江西省宜春市赣西外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

这是一份江西省宜春市赣西外国语学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题(共77分等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(40分)
1．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．点是图象的一个对称中心
C．直线是图象的一条对称轴 D．在上单调递增
2． 已知向量a=(1,0)，b=(m,1)，且a与b的夹角为π4，则m的值为（ ）
A．-1 B．2 C．-2 D．1
3．函数的最小值为（ ）
A．2B．-2C．-2D．3
4． 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（ ）
A．12B．1C．2D．3
5．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（ ）
A． B．
C． D．
7． 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8． 使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（ ） A．3个 B．4个C．5个 D．6个
二、多选题（18分）
9． 函数在一个周期内的图像如图所示，则（ ）A．该函数的解析式为
B．该函数的对称中心为，
C．在区间上的值域为
D．把函数的图像上所有点的向左平移个单位可得到该函数图像
10． 在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为
11．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点、的直线方程
三、填空题（15分）
12．如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．
给出下说法：① 图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；② 图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③ 图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④ 图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是 ．
13．若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为 ．
14． 已知直线与直线垂直，则 ．
四、解答题(共77分
15．（13分）设复数．
(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
(2)若是纯虚数，求.
16．（15分）如图，是一张三角形纸片，，设直线与边分别交于点，将沿直线折叠后，点落在边上的点处．
(1)若，求点到的距离；
(2)设，求点到距离的最大值．
17．（15分）已知圆
(1)若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；
(2)从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为M，且有为坐标原点，点P的轨迹方程.
18．(17分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，为M棱BB1的中点，P为棱A1D1的中点，平面DA1MN与平面CB1PQ将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，DD1上．
(1)求证：平面MNDA1//平面CB1PQ；
(2)求异面直线CQ与MN所成角的余弦值；
(3)求多面体MNDA1-PQCB1的体积．
19.（17分）已知圆C1：x2+y2+2x+2y-8=0与C2：x2+y2-2x+10y-24=0相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
答案
一，单选题答案
1.【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质即可逐一检验
【详解】对于A，由可得周期，故A不正确；
对于B，当时，，，
则点不是图象的一个对称中心，故B不正确；
对于C，当时，，，
则直线不是图象的一条对称轴，故C不正确；
对于D，当时，，根据正弦函数的单调性可得在上单调递增，故D正确，
故选：D
2. 【答案】D
【分析】由向量夹角的坐标表示csa,b=a?ba?b=x1x2+y1y2x12+y12?x22+y22得到方程，解得即可；
【详解】解：由向量夹角的坐标表示csa,b=a?ba?b=x1x2+y1y2x12+y12?x22+y22得：
22=mm2+1m>0，解得：m=1；
故选：D．
3. 【答案】C
【解析】利用三角恒等变换化简函数解析式，再根据正弦型函数的最值，即可求得结果.
【解析】原式
=2sin2x，所以函数的最小值为-2.
故选：C
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式以及求函数的最值，属综合基础题.
4. 【答案】B
【分析】把m用2sin18°代替后用两角差的正弦公式化简可得．
【解析】本题考查两角差的正弦公式、诱导公式．
由题意得 ，
故选：B．
5. 【答案】C
【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率，
又因为直线的倾斜角为锐角，
所以，解得.
故选：C
6. 【答案】B
【分析】化简直线方程分别为和，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】化简直线方程分别为和，
显然的斜率是的纵截距, 的纵截距是的斜率，
对于A中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然不成立；
对于B中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然成立；
对于C中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然不成立；
对于D中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然不成立；
故选：B.
7.【答案】B
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；
所以直线斜率存在设为，
则直线方程为，
联立直线得： ，
联立直线得：，，
所以直线与直线，直线的交点为：
，
又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，
所以，
解得：，
所以直线的方程为：，
故选：B.
8. 【答案】B
【分析】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案.
【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若平行，则，即；
若平行，则，即无解；
若平行，则，即；
若三条直线交于一点，，可得或；
经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.
故选：B
二、多选题答案
9.【答案】AD
【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；
对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项：利用伸缩变换即可求解.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，函数的对称中心为，故B错误；
因为
,故C错误；
把函数的图像上所有点的向左平移个单位可得到该函数图像,
可得到，故D正确．
故选:.
10. 【答案】ACD
【分析】根据倾斜角和斜率的定义即可判断
【详解】对于A，倾斜角为的直线斜率不存在,所以A错误;
对于B,直线的倾斜角的取值范围为,所以B正确;
对于C,因为且，所以,所以C错误;
对于D,倾斜角为的直线斜率不存在,所以D错误.
故选：ACD
11.【答案】BD
【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.
【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误；
对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；
对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误；
对于D，当时，由斜率公式可得，
可整理为；
当时，方程可整理为，
所以，经过两点、的直线方程，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
12. ② ③
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】阅读型；数形结合．
【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明．
【解答】解：根据题意和图（2）知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；故②正确；
由图（3）看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故③正确
故答案为：② ③．
【点评】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题的关键是对图形的理解．
13. 【答案】x＋3y－3＝0
【详解】
解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0.
（解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0.
14.【答案】3
【分析】根据两直线垂直的等价条件即可得到结果.
【详解】∵直线与直线垂直，
∴
∴.
故答案为：3.
四、解答题
15.（13分）【答案】
(1)
(2)
【分析】（1）根据复数是实数，求，再根据复数的乘法运算公式，即可求解；
（2）首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式.
【详解】（1）由，得，
而由已知是实数，
于是，解得，
所以；
（2）依题意，是纯虚数，
因此，解得，
所以，.
16. 【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以为原点建立直角坐标系，求出线段的中垂线方程及直线的方程，再联立求出交点横坐标作答.
（2）求出线段的中垂线方程，与直线的方程联立求出交点横坐标，再求出最大值作答.
【详解】（1）依题意，以为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，

