70﹣x）＝640B．x（70﹣2x）＝640
C．x（72﹣x）＝640D．x（72﹣2x）＝640
【分析】根据BC＝栅栏总长﹣2AB，再利用矩形面积公式即可列出方程．
【解答】解：矩形ABCD的边AB＝x（m），则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，△ABC的周长为6，则△A1B1C1的周长是（ ）
A．8B．12C．18D．24
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：△ABC和△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，若，
故△ABC的周长和△A1B1C1的周长比为1：2，
故△A1B1C1的周长是12，
故选：B．
7．（3分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD和CD上，EF∥AC，连接BE交对角线AC于点G，若点G是AC的四等分点（AG＜CG），AC＝4，则EF的长为（ ）
A．B．2C．D．3
【分析】由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，从而求证△AEG∽△CBG，再根据相似三角形的性质得，又点G是AC的四等分点则，，再证明△DEF∽△DAC即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴，
∵点G是AC的四等分点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，
∵AC＝4，
∴，
故选：C．
8．（3分）在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A落在点F处，BF与AC交于点H，点O是AC的中点，则OH的长度是（ ）
A．B．C．4﹣2D．
【分析】连接BD，交EF于点G，作GL⊥AD于点L，根据翻折变换性质得到EF＝AE＝2，∠F＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，设LD为a，分别表示出△FBG的长，再利用勾股定理解出a的值，再利用△BOH∽△BFG求出OH的长．
【解答】解：连接BD，交EF于点G，作GL⊥AD于点L，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠LDG＝45°，∠A＝90°，
∴BD＝＝4，
∴BO＝2，
∵△ABE沿BE翻折，点A落在点F处，
∴EF＝AE＝2，∠F＝∠A＝90°，BF＝BA＝4，
设LD＝a，则LE＝2﹣a，
在Rt△LDG中，LD＝a，∠LDG＝45°，可得LG＝a，DG＝a．
在Rt△LEG中，LE＝2﹣a，LG＝a，可得EG＝，
∴FG＝EF﹣EG＝2﹣，BG＝BD﹣DG＝4﹣a，
在Rt△BFG中，BF＝4，BG＝4﹣a，FG＝2﹣，
∴FG2+BF2＝BG2，即（2﹣）2+42＝（4﹣a）2，
解得a1＝0（舍去），a2＝，
∴FG＝2﹣＝，
∵∠HBO＝∠GBF，∠BOH＝∠F，
∴△BOH∽△BFG，
∴＝，即＝，
解得OH＝．
故选：A．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）已知，则＝ ﹣ ．
【分析】由于＝，则可设x＝2k，y＝3k，然后把它们分别代入所求的代数式中进行分式的化简计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝3k，
∴＝＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
10．（3分）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 12 m．
【分析】利用平行投影的性质，相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设旗杆的高度为x m，
根据题意，得：＝，
解得x＝12，
即旗杆的高度为12m，
故答案为：12．
11．（3分）一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为 ．
【分析】根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不相同的为4种，
所以摸出的两个球恰好颜色不同的概率＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则＝ ．
【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC＝＝5x，根据相似三角形的性质得到AD＝x，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB：BC＝3：4，
∴设AB＝3x，BC＝4x，
∵∠ABC＝90°，
∴AC＝＝5x，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠ABC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAB，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴AD＝x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠ABE＝∠ADF＝90°，
∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴，
∴＝＝，
故答案为：．
13．（3分）在菱形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，G为DE上一点，若AB＝6，∠B＝∠EGF＝60°，则DG的长为 ．
【分析】连接AC、EF、DF、CE、AF，作FH⊥DE．先求出△DEF的面积，再求出高FH，利用勾股定理求出DE、EH、HG，利用线段和差求出DG即可．
【解答】解：连接AC、AF，
，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴△ABC为等边三角形，
连接AF，CE，
∵点 E、F分别是AB、BC边上的中点，
∴AF⊥BC，BF＝FC＝2，
在Rt△AFB中，AF＝＝＝2，
同理在Rt△BEC中，CE＝2，∠BCE＝30°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°，
在Rt△DCE中，DE＝＝2，
∵点E分别是AB边上的中点，
∴BE＝AB＝2，
∴△BEF为等边三角形，
∴S△BEF＝×2×＝，
连接DF，
S△DCF＝×FC×AF＝2，
∵AE＝CF，∠EAD＝∠FCD，AD＝DC，
∴△BEF≌△DCF（SAS），
∴S△DAE＝2，
∵SABCD＝AF×BC＝2×4＝8，
∴S△DEF＝SABCD﹣S△BEF﹣S△DCF﹣S△DAE＝8﹣﹣2﹣2＝3，
过F作FH⊥CE，
∴×DE×FH＝3，
∴FH＝3×2÷DE＝，
在Rt△FHE中，EH＝＝＝，
在Rt△FHG中，∠EGF＝60°，
∴∠HFG＝30°，
∴HG2＝FG2﹣FH2＝（2HG）2﹣FH2，
∴HG＝＝，
∴DG＝DE﹣EH﹣HG＝2﹣﹣＝，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题6分，第16题9分，第17题8分，第18题8分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14．（6分）解一元二次方程：
（1）（x+2）2＝3（x+2）；
（2）x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】（1）把（x+2）看作一个整体，先移项，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）（x+2）2＝3（x+2），
（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
（x+2﹣3）（x+2）＝0，
x+2﹣3＝0或x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣2；
（2）x2﹣3x﹣1＝0，
x2﹣3x＝1，
x2﹣3x+＝1+，
＝1+，
＝，
x﹣＝，
解得x1＝，x2＝．
15．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，﹣2）、B（4，﹣1），C（3，﹣3）．
（1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）若△A1B1C1内部任意一点P1的坐标为（a，b），直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．
【分析】（1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案；
（2）画出一个以点O为位似中心的△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2即可；
（3）根据相似比即可求得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求三角形．
（2）如图所示，△A2B2C2为所求角形．
（3）由题意可知△A2B2C2∽△A2B2C2，且相似比为2：1，
∴当点P1的坐标为（a，b）时，对应点P2的坐标为：（2a，2b）．
16．（9分）本期开学以来，初2015级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 25人 ；
（2）图1扇形图中D等所在的扇形的圆心角的度数是 43.2° ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）我校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 216人 ；
（4）已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【分析】（1）用B等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去A、B、C等级的人数得到D等级人数，然后用360°乘以D等级所占的百分比得到D等所在的扇形的圆心角的度数，再补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用1800乘以D等级所占百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数为10÷40%＝25（人）；
（2）D等级的人数为25﹣4﹣10﹣8＝3，
所以D等所在的扇形的圆心角的度数＝360°×＝43.2°，
条形统计图补充为：
（3）1800×＝216（人），
