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2020-2021学年江苏省苏州市八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2020-2021学年江苏省苏州市八年级（上）期中数学试卷 解析版，共19页。试卷主要包含了式子有意义的x的取值范围是，下列说法等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
3．在下列实数，3.14159，，0，，，0.131131113…，中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第4题图 第6题图
5．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
6．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
7．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A．B． C．D．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
第10题图 第13题图 第16题图 第17题图
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知a＜0，b＞0，化简＝ ．
12．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为 cm．
13．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为 ．
14．﹣2，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是 ．
15．若（a﹣1）2与互为相反数，则a2019+b2020＝ ．
16．如图，∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CE∥OA，若CD＝6，则CE＝ ．
17．已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AB上，点F在CA的延长线上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，则AG的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ °．
三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（6分）计算题
（1）； （2）．
20．（6分）求下列各式中的x：
（1）（x﹣1）2＝16 （2）（x﹣1）3﹣3＝
21．（6分）如图，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接BD，若AD＝8cm，则CD＝ cm，S△BCD＝ cm2．
22．（6分）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图1），在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域做为休息区．现计划在休息区摆放占地面积为3×1.5平方米“背靠背”休闲椅（如图2），并要求休闲椅摆放在东西方向或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
24．（6分）已知，，求代数式的值．
25．（8分）利用网格作图，
（1）请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；
（2）请你在图②中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情形；
（3）请你先在图③的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
26．（8分）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
27．（10分）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线．
例如：图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线．
（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝50°，∠C＝20°．请过顶点B在图2中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D，此时∠ADB＝ 度；
（2）在△ABC中，∠C＝30°，若△ABC存在关于点B的奇异分割线，画出相应的△ABC及分割线BD，并直接写出此时∠ABC的度数（要求在图中标注∠A、∠ABD及∠DBC的度数）．
28．（10分）综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，
∴a＝±2，b＝±3，
∵ab＜0，
∴a＝2，则b＝﹣3，
a＝﹣2，b＝3，
则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．
故选：B．
3．在下列实数，3.14159，，0，，，0.131131113…，中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：＝2，＝8，
无理数有：，，0.131131113…，，共4个．
故选：B．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
5．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
【解答】解：由题意，得
2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1，
故选：A．
6．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
7．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①＝10，故说法错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③﹣2是的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如与﹣的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②③④⑥共4个．
故选：C．
8．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵OC＝CD，
∴∠CDO＝∠O＝10°
∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠CED＝20°，
∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，
故选：B．
9．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点C，连接QC交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短．
故选：C．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，
∴AD平分∠EDF；③正确；
∵AD平分∠BAC，
∵AE＝AF，DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，
∵∠BAC＝60°，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，④正确．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知a＜0，b＞0，化简＝ b﹣a ．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＝|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
12．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为 17 cm．
【解答】解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；
当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
13．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为 4 ．
【解答】解：连接EG、FG，
∵CE，BF分别是△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，
∵G是BC的中点，
∴EG＝FG＝BC＝5，
∵D是EF的中点，
∴ED＝EF＝3，GD⊥EF，
由勾股定理得，DG＝＝4，
故答案为：4．
14．﹣2，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是 ﹣π ．
【解答】解：∵﹣π＜﹣＜﹣2＜﹣1，
