江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级上学期期中数学培优精练（解析版）

这是一份江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级上学期期中数学培优精练（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列说法错误的是（）
A. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B. 轴对称图形至少有一条对称轴
C. 角是关于它的平分线所在直线对称的图形
D. 全等三角形一定能关于某条直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的定义和性质逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．
【详解】A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确，故本选项不符合题意；
B．轴对称图形至少有一条对称轴，正确，故本选项不符合题意；
C．角是关于它的平分线所在直线对称的图形，正确，故本选项不符合题意；
D．全等三角形不一定能关于某条直线对称，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列由三条线段构成的三角形：①如果；②；③如果；④（为大于1的整数），其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ①④B. ①②④C. ②③④D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】判断一组数能否成为直角三角形：①是否有一个角是直角；②是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方．将题目中的各题一一作出判断即可．
解题的关键是熟知直角三角形的判断方法.
【详解】①∵,,
∴,则,故能构成直角三角形，符合题意；
②∵,,
故能构成直角三角形，符合题意；
③∵,
∴最大角
故不能构成直角三角形，不符合题意；
④∵,且m为大于1的整数,
∴则
∴,则最长边为a
∴
故能构成直角三角形，符合题意；
综上所述,①②④正确.
故选：B
3. 如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【详解】解：（1）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（2）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（3）S1=，S2=，S3=，∵，∴，∴S1+S2=S3．
（4）S1=，S2=，S3=，∵，∴S1+S2=S3．
综上，可得：面积关系满足S1+S2=S3图形有4个．
故选D．
4. 如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据题意可得，得到，根据平角的性质可得，即，根据三角形的内角和，，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：A ．
5. 在中，，的周长为12，设的长为，下列说法不正确的是（ ）
A. 为等腰三角形时，B. 不可能是等边三角形
C. 为直角三角形时，D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边关系分析解答即可．
【详解】解：A、当，即时，是等腰三角形，说法正确，故选项不符合题意；
B、周长为12的等边三角形，边长为4，而，故不可能是等边三角形，说法正确，故选项不符合题意；
C、是直角三角形时，根据勾股定理的逆定理可知，时，或，，都可以，原说法错误，故选项符合题意；
D、根据三角形的三边关系可知，说法正确，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的定义以及三角形的三边，解题的关键是熟练掌握各种三角形的判定方法．
6. 如图，已知中，，，在直线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，画出图形，即可得到答案．
【详解】解：分三种情况①，②，③：
如图，①以点A为圆心，长为半径交直线于点和，
②以点B为圆心，长为半径交直线于点A和，
③线段垂直平分线与直线的交点记为点，
符合条件的点P共有4个，
故选：C．
7. 如图，将沿翻折得到，BD交于点E，F为CD中点，连接并延长交的延长线于点G，连接，若，，的面积为42，则的面积为（ ）
A. 26B. 24C. 21D. 15
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的折叠问题、勾股定理和三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，由勾股定理得到，由题意得，，进一步得到，求得，即可求得答案．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∵，，
∴，
∵的面积为42，F为CD中点，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
则，解得，
∴，
则，
，
故选：D．
8. 如图，长方形中，，点E是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是（ ）．
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题根据的面积始终等于长方形面积的四分之一，得到点在的垂直平分线上运动，连接，，，根据垂直平分线性质和两点之间，线段最短，得到，利用勾股定理算出，即可解题．
【详解】解：的面积始终等于长方形面积的四分之一，
记点到的高为，又，
，
有，整理得，即点在的垂直平分线上运动，
连接，，，
点在的垂直平分线上运动，
，，
要最小，即最小，
当、、三点共线时，取得最小值为的长，
的最小值为10，即，
，
的面积是．
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线性质、两点之间，线段最短、熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题．
二、填空题（共8题）
9. 如图，中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据角度的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故答案为：48．
10. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___．
【答案】135°
【解析】
【分析】直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠3，
则∠1+∠2=∠2+∠3=135°．
故答案为：135°．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键．
11. 如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推4m至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是________．

【答案】##米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．本题设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，
∴，
设的长为，则，
∴．
在中，
由勾股定理，得：，
即
解得：．
故答案为：．
12. 如图，四个全等的直角三角形与小正方形拼成的大正方形图案，如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么的值为______．
【答案】46
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，根据勾股定理得到，等积法求出，再利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：由题意和勾股定理，得：，
四个直角三角形的面积之和为：，即：，
∴；
故答案为：46．
13. 如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC的延长线于点E．若，，则EC的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵的垂直平分线交于点D，交的延长线于点E，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
14. 如图，O为内角平分线交点，过点O直线交、于M、N，已知，，则点O到的距离为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，根据三线合一得出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据结合角平分线到两边距离相等，即可求解．
【详解】解：过点N作于点D，过点O分别作三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，
∵，，
∴,
根据勾股定理可得：,
∴,
∵O为内角平分线交点，
∴,
设，
∵
∴，
即，
解得：，
∴,
故答案为：