所以估计不及格的人数为216人；
故答案为25人，43.2°，216人；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
所以选中的两人刚好是一男一女的概率＝＝．
17．（8分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同”，列出一元二次方程，解方程取其正值即可；
（2）设该品牌头盔每个应涨价m元，根据“此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元”，列出一元二次方程求解，再根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率x，
由题意得：375（1+x）2＝540，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔每个应涨价m元，
由题意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000，
整理得：m2﹣15m+50＝0，
解得m1＝5，m2＝10，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝5，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求BE的长．
【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明AD＝CD，继而判断四边形ABCD是平行四边形，结合AB＝AD得证．
（2）由菱形的性质得，BD⊥AC，，，由勾股定理可得：，在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，求解即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，
又∵AB＝AD，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，BD⊥AC，，，
由勾股定理可得：，
∵CE⊥AB，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2，
在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝AC2﹣（AB+BE）2，
∴BC2﹣BE2＝AC2﹣（AB+BE）2，即：，
解得：．
19．（12分）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接AG、AC，则∠ACG＝ 45 °；
【解决问题】：（2）将矩形AQGF绕点A顺时针转动，边AF与边CD交于点M，连接BM，AB＝10，AD＝6．
①如图2，当BM＝AB时，求证：AM平分∠DMB；写出证明过程
②如图3，当点F落在DC上时，连接BQ交AF于点O，则AO＝ 4 ；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形ABCD的边长为，E是BC边上一点（不与点B、C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°至FE，作射线FC交AB的延长线于点G，则BG＝ 5 ；
（4）如图5，在菱形ABCD中，∠A＝120°，E是CD边上一点（不与点C、D重合），连接BE，将线段BE绕点E顺时针旋转120°至FE，作射线FD交BC的延长线于点G，若，则CG＝ 2 ．
【分析】（1）证明△ACG是等腰直角三角形，得出∠ACG＝45°，则可得出答案；
（2）①由矩形的性质及平行线的性质证明∠BMA＝∠DMA，则可得出结论；
②过点B作BE⊥AF于点E，求出DF＝8，证明△BCF≌△BEF（AAS），得出CF＝EF＝2，BC＝BE，证明△AOQ≌△EOB（AAS），得出AO＝OE＝AE＝4；
（3）过点F作FH⊥CD交CD于点H，证明△AEB≌△EFH（AAS），得出FH＝BE，AB＝EH，证明△CBG是等腰直角三角形，则可得出答案；
（4）过点F作∠EFH＝∠BEC，与ED的延长线交于点H，证明△BEC≌△EFH（AAS），得出∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，FH＝CE，证出△DCG是直角三角形，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）解：∵长方形纸片ABCD和AFGQ是两个完全相同的长方形，
∴AC＝AG，∠BAC＝∠GAF，
∴∠BAC+∠CAD＝∠GAF+∠CAD，
∴∠GAC＝∠BAD＝90°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
故答案为：45；
（2）①证明：∵BM＝AB，
∴∠BMA＝∠BAM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA＝∠MAB；
∴∠BMA＝∠DMA，
∴AM平分∠DMB；
②解：过点B作BE⊥AF于点E，
∵AF＝AB＝10，AD＝6，
∴DF＝＝8，
∴CF＝DC﹣DF＝2，
∵AB＝AF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CFB，
∴∠AFB＝∠CFB，
∵BF＝BF，∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BCF≌△BEF（AAS），
