江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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8．解：设，是抛物线上任一点，显然，
抛物线内以为圆心的圆能过原点，则的最小值是，
，
所以时，取得最小值，
若，则点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意，
若，即，则时，，此时圆半径为，最大值是2.
故选：D．
11.解：依题意，正方形的对角线，则，
，，，
对于A，，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于C，，
于是，又为三个向量的公共起点，因此四点共面，C正确；
对于D，，，
直线与直线所成角的余弦值为，D正确.
故选：ACD
三、填空题
12． 2
13 .
14．
解：当，表示椭圆第一象限部分；
当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；
当，不表示任何图形；以及两点，作出大致图象如图：
曲线上的点到的距离为，
根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，
直线与距离为，
曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1，
联立，消得，
，且，
所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点，
考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为，
所以，所以的取值范围是.
15．解：（1），，故.
（2）由（1）可得，，
因为向量，垂直，故，
整理得到：，故或.
16．解：（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1，
直线方程为，即，
由，解得，所以点的坐标是.
由点在直线上，设点，
于是边的中点在直线上，
因此，解得，即得点，直线的斜率，所以直线的方程为，即.
17．解：（1）抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，
因为椭圆的离心率为，即，
所以，，所以椭圆方程为
（2）当直线斜率不存在时，易知此时，不合题意；
所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为，如下图所：
联立得，设，则，
根据焦点弦公式可得，
解得，，所以直线方程为或
18．解：（1）由题知，，
因为，所以
，
而，，
，
所以，即的长度为.
（2）因为，所以，
所以，
在中，，
所以，即，又因为，所以平面，
而平面，所以，即为到直线的距离，
而，所以三角形为等边三角形，即，
即到直线的距离为.
（3）设，则
，
当时，这时的最小，且为.
19．解：（1）由题意可知椭圆满足，
故.
（2）（i）由测量数据可得，，故，，墙壁所在直线，
易知直线斜率存在，设，可得，
设切线，联立，
则，
相切可得，
则，则，
切点，
，
故，，，，
故，则.
（ii）设动点，则，不妨设过点的两条切线法向量为，
过点的两条切线法向量为，均为非零向量，
故切线方程为和，
则满足和.
由此可知两组切线分别对应平行，四边形是平行四边形，过圆心做一组切线的垂线，垂足为,由于关于原点对称，故也关于原点对称，又,
故故，故平行四边形是菱形.
下面研究菱形的面积：
过作PR的垂线GH，则，由（i）可知,故，
设，则有：，解得，则，
其中的取值范围是，
设，在上是单调函数，故的取值范围是.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
D
C
C
D
CD
BCD
题号
11









答案
ACD