15. 如图，在四边形中，对角线，垂足为O，且，，，则四边形的面积为_______．
【答案】42
【解析】
【分析】在上截取，连接，证出是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，证出，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，求出，得出四边形ABCD的面积，进行求解即可．
【详解】解：上截取，连接，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积；
故答案为：12．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，分割法求图形的面积，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形．
16. 如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为______，面积的最大值为______．
【答案】 ①. 18 ②.
【解析】
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为3，则的最小值为18；再证明，则，，所以，则，可知当时，面积的最大，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
，
的最小值为3，
当时，，
的最小值为18；
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴，
当时，，
故答案为：18，．
三、解答题（共7题）
17. 如图，中，是高，是中线，，且F是的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）44
【解析】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线．
（1）连接，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质得到，即可求证；
（2）利用勾股定理求出再利用三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵，且F是的中点，
∴，
∵中，是高，是中线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴中，，
∴的面积．
18. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1），理由见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意知，，则，由是的垂直平分线，可得，由，可得，则，然后作答即可；
（2）如图，连接，设，则，由，可得，，由勾股定理得，，，则，计算求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下；
由题意知，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
设，则，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键．
19. 如图，在中，，，，将沿过A点的直线折叠，使点C落在边上的点D处，折痕与交于点E．
（1）试用尺规作图作出折痕，并描出点D的位置；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接，求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作的角平分线与交于点E，过点E作的垂线交于点D即可；
（2）根据勾股定理先求出，再在中利用勾股定理列出方程求解即可．
【小问1详解】
如图，，点D即为所求；
【小问2详解】
如图，在中，，
根据勾股定理得：
沿折叠，点C落在点D处，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得，．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作图、角平分线的作图、翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理求解是解题的关键．
20. 在 中，，P为线段上一动点．
（1）如图1，点D、E分别在上（点D不与点A重合），若P运动到的中点，且．
①求证：；
②若，求的长；
（2）如图2，点F在上，且，过点F作，垂足为H，若，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②5
（2）PH的值不变，为 5
【解析】
【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质可得，，从而得到，可证得，即可求证；②连接，根据，可得，从而得到，，再由勾股定理，即可求解；
（2）作，垂足为Q，证明，可得，再由直角三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
①证明∶ 如图1中，连接，
∵，P为的中点，
∴，，
∴，
∵ ，
∴，
在△APD和△CPE中，，
∴，
∴；
②解∶ 如图1中，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：的值不变， 为5．
理由：如图2中，作，垂足为Q，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是定值．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
21. 【了解概念】如图1，在和中，，连接，连接并延长与交于点，那么将叫做和的底联角．

【探究归纳】
（1）两个等腰三角形的底联角与这两个等腰三角形的顶角有怎样的数量关系？请用文字语言写出结论．
【拓展提升】运用（1）中的结论解决问题：
（2）如图2，，求的度数；
（3）如图3，在四边形中，，点为四边形内一点，且，求的值．
【答案】（1）两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，理由见解析
（2）152度 （3）45
【解析】
【分析】（1）根据已知条件结合图1可知，两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角，说明理由的方法是先证明可得，再说明、即可解答；
（2）如图：当点D在的内部时，延长交于点F，由(1)中的结论直接推得
，再由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数即可；
（3）如图：连接交于点F，则由勾股定理可得，即，据此即可解答．
【小问1详解】
解：两个等腰三角形的底联角等于这两个等腰三角形的顶角．理由如下：
∵，
∴，即
∵,
∴
∴
∴
∴，
∵
∴．
【小问2详解】
解：如图2，延长交于点，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：如图3，连接交于点，

，
，
，
，
，
，
，
，解得：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及其推论、勾股定理、新定义问题的求解等知识点，正确作出辅助线创造条件是解答本题的关键．
22. 如图，已知中，，点P从A点出发，沿的方向以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，设P的运动时间为t秒．
（1）当点P运动7秒时，的面积为______；
（2）当为等腰三角形时，求t的值；
（3）若沿着过点P的直线，能将折叠到上，直接写出此时的长为___．
【答案】（1）3 （2）3或6或或
（3）
【解析】
【分析】（1）勾股定理求出的长，根据路程等于速度乘以时间，确定点位置，利用三角形的面积公式进行计算即可；
（2）分三种情况进行讨论求解即可；
（3）根据沿着过点P的直线，能将折叠到上，得到平分，过点作，根据角平分线的性质得到，等积法求出的长，易得为等腰直角三角形，进而得到的长，线段的和差求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴当点P运动7秒时，点移动的距离为，此时点在上，且，
∴，
∴的面积为：；
故答案为：3．
【小问2详解】
解：当为等腰三角形时，分中情况进行讨论：
①，此时点在上，，则；
②，当点在上时，过点作，
则：，，
∴，
∴，
∴，
当点在上时，如图：
∵，
∴，
∴；
③当时，过点作，由②知：，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
综上：t的值为：3或6或或；
【小问3详解】
∵沿着过点P的直线，能将折叠到上，
∴平分，
过点作，则：，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，平分，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的判断和性质，三线合一，角平分线的性质，等积法求线段的长，熟练掌握相关知识点和分类讨论的思想，是解题的关键．
【附加题】
23. 如图1，已知长方形，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．
（1）当点Q落在边上时， _____；
（2）当直线经过点D时，求的长；
（3）如图2，点M是的中点，连接．
①的最小值为_____；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）①；②或或．
【解析】
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可；
（2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解；
（3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可；
②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当点Q落在边上时，如图所示，
∵长方形，，，
∴，，
∵翻折，
∴，
∴，
在中，；
故答案为：；
【小问2详解】
当直线经过点D时，分两种情况：
当点在线段上时，如图：
∵翻折，
∴，，，
∴，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
②当在线段的延长线上时：
∵翻折，
∴，，
∴，
设，则：，，
在中，，即：，
∴；
∴；
综上：或；
【小问3详解】
①连接，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，
∵，
∴当三点共线时，的值最小，
即：；
故答案为：；
②当时，如图：
∵翻折，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
即：；
当，点在线段上时，如图：
∵，，
∴，
∴，点在上，
由（1）知：，
∴，
∴；
当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接，
∵翻折，
∴，
∵，
∴；
综上：或或．