∴CF＝EF＝2，BC＝BE，
∴AE＝8，
∵AD＝AQ＝BC，
∴AQ＝BE，
∵∠QAO＝∠BEO，∠AOQ＝∠BOE，
∴△AOQ≌△EOB（AAS），
∴AO＝OE＝AE＝4，
故答案为：4；
（3）解：如图4，过点F作FH⊥CD交CD于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠H＝∠ABC＝90°，
由旋转的性质得：∠AEF＝90°，EF＝AE，
∵∠BEA+∠BAE＝∠BEA+∠FEH＝90°，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△AEB和△EFH中，
，
∴△AEB≌△EFH（AAS），
∴FH＝BE，AB＝EH，
∴EH＝CB，
∴CH+CE＝CE+BE，
∴CH＝BE，
∴FH＝CH，
∴∠FCH＝45°，
∴∠BCG＝45°，
∵∠CBG＝90°，
∴△CBG是等腰直角三角形，
∴BG＝BC＝5；
故答案为：5；
（4）解：过点F作∠EFH＝∠BEC，与ED的延长线交于点H，如图5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，∠A＝∠BCD＝120°，
由旋转得∠BEF＝120°，EF＝BE，
∴∠BEC+∠CBE＝∠BEC+∠FEH＝60°，
∴∠CBE＝∠FEH，
∴△BEC≌△EFH（AAS），
∴∠H＝∠BCD＝120°，EH＝BC，FH＝CE，
∴CD＝EH，
∴DH＝CE，
∴DH＝FH，
∴∠FDH＝∠DFH＝30°，
∴∠CDG＝30°，
∵∠DCG＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠G＝90°，
∴△DCG是直角三角形，
∵∠CDG＝30°，
∴CG＝CD＝BC，
∵BG＝6，
∴3CG＝6，
∴CG＝2．
故答案为：2．
20．（12分）在正方形ABCD中，AB＝10，AC是对角线，点O是AC的中点，点E在AC上，连接DE，点C关于DE的对称点是C′，连接DC′，EC′．
（1）如图1，若DC′经过点O，求证：；
（2）如图2，连接CC′，BC′，若∠ADC′＝2∠CBC′，求CC′的长；
（3）当点B，C′，E三点共线时，直接写出CE的长．
【分析】（1）证明△OEC′是等腰直角三角形，再由对称的性质可得：CE＝C′E，即可；
（2）过点B作BN⊥CN交CC′的延长线于点N，延长DE交CC′于点M，证明△CDM≌△BCN，可得BN＝CM，设则∠CBC′＝α，∠ADC′＝2α，证明△NC′B是等腰直角三角形，可得C′N＝BN，从而得到BN＝C′N＝C′M＝CM，然后根据勾股定理，即可求解；
（3）连接BD交AC于点H，则∠CDB＝45°，，分两种情况讨论：当点E在CH上时，当点E在AH上时，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线AC的中点，
∴OC′⊥AC，∠C′＝∠ACD＝45°，
∴△OEC′是等腰直角三角形．
由对称的性质得：CE＝C′E，
∴；
（2）解：如图1，过点B作BN⊥CN交CC′的延长线于点N，延长DE交CC′于点M，
由对称的性质得：∠CDM＝∠C′DM，DM⊥CC′，DC＝DC′，CM＝C′M
∴∠CDM+∠DCM＝90°．
∵∠DCM+∠BCN＝90°，
∴∠CDM＝∠BCN．
∵BC＝DC，∠N＝∠DMC＝90°，
∴△CDM≌△BCN（AAS），
∴BN＝CM．
设则∠CBC′＝α，∠ADC′＝2α，
∴∠CDC′＝90°﹣2α，
∴，
∴∠NC′B＝∠C′CB+∠CBC′＝45°，
∴△NC′B是等腰直角三角形，
∴C′N＝BN，
∴BN＝C′N＝C′M＝CM，
∴CN2+BN2＝CB2＝100，
∴（3BN）2+BN2＝CB2＝100，
∴，
∴．
（3）解：如图2，连接BD交AC于点H，则∠CDB＝45°，，
当点E在CH上时，延长DE交CC′于点G，过点C′作FC′⊥BC于点F，连接AC′，则DG垂直平分CC′，
∴∠CDG+∠DCC′＝90°，
∵∠C′CB+∠DCC′＝90°，
∴∠C′CB＝∠CDG，
在正方形ABCD中，CD＝CB，∠BCE＝∠DCE，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDG，
∴∠C′CB＝∠CBE，
∴∠DCC′＝∠ABC′，
∴△DCC′≌△ABC′（SAS），
∴DC′＝AC′，
由对称的性质得：DC′＝DC，∠CDG＝∠C′DG，
∴DC′＝AC′＝DC，
∴△AC′D是等边三角形，
∴∠ADC′＝60°，
∴∠CDC′＝30°，
∴∠CDG＝∠C′DG＝15°，
∴∠GDH＝30°，
∴DE＝2EH，
∵AB＝AD＝10，
∴，
∴，
∵EH2+DH2＝DE2＝2EH2，
∴，
∴，
∴CE＝CH﹣EH＝5﹣；
如图3，当点E在AH上时，
同理CE＝5+；
综上所述，CE的长为5﹣或5+；
方法二：
如图4，
∵E在正方形的对角线上，
∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△DEC≌△BEC（SAS），
∴∠1＝∠2，
由折叠的性质得：∠1＝∠DEC′，
∵∠1+∠2+∠DEC′＝360°，
∴∠1＝∠2＝∠DEC′＝120°，
∴∠OEB＝60°，
作BO⊥AC交AC于点O，
∵BC＝10，
∴BO＝CO＝5，
∴DE＝ct60°×BO＝°×5＝，
∴CE＝5﹣；
如图5，
同理得：∠1＝∠2＝∠3＝60°，
解得：OE＝，OC＝OB＝5，
∴CE＝CO+OE＝5+．
综上所述，CE的长为5﹣或5+．