备战 2025 江苏高考数学模拟卷二

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C.
2．用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则（ ）
A. 11B. 13C. 63D. 78
【答案】D
【解析】依题意，
因为，所以，
因为线性回归方程为一定过点，
所以，
所以.
故选：D.
3．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前5项的和为（ ）
A. B. C. 5D. 25
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为且，且，
因为成等比数列，可得，即，
即或（舍去），
所以.
故选：A.
4．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以有，
故选：D
5．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】展开得，
两边同时平方有，
即，解得，
故选：B.
6．已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于在上，故，即，所以.
根据抛物线的定义，就是点到直线的距离，
从而该圆的半径为.
由于圆心到轴的距离为，故该圆被轴截得的弦长为.
从而据已知有，
故，解得.
所以该圆的半径为，故面积为.
故选：C.
7．已知函数，将图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，令，解得，
故的单调增区间为，则在上单调递增；
将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则，
令，解得，
故的单调增区间为，则在上单调递增；
若和在区间上均单调递增，则的最大值为.
故选：A.
8．在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，故P点轨迹为以为直径的球，
如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心，
设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以，
易知，，又动点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，为方程的两根，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】方程的两根分别为和，
且，，
所以不妨设，，
，所以，故错误；
，故正确；
，故正确；
，，
所以，故错误.
故选：BC.
10．下列说法正确的是（ ）
A. 设A，B为两个事件，且，，则
B. 若在一组数据2，3，3，4，6中增加一个数据4，则方差变小
C. 若变量x与变量y满足关系，变量y与变量z是正相关，则x与z负相关
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错的概率不大于0.05
【答案】ABD
【解析】对于A：设A，B为两个事件，且，则，
又，故A正确；
对于B：一组数据为2，3，3，4，6，则，
所以，
若在2，3，3，4，6中增加一个数据4，则，
则，
又，故若在一组数据2，3，3，4，6中增加一个数据4，则方差变小，故B正确；
对于C：若变量x与变量y满足关系，则变量x与变量y是正确定关系，
又变量y与变量z是正相关，所以x与z正相关，故C错误；
对于D：因为，有的把握判断X与Y有关联，即判断错误的概率不大于0.05，故D正确.
故选：ACD.
11．已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 关于中心对称
C. 是周期函数D. 的解析式可能为
【答案】ACD
【解析】由，且函数的定义域为，
对于选项A：令，，可得，
且，可得，故A正确；
对于选项C：令，则，
则，即，可知为偶函数，
令，则，
可知，，
可得，则，
所以，可知周期为6，故C正确；
对于选项B：因为由于为偶函数且周期为6，
则，不满足，
所以不关于中心对称，故B错误；
对于选项D：因为的定义域为，
且，
即符合题意，所以的解析式可能为，故D正确；
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则的值为______________．
【答案】78
【解析】令，可得，
令，可得 ①
令，则②
所以②①可得：，
所以，即
故答案为：
13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为______________．
【答案】
【解析】不妨设，，，且，
则，
所以，解得，，故双曲线C的渐近线方程为.
故答案为：
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的最小值是______________．
【答案】
【解析】因为，
由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
所以，
即.
所以，
显然必为正（否则和都为负，就两个钝角），
所以，
当且仅当，即取等号.
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分） 数列中，，，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，且满足，，求．
【答案】（1） ；（2）答案见解析
【解析】（1）因为，所以，
所以数列是公差为的等差数列，其首项为，………………………2分
于是，
则，，，
，，
所以，………………………5分
所以；而符合该式，故.………………………6分
（2）由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，
因此与同号，………………………8分
因为，所以当时，，此时，
当为奇数时，，
当为偶数时，；………………………10分
当时，，此时，………………………12分
当为奇数时，，
当为偶数时，；
综上，当时，；当时，.
………………………15分
16．（15分）单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量的主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：
其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：.
（1）根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）；
公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数
（2）已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.
参考数据：若近似服从正态分布，则.
【答案】（1）； （2）该试验田中的小麦为优质小麦品种.
【解析】（1）该试验田样本平均穗粒数为，………………………3分
样本平均千粒重为，………………………5分
所以这块试验田的小麦亩产量的估计值为，…7分
（2）由（1）得，
所以，………………………10分
由得：，
故：，
所以该试验田中的小麦为优质小麦品种.………………………15分
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，．
（1）当时，求证：平面；
（2）设二面角的大小为，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）以为基底建立如图所示空间直角坐标系，
则，.
当时，，………………………2分
所以，
所以，所以.………………………4分
又平面平面，
所以平面.
………………………7分
（2），
设平面的一个法向量为，
则，即，不妨取.………………………9分
因为平面，所以平面的一个法向量为.………………………10分
所以，
所以.………………………13分
又因为，易知在上单调递减，
所以.………………………15分
18．（17分）已知椭圆E：，直线与E交于，两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线与E交于A，B两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若，，点A在第二象限，求直线的斜率；
（3）若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1） ；（2）；（3）.
【解析】（1）因为，两点在椭圆上，
所以
解得，.
故椭圆的标准方程为.………………………4分
（2）设，，设，
联立，得，
即，
，，. ………………………6分
由得，则，则.
由得：，
即，
代入得，，，
解得：，，.
故直线的斜率为.………………………10分
（3）由,可知，
即，
即，
即，
代入，，
得，
即，故，
故或. ………………………13分
当时，直线过，此时点重合，与条件矛盾，舍去.
当时，直线过定点，点在线段上运动，
当时，由，所以，即
从而直线的斜率的取值范围为.………………………17分
19．（17分）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
（2）当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
（3）若，证明：
【答案】（1）答案见解析，证明见解析；（2）；（3）证明见解析
【解析】（1）平方关系：；
倍角公式：；
导数：.
理由如下：平方关系，；
倍角公式：；
导数：，；
以上三个结论，证对一个即可.………………………5分
（2）构造函数，，由（1）可知，
①当时，由，
又因为，故，等号不成立，
所以，故为严格增函数，
此时，故对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，
则，可知是严格增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在上为严格减函数，
故对任意，，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为；………………………10分
（3）因为，
所以原式变为，
即证，
设函数，即证，，
设，，
时，在上单调递增，即在上单调递增，
设，则，
由于在上单调递增，，
所以，即，故在上单调递增，
又，所以时，，
所以，即，
因此恒成立，所以原不等式成立，得证.………………………17分穗粒数
穗数
4
10
56
22
8