备战 2025 江苏高考数学模拟卷三

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
第II卷（非选择题）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.513. 2014.105
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.（5分）
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.（13分）
16．（15分）
【详解】（1）由，得(*).
因为，所以，
由正弦定理，得，
代入（*）得，.
由正弦定理，得，
由余弦定理的推论，得.（7分）
（2）由余弦定理，得，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故得.又，
两边平方可得，
，
所以，即线段长度的最大值为.（15分）
17．（15分）
【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，
所以，，
因为，
所以，即.（8分）
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面DEF所成的二面角为，
则，
当时，取最小值为，此时取得最大值，
所以，
所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，
此时点为靠近的的四等分点. （15分）
18．（17分）
【详解】（1）由已知，解得，
所以平均数为.（4分）
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，所以，，
则分布列为
期望；（10分）
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，若为最大值，则，
即，即，解得，
又，且，则.（17分）
19．（17分）
【详解】（1）因为当l垂直于x轴时，|AB|=26，而直线l:x=±a与Γ相切，则23a2-a2=26，解得a=3，
又椭圆Γ的离心率为63，则椭圆Γ的半焦距c=2，b=a2-c2=1，
所以Γ的方程为x23+y2=1. （5分）
（2）（i）当l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，
由y=kx+mx2+3y2=3消去y得：(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，
由直线l与椭圆Γ相切，得Δ=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0，整理得m2=3k2+1，
于是圆心O到直线l的距离d=|m|k2+1=3k2+1k2+1=3-2k2+1∈[1,3)，
则△PAB的面积为S△PAB≤12(d+3)⋅|AB|=12(d+3)⋅29-d2=(3-d)(d+3)3，
设f(d)=(3-d)(d+3)3,1≤d0，函数f(d)单调递增，当32