∴最小的数是﹣π，
故答案为：﹣π．
15．若（a﹣1）2与互为相反数，则a2019+b2020＝ 2 ．
【解答】解：由题意得，（a﹣1）2+＝0，
则a﹣1＝0，b+1＝0，
解得，a＝1，b＝﹣1，
则a2019+b2020＝1+1＝2，
故答案为：2．
16．如图，∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CE∥OA，若CD＝6，则CE＝ 12 ．
【解答】解：
过C作CF⊥OB于F，
∵∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CD＝6，
∴CF＝CD＝6，
∵CE∥OA，
∴∠CEF＝∠AOB＝15°+15°＝30°，
∵∠CFE＝90°
∴CE＝2CF＝2×6＝12，
故答案为：12．
17．已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AB上，点F在CA的延长线上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，则AG的长为 2 ．
【解答】解：过E作EH⊥BC，垂足为H，则∠DHE＝90°，
∵在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∴∠FAG＝∠DHE，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，∠CAD＝45°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDH+∠ADF＝45°，
∵∠F+∠ADF＝∠CAD＝45°，
∴∠F＝∠EDH，
∵FG＝ED，
∴△FAG≌△DHE（AAS），
∴AG＝EH，
∵S△DBE＝BD•EH＝3，
∴×3•EH＝3，
解得EH＝2，
∴AG＝2．
故答案为2．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ 22 °．
【解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，
∴D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，
∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，
∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，
故答案为：22．
三．解答题（共10小题，满分68分）
19．（12分）计算题
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2+1+2﹣2+4
＝7；
（2）原式＝4÷（8﹣﹣3）
＝1．
20．（8分）求下列各式中的x：
（1）（x﹣1）2＝16
（2）（x﹣1）3﹣3＝
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝16，
则x﹣1＝±4，
解得：x＝5或﹣3；
（2）∵（x﹣1）3﹣3＝，
∴（x﹣1）3＝，
∴x﹣1＝，
解得：x＝．
21．（4分）如图，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接BD，若AD＝8cm，则CD＝ 4 cm，S△BCD＝ 8 cm2．
【解答】解：（1）直线DE即为所求．
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB＝8cm，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°，
∴CD＝BD•cos60°＝×8＝4（cm），BC＝BD•sin60°＝4（cm），
∴S△DCB＝•CD•BC＝×4×4＝8（cm2）．
22．（5分）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图1），在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域做为休息区．现计划在休息区摆放占地面积为3×1.5平方米“背靠背”休闲椅（如图2），并要求休闲椅摆放在东西方向或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅．
【解答】解：如图1，由题意得：
正方形空地的边长为＝（米），儿童游乐场的边长为＝（米）
∵﹣＝
∴休息区东西向和南北向的边长分别为米，米
∵2.25＜8＜9
∴1.5＜＜3
∴休闲椅只能东西方向摆放，且只能摆放一排．
∵36＜72＜81
∴2×3＜＜3×3
∴休闲椅在东西方向上可并列摆放2张．
答：休息区只能摆放2张这样的休闲椅．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝60°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°
∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°
（2）过点D作DF⊥AC于点F．
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3
又AB＝10，AC＝8，
∴．
24．（6分）已知，，求代数式的值．
【解答】解：∵，，
∴xy＝2，x+y＝2，
∴
＝
＝
＝
＝．
25．利用网格作图，
（1）请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；
（2）请你在图②中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情形；
（3）请你先在图③的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
【解答】解：（1）、（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
26．（8分）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵AF＝BE，
∴AF+EF＝BE+EF，
即AE＝BF．
∵AC＝BD，∠A＝∠B，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠CEA＝∠DFB，
∴ME＝MF，
∵∠FME＝60°，
∴△MFE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
27．（10分）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线．
例如：图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线．
（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝50°，∠C＝20°．请过顶点B在图2中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D，此时∠ADB＝ 40 度；
（2）在△ABC中，∠C＝30°，若△ABC存在关于点B的奇异分割线，画出相应的△ABC及分割线BD，并直接写出此时∠ABC的度数（要求在图中标注∠A、∠ABD及∠DBC的度数）．
【解答】解：（1）如图所示：直线BD即为所求，此时∠ADB＝90°﹣∠A＝40°．
故答案为40．
（2）设BD为△ABC的奇异分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC＝∠C＝30°．
当∠A＝90°时，△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝60°．
当∠ABD＝90°时，△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝120°
当∠ADB＝90°时，不符合题意．
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC＝90°时，此时BD＝AD，则△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝120°．
当∠BDC＝90°时，此时BD＝AD，则△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝105°
综上所述，满足条件的∠ABC的值为60°或120°或105°
28．（10分）综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝EC＝2．
2020-2021学年江苏省苏州市八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
3．在下列实数，3.14159，，0，，，0.131131113…，中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4． 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第4题图 第6题图
5．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
6．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
