2024年广东省深圳市福田区福田外国语教育集团中考三模数学试题

这是一份2024年广东省深圳市福田区福田外国语教育集团中考三模数学试题，共26页。试卷主要包含了考生必须在答题卷上按规定作答等内容，欢迎下载使用。

说明：
答题前，务必用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．选择题用2B铅笔作答，填涂时要将选中项框内涂黑、涂满．修改时须用橡皮将原作答擦除干净，再重新作答．主观题用黑色字迹的签字笔作答；答题字迹不可压在黑色框线上，更不可写在框线外．考试结束后，不要将试卷、草稿纸或其它物品夹在答题卡中．
1．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．
2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键．
根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解．
【详解】解：2024的相反数是，
故选B．
2. 新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意；
B.不是轴对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不符合题意；试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。D.是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
3. 港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程．据统计，2024年3月28日至3月31日，经港珠澳大桥出入境的旅客累计超484900人次，将数据484900用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选B．
4. 党的十八大以来，我国建成覆盖全国、深入乡村、通达全球的世界规模最大的邮政快递网络，2023年，我国快递年业务量首次突破1200亿件大关，下表是2023年广东省部分地市邮政快递业务量的统计结果（单位：亿件）：
这七个地市邮政快递业务量的中位数是（ ）
A. 18.271亿件B. 29.777 亿件C. 34.303 亿件D. 63.684亿件
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数，能熟记中位数的定义（把一组数据从小到大或从大到小排列，处于中间的一个数或两个数的平均数叫这组数据的中位数）是解此题的关键．先把数据从小到大排列，再找出中间的数据即可．
【详解】解：数据从小到大依次为：11.502，12.563，18.271，29.777，34.303，40.723，63.684，
所以中位数是29.777亿件．
故选：B
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则计算并判定A；根据积的乘方和幂的乘方法则计算并判定B；根据完全平方公式计算并判定C；根据单项式乘以单项式法则计算并判定D．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，完全平方公式，单项同式相乘，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6. “抖空竹”经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，“裁竹成形腰鼓如，两端绳索弄徐徐．当风急转如流水，山寺闻钟韵有余．”就是对抖空竹的写照．某同学在研究“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点，根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质，可得．
【详解】解：如图，延长交于点，

，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点，正确构造辅助线是解题的关键．
7. 如图，已知在中，，，根据图中尺规作图痕迹，（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查基本作图，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握角平分线定义和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
首先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由作图得垂直平分，平分，根据角平分线定义和线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由作图痕迹可知：是的平分线．
，
为线段垂直平分线，
，
，
．
故选：B．
8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
9. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（ ）（精确到米，参考数据：，，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，过点作于，则，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，进而得米，米，即得米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，则，，米，
∴，
在中，∵梯坎坡度，
∴，
∴，
∴米，米，
∴米，米，
∴米，
∴米，
故选：．
10. 如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作于点H，作于点I，连接，，
∵点O为正方形的中心，
∴，，
∴四边形为正方形，为正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与都是等腰直角三角形，
∴，
，
∴E、I、O、P四点共圆，
∴，
∵，
∴点P运动的轨迹是线段，
作点A关于直线的对称点，
当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，
过点作交延长线于点Q，
同理得四边形为正方形，且边长为4，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
12. 为积极响应“无偿献血，传递温暖”的号召，某高校一寝室的4个同学也用实际行动参与到爱心献血的活动中，他们其中有2个A型血，1个B型血，还有1个O型血，现从该寝室随机抽取两个同学参与第一批次献血，则两个同学都是A型血的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求事件概率；根据题意列表或画出树状图，得到所有可能结果数及两个同学都是A型血的可能结果数，由概率公式即可求解．
【详解】解：记两个A型血分别为，列表如下：
由表知，所有可能结果数为12，其中两个同学都是A型血的可能结果数为2，
由概率公式，随机抽取两个同学参与第一批次献血，则两个同学都是A型血的概率为．
故答案为：．
13. 已知不等式组的解集是则的值是 ________________ ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再由不等式组的解集为2＜x＜3得出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：，
由①得，x＜2a－1，
由②得，x＞1＋b，
∴1＋b＜x＜2a－1，
∵不等式组的解集为2＜x＜3，
∴1＋b＝2，2a－1＝3，
解得a＝2，b＝1，
∴ab＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14. 如图，平行四边形顶点A，B在函数的图象上，边与y轴交于点D，轴于点E．若的面积为8，则的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及反比例函数比例系数k的几何意义；根据题意得，，，则由，化简得到，结合反比例函数的比例系数k的几何意义得，即可求得答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，的面积为8，
，
即，
，
，
，
即；
点在函数的图象上，
，
即，
，
；
故答案为：2．
15. 如图，四边形，连接，，，，若，若，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定 性质，勾股定理，构造辅助线是关键；过A作于E，交延长线于F；由及，得，设，则，由勾股定理得；由辅助线作法及已知得四边形是矩形，则；设，则，，由内角和定理得，则有，在中由勾股定理即可求得k的值，再由勾股定理即可求得．
【详解】解：如图，过A作于E，交延长线于F；
，
；
，
设，则，
由勾股定理得；
，，，
四边形是矩形，
；
设，则，，
，
，
，
即，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍去），
则，
由勾股定理得．