显然点，直线的方程为，即，
直线的斜率，而直线垂直平分线段，于是直线过点，斜率为，
因此直线的方程为，即，
由与联立消去y得：，即点的横坐标为，
所以点到的距离为.
（2）由（1）知，点，直线的方程为，显然，
直线的斜率，而直线垂直平分线段，于是直线过点，斜率为，
因此直线的方程为：，即，
由与联立消去y得：，即点的横坐标为，
因此点到的距离，
当时，，
显然，，当且仅当，即时取等号，
于是当时，，
所以当时，点到距离取得最大值.
17. 【答案】(1)或或；
(2)
【分析】（1）当圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0时设所求切线方程为，利用则圆心到切线的距离为求出；当截距均不为0时设所求切线方程为，利用圆心到切线的距离为求出可得答案；
（2）根据、可得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，
①设圆C的切线在x轴、y轴上的截距均为0，则切线过原点，
设所求切线方程为，即
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线的方程为；
②若截距均不为0，设所求切线方程为，
则圆心到切线的距离为，解得，
此时，所求切线方程为或，
综上所述，所求切线方程为或或；
（2）由题意可知，，
则
，
由，得，
化简得，
所以，点P的轨迹方程为.

18.【答案】(1)证明见解析
(2)1010
(3)103
【分析】（1）由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，进而得到，DM//平面CB1PQ，同理得到MN//平面PQCB1，证明出面面平行；
（2）由（1）可得?B1CQ为异面直线CQ与MN所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理求出异面直线的夹角余弦值；
（3）几何体MBN-A1AD与几何体PDQ1-B1C1C的体积相等，即V1=V2，设几何体MNDA1-PQCB1的体积为V，正方体的体积为V3，故V=V3-V1-V2，作出辅助线，几何体MBN-A1AD体积为三棱锥O-A1DA体积减去三棱锥O-BMN体积，结合锥体体积公式求出答案.
【详解】（1）由题意得平面BCC1B//平面ADD1A1，
又平面MNDA1n平面BCC1B1=MN，
平面MNDA1n平面ADD1A1=A1D，所以，
同理，
又且A1B1=AB，且AB=CD，
则且A1B1=CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，则，
所以，
又M为BB1中点，所以N为BC中点，
同理Q为DD1中点，连接B1Q，MD，
因为，B1M=12B1B=12DD1=QD，
所以四边形B1QDM为平行四边形，所以，
又B1Q?平面CB1PQ，且DM?平面CB1PQ，DM//平面CB1PQ，
同理由可得MN//平面PQCB1．
且DM∩MN=M，DM，MN?平面MNDA1，
所以平面MNDA1//平面CB1PQ．
（2）由（1）可知：，
所以?B1CQ为异面直线CQ与MN所成角或其补角，
连接B1Q，B1D1，因为正方体棱长为2且Q为DD1中点，
则B1C=22，CQ=CD2+DQ2=4+1=5，
又在正方体中，面A1B1C1D1，B1D1?面A1B1C1D1，则，
即B1Q2=B1D12+D1Q2=9，
所以，
异面直线CQ与MN所成角的余弦值为1010．
（3）由正方体特性可知：几何体MBN-A1AD与几何体PDQ1-B1C1C的体积相等，即V1=V2，
设几何体MNDA1-PQCB1的体积为V，正方体的体积为V3，
故V=V3-V1-V2，
又M为BB1中点，N为BC中点，将AB延长至O点，使BO=AB，
根据相似知识可知，，AB∩DN=O，
得到几何体MBN-A1AD体积为三棱锥O-A1DA体积减去三棱锥O-BMN体积，
则 ，
所以．
19，【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)x2+y2+6x-6y+8=0
(3)(x+2)2+(y-1)2=5
【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线y=-x上，求，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
（2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为x2+y2+6x-6y+8=0．
（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为(-2,1)，由弦长公式可知所求圆的半径为5．
故面积最小的圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
C
B
C
B
B
B
9
10
11
A、D
A、C、D
B、D