7．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A．B． C．D．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
第10题图 第13题图 第16题图 第17题图
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知a＜0，b＞0，化简＝ ．
12．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为 cm．
13．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为 ．
14．﹣2，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是 ．
15．若（a﹣1）2与互为相反数，则a2019+b2020＝ ．
16．如图，∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CE∥OA，若CD＝6，则CE＝ ．
17．已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AB上，点F在CA的延长线上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，则AG的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ °．
三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（6分）计算题
（1）； （2）．
20．（6分）求下列各式中的x：
（1）（x﹣1）2＝16 （2）（x﹣1）3﹣3＝
21．（6分）如图，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接BD，若AD＝8cm，则CD＝ cm，S△BCD＝ cm2．
22．（6分）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图1），在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域做为休息区．现计划在休息区摆放占地面积为3×1.5平方米“背靠背”休闲椅（如图2），并要求休闲椅摆放在东西方向或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
24．（6分）已知，，求代数式的值．
25．（8分）利用网格作图，
（1）请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；
（2）请你在图②中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情形；
（3）请你先在图③的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
26．（8分）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
27．（10分）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线．
例如：图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线．
（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝50°，∠C＝20°．请过顶点B在图2中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D，此时∠ADB＝ 度；
（2）在△ABC中，∠C＝30°，若△ABC存在关于点B的奇异分割线，画出相应的△ABC及分割线BD，并直接写出此时∠ABC的度数（要求在图中标注∠A、∠ABD及∠DBC的度数）．
28．（10分）综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（ ）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，
∴a＝±2，b＝±3，
∵ab＜0，
∴a＝2，则b＝﹣3，
a＝﹣2，b＝3，
则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．
故选：B．
3．在下列实数，3.14159，，0，，，0.131131113…，中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：＝2，＝8，
无理数有：，，0.131131113…，，共4个．
故选：B．
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
5．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣且x≠1
【解答】解：由题意，得
2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1，
故选：A．
6．如图，已知AE＝AC，∠C＝∠E，下列条件中，无法判定△ABC≌△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．AB＝AD
【解答】解：A、添加∠B＝∠D，由“AAS”可证△ABC≌△ADE，故选项A不合题意；
B、添加BC＝DE，由“SAS”可证△ABC≌△ADE，故选项B不合题意；
C、添加∠1＝∠2，由“ASA”可证△ABC≌△ADE，故选项C不合题意；
D、添加AB＝AD，不能证明△ABC≌△ADE，故选项D符合题意；
故选：D．
7．下列说法：①；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③﹣2是的平方根；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①＝10，故说法错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③﹣2是的平方根，故说法正确；
④任何实数不是有理数就是无理数，故说法正确；
⑤两个无理数的和还是无理数，如与﹣的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②③④⑥共4个．
故选：C．
8．如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵OC＝CD，
∴∠CDO＝∠O＝10°
∴∠DCE＝∠O+∠CDO＝20°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠CED＝20°，
∴∠EDF＝∠O+∠CED＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
同理∠GEF＝∠EGF＝40°，∠GFH＝∠GHF＝50°，∠BGH＝60°，
故选：B．
9．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：作点P关于直线l的对称点C，连接QC交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短．
故选：C．
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，△AEF是等边三角形，其中正确的结论的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，
∴AD平分∠EDF；③正确；
∵AD平分∠BAC，
∵AE＝AF，DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，
∵∠BAC＝60°，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，④正确．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知a＜0，b＞0，化简＝ b﹣a ．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＝|a﹣b|＝b﹣a，
故答案为：b﹣a．
12．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为7cm和3cm，则它的周长为 17 cm．
【解答】解：当7cm为腰，3cm为底，此时周长＝7+7+3＝17（cm）；
当7cm为底，3cm为腰，则3+3＜7无法构成三角形，故舍去．
故其周长是17cm．
故答案为：17．
13．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为 4 ．
【解答】解：连接EG、FG，
∵CE，BF分别是△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，
∵G是BC的中点，
∴EG＝FG＝BC＝5，
∵D是EF的中点，
∴ED＝EF＝3，GD⊥EF，
由勾股定理得，DG＝＝4，
故答案为：4．
14．﹣2，﹣，﹣π，﹣1，其中最小的数是 ﹣π ．
【解答】解：∵﹣π＜﹣＜﹣2＜﹣1，
∴最小的数是﹣π，
故答案为：﹣π．
15．若（a﹣1）2与互为相反数，则a2019+b2020＝ 2 ．