故答案为：．
三、解答题（共7小题，共55分）
16. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及实数的绝对值、整数指数幂及特殊角三角函数的计算等知识，掌握它们是关键；依次计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂及特殊角三角函数值，最后加减即可．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数．
【答案】（1）200，72
（2）补全的条形统计图见解析
（3）估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名
【解析】
【分析】（1）利用选择乒乓球的人数÷所占百分比得到总人数，再利用选择跑步的人数÷总人数得到跑步所占的百分比，利用百分比即可得到圆心角度数；
（2）先求出选择足球的人数，再补全条形图即可；
（3）用总体数量×喜爱篮球项目的人所占的百分比即可得解．
小问1详解】
（名），
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：200，72；
【小问2详解】
选择足球的学生有：（人），
补全的条形统计图如图所示：
【小问3详解】
（名），
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名．
【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．从条形图和扇形图中有效的获取信息，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
19. 如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．过点C作，垂足为点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
（1）连接，，根据圆周角定理可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，即可求证；
（2）根据角相等可得相等角的正切值也相等，即可求得，根据勾股定理求得，同理可求得，；连接，根据圆内接四边形的性质可得，故，根据等角对等边可得，根据等腰三角形的性质可得，求得，即可求得．
【小问1详解】
连接，
∵点为的中点
∴
又∵是直径
∴，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，点在上
∴是的切线
【小问2详解】
∵
∴
∵且
∴
在中，由勾股定理得
在中，
故
由勾股定理得
连接
∵，
∴，又
∴
∴
又∵
∴
∴
∴．
20. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【答案】（1）甲型充电桩单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元
（2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点，
（1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论；
熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键．
【小问1详解】
设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元；
【小问2详解】
设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得：，
设所需费用为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，
∴w取得最小值为10万元，
此时，，
答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元．
21.
【答案】任务1：
任务2：的高度为米
任务3：
【解析】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，
任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论；
任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解．
任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论．
【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示．
∵，
∴．
∵水柱距水池中心处到达最高，高度为，
∴左侧抛物线顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
∴即．
任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．
设的最高高度为．
∴设图3中抛物线解析式为
由（1）可得图2中的抛物线解析式为:
令，得，
解得（舍去），，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点G的坐标为．
将代入
解得：
∴的最高高度为米
任务3：如图．
设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为
∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为，
又∵抛物线形状相同，
∴抛物线表达式为，
把代入得，
解得或（舍去），
∴，
∵喷出的水柱高度不低于，
∴
∴
又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．
由（2）可得
代入
即
解得：
∴
∴喷水装置高度的变化范围为．
22. 【基本模型】（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是__________．
【类比探究】（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，矩形中，E是的中点，于点F，连接交于点G，若点G把线段分成的两部分，请直接写出的值．
【答案】（1）（2）5（3）或
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质结合，证明，由相似三角形的性质解求解；
（2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ， 解直角三角形即可求解；
（3）分两种情况：或，先画出图形，根据菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：（1） 四边形是矩形，，，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，
，，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
设，则 ，
，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）分两种情况：
①当时，延长交的延长线于，连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
，
即，
，
∴，
∴；
②当时，延长、交于点，延长、交于点，如图所示，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
设，，
则，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负根舍去），
∴；
综上可得，的值为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键．深圳市
揭阳市
东莞市
佛山市
惠州市
汕头市
珠海市
63.684
40.723
34.303
18.271
11.502
29.777
12.563
B
O
B
O
设计喷水方案
素材1
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米


素材2
如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．

问题解决
任务1
确定水柱形状
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
任务2
选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度
若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度．
任务3
选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围
若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围．