解析：山东省烟台市2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题（解析版）

这是一份解析：山东省烟台市2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了使用答题纸时，必须使用0， 已知，则， 已知，且，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】由可得，
所以，所以，
或，
所以.
故选：B.
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题.
【详解】当时，；
反之，当时，
.
则“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 已知，，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据已知条件求出的值，然后投影向量的计算公式为，再计算向量在上的投影向量.
【详解】，可得.展开得到.
，则；，则.
将和代入中，得到，
移项可得，解得.
根据投影向量公式，得到.
故选：B
4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用抽象函数求定义域的相关概念，即可求解.
【详解】由x<2，得，且，所以，因此，
故函数的定义域为.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角差的正切公式可求出，利用齐次式即可得到结果.
【详解】由得，，
∴.
故选：A.
6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，求导，得到函数单调性，结合函数为奇函数且，得到在区间上上单调递减，从而得到，求出答案.
【详解】时，，显然，
令得，当得，
故在上单调递减，在上单调递增，
又是定义在R上的奇函数，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，故在R上为连续函数，
故在区间上单调递减，
又在区间上单调递减，
所以，解得.
故选：C
7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知关于对称，且在上单调递减，在1,+∞上单调递增，根据的对称性和单调性解不等式即可得出答案.
【详解】因为定义在R上的函数满足，
所以关于对称，
当时，，所以f'x<0，
所以在上单调递减，因为关于对称，
所以在1,+∞上单调递增，
由，则，可得：，
即或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（ ）
A. 16B. 24C. 32D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】由平面相似可知，，
而 ，所以，
而 ，
即 ．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用作差法结合平方差公式判断A正确；利用不等式的性质可知选项B错误；通分之后判断分子和分母的符号可得选项C正确；举反例说明选项D错误.
【详解】A.，由，得，
因，所以，即，选项A正确.
B.由，，，即，选项B错误.
C. 由，得，
因为，所以，选项C正确.
D.令，则不成立，选项D错误.
故选：AC.
10. 已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 若，则
D. 将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得，利用代入法验证对称轴及对称中心可判断，利用和差公式及同角关系式计算判断；利用图象平移变换可判断.
【详解】，
又相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以，
所以，，
所以函数的图象关于点对称，故正确；
，
所以是函数图象的一条对称轴，故正确；
若，所以，
，
由，可得，所以，
所以或，故错误；
将图象上所有的点向右平移个单位长度，
得，故正确；
故选：.
11. 设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A. 任何一个三次函数均有“拐点”
B. 函数为区间上的“上凸函数”
C. 若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D. 若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A 选项：运用拐点概念计算即可；
对于B 选项：对求导，，借助导数研究函数在区间上单调性可判断；
对于C 选项，求导得到，再求导令，得拐点，因为“拐点”在轴右侧，得到.进而得到递减区间判断即可；
对于D 选项：根据拐点概念，结合“上凸函数”概念，求出,可判断.
【详解】对于A 选项：对于三次函数， ，
再求导得到.令，则，解得，
所以任何一个三次函数均有“拐点”，A 选项正确.
对于B 选项：，，
.
当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B 选项正确.
对于C 选项：，，.
令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即.
令可得，所以，
的递减区间是，C 选项错误.
对于D 选项：，
，.
令，即在有解.即则有正解.
则Δ=a2-8a≥0a2>0，解得.
并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.
恒成立.恒成立，,即，
即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出的值，再将这个值作为自变量代入函数求出的值.
【详解】对于，因为，所以，
根据对数运算法则.
因为，所以.
根据对数运算法则.
故答案为：.
13. 已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】以B为坐标原点，BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，利用向量数量积坐标运算转化为函数，再求函数的值域解即可.
【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，
则，，，，
因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为，
，
则当时，，即的取值范围为，
故答案为：
14. 函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________.
【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②.
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可写出的值，由题意得，，结合函数单调性求最值及绝对值不等式即可求解.
【详解】若时，为偶函数，则，
即，
所以或0，
对，，，
所以，
因为时，在上单调递增，所以，
所以，又，
当时，在上单调递增，
所以，即，解得，
当时，在上单调递减，
所以，所以，解得，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，无解，
所以a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，有成立，则；
（2）若，有成立，则；
（3）若，有成立，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，整体法求出函数单调递增区间；
（2）求出，数形结合得到，，故，得到答案
【小问1详解】
，
令，，解得，，
故的单调递增区间为，；
【小问2详解】
，故，
则，
因为当时，，
所以，
实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性.
【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设函数在点的切线过点，可得切线方程为，可得，求解可得切线方程；
（2）求导得，分，，三种情况讨论可得单调区间.
【小问1详解】
当时，，求导可得，
设函数在点的切线过点，所以，
又，
所以，
又因为切线过点，所以，
所以，解得，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
由，
可得，
当时，由，可得或，
所以函数在和上单调递增，
由，可得，所以函数在上单调递减，
当时，由，可得，所以函数在上单调递增，
当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，
由，可得，所以函数在上单调递减，
综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米）
（1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式；
（2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小.
【答案】（1）； （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）借助等腰梯形的性质和勾股定理，以及锐角三角函数求出关系式即可；
（2）运用三角关系式，借助导数研究单调性，进而来求最值即可.
【小问1详解】
如图，过A作于E, 过B作于F,延长交于G.
由于距离C，D两点相等的一点P，则.
根据题意，，，由等腰梯形性质，知道,,在中,求得,且，则.
在中,求得.
故y关于x的关系式为：，即.
在中，，且，则.
并且,则.
则y关于θ的关系式为：，即.
【小问2详解】
用,
求导得到.
令，则，，则.
当,,单调递减；
当,,单调递增；
故当，y取得最小值.且
综上所得，当时,三条道路的总长度最小.
18. 在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，进而可求；
（2）由已知可得，计算可得，利用基本不等式可求面积的最大值.
【小问1详解】
由，可得，
所以，
所以，
所以，又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
两边平方可得，又因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以
所以面积的最大值为.
19. 已知函数，，.
（1）证明：当时，曲线与有且只有两条公切线；
（2）若函数与的图象有两个交点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直线与相切于点，直线与相切于点，进而可得，利用换元法得，构建，利用导数证明在上有且只有两个零点即可.
（2）由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根，可得有两个大于2且不等的实根，变形为，利用函数的单调性可得有两个实根，再换元利用方程有解可求的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，求导得，，
设直线与相切于点，则切线斜率，
直线与相切于点，则切线斜率，
则，整理得，
由题意可得：，
消去可得：，
令，则，则，可得，
令，
要证曲线与有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点，
求导可得，可得在定义域内单调递增，
且，，故在上有唯一零点，且，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
可知的最小值为，又因为，
则，注意到趋近0时，趋近，趋近时，趋近，
所以在和上分别存在一个零点，
故在上有且只有两个零点，故原命题得证.
【小问2详解】
由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根，
因为，所以，所以，所以，
即有两个大于2且不等的实根，
由，可得，所以，
令，求导可得，
所以在上单调递增，所以有两个实根，
令，所以所两个大于1的实根，
两边取对数可得，令，求导可得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以时，，
又当时，，当时，，
所以与在上有两个交点，
则，解得，
所以函数与的图象有两个交点，的取值范围为.
【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.