【解答】解：由题意得，（a﹣1）2+＝0，
则a﹣1＝0，b+1＝0，
解得，a＝1，b＝﹣1，
则a2019+b2020＝1+1＝2，
故答案为：2．
16．如图，∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CE∥OA，若CD＝6，则CE＝ 12 ．
【解答】解：
过C作CF⊥OB于F，
∵∠AOC＝∠BOC＝15°，CD⊥OA，CD＝6，
∴CF＝CD＝6，
∵CE∥OA，
∴∠CEF＝∠AOB＝15°+15°＝30°，
∵∠CFE＝90°
∴CE＝2CF＝2×6＝12，
故答案为：12．
17．已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AB上，点F在CA的延长线上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，则AG的长为 2 ．
【解答】解：过E作EH⊥BC，垂足为H，则∠DHE＝90°，
∵在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∴∠FAG＝∠DHE，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，∠CAD＝45°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDH+∠ADF＝45°，
∵∠F+∠ADF＝∠CAD＝45°，
∴∠F＝∠EDH，
∵FG＝ED，
∴△FAG≌△DHE（AAS），
∴AG＝EH，
∵S△DBE＝BD•EH＝3，
∴×3•EH＝3，
解得EH＝2，
∴AG＝2．
故答案为2．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ 22 °．
【解答】解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，
∴D是AB的中点，
∴CD＝AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A＝34°，∠BCD＝∠B＝56°，
∴∠BCP＝2∠BCD＝112°，
∴∠ACP＝112°﹣90°＝22°，
故答案为：22．
三．解答题（共10小题，满分68分）
19．（12分）计算题
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2+1+2﹣2+4
＝7；
（2）原式＝4÷（8﹣﹣3）
＝1．
20．（8分）求下列各式中的x：
（1）（x﹣1）2＝16
（2）（x﹣1）3﹣3＝
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝16，
则x﹣1＝±4，
解得：x＝5或﹣3；
（2）∵（x﹣1）3﹣3＝，
∴（x﹣1）3＝，
∴x﹣1＝，
解得：x＝．
21．（4分）如图，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接BD，若AD＝8cm，则CD＝ 4 cm，S△BCD＝ 8 cm2．
【解答】解：（1）直线DE即为所求．
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB＝8cm，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝60°，
∴CD＝BD•cos60°＝×8＝4（cm），BC＝BD•sin60°＝4（cm），
∴S△DCB＝•CD•BC＝×4×4＝8（cm2）．
22．（5分）某小区要在面积为128平方米的正方形空地上建造一个休闲园地，并进行规划（如图1），在休闲园地内建一个面积为72平方米的正方形儿童游乐场，游乐场两边铺设健身道，剩下的区域做为休息区．现计划在休息区摆放占地面积为3×1.5平方米“背靠背”休闲椅（如图2），并要求休闲椅摆放在东西方向或南北方向上，请通过计算说明休息区内最多能摆放几张这样的休闲椅．
【解答】解：如图1，由题意得：
正方形空地的边长为＝（米），儿童游乐场的边长为＝（米）
∵﹣＝
∴休息区东西向和南北向的边长分别为米，米
∵2.25＜8＜9
∴1.5＜＜3
∴休闲椅只能东西方向摆放，且只能摆放一排．
∵36＜72＜81
∴2×3＜＜3×3
∴休闲椅在东西方向上可并列摆放2张．
答：休息区只能摆放2张这样的休闲椅．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝60°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°
∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°
（2）过点D作DF⊥AC于点F．
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3
又AB＝10，AC＝8，
∴．
24．（6分）已知，，求代数式的值．
【解答】解：∵，，
∴xy＝2，x+y＝2，
∴
＝
＝
＝
＝．
25．利用网格作图，
（1）请你在图①中画出线段AB关于线段CD所在直线成轴对称的图形；
（2）请你在图②中添加一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形．请画出所有情形；
（3）请你先在图③的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
【解答】解：（1）、（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
26．（8分）如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点M．已知AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若∠FME＝60°，求证：△MFE是等边三角形．
【解答】证明：（1）∵AF＝BE，
∴AF+EF＝BE+EF，
即AE＝BF．
∵AC＝BD，∠A＝∠B，
∴△ACE≌△BDF（SAS）．
（2）∵△ACE≌△BDF，
∴∠CEA＝∠DFB，
∴ME＝MF，
∵∠FME＝60°，
∴△MFE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
27．（10分）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC关于点B的奇异分割线．
例如：图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的奇异分割线．
（1）如图2，在△ABC中，若∠A＝50°，∠C＝20°．请过顶点B在图2中画出△ABC关于点B的奇异分割线BD交AC于点D，此时∠ADB＝ 40 度；
（2）在△ABC中，∠C＝30°，若△ABC存在关于点B的奇异分割线，画出相应的△ABC及分割线BD，并直接写出此时∠ABC的度数（要求在图中标注∠A、∠ABD及∠DBC的度数）．
【解答】解：（1）如图所示：直线BD即为所求，此时∠ADB＝90°﹣∠A＝40°．
故答案为40．
（2）设BD为△ABC的奇异分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC＝∠C＝30°．
当∠A＝90°时，△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝60°．
当∠ABD＝90°时，△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝120°
当∠ADB＝90°时，不符合题意．
第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，
当∠DBC＝90°时，此时BD＝AD，则△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝120°．
当∠BDC＝90°时，此时BD＝AD，则△ABC存在奇异分割线，此时∠ABC＝105°
综上所述，满足条件的∠ABC的值为60°或120°或105°
28．（10分）综合与实践：
操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．
（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；
（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；
拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）解：如图1中，设AC交BE于O．
∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABO＝∠ECO，
∵∠EOC＝∠AOB，
∴∠CEO＝∠BAO＝70°，
即∠BEC＝70°．
（3）解：如图2中，
∵∠CAB＝∠EAD＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，
同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF⊥EF，
∴∠F＝90°，
∴∠FCE＝30°，
∴EF＝EC＝2．
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