九年级上学期第一次月考数学试题 (3)

这是一份九年级上学期第一次月考数学试题 (3)，共22页。试卷主要包含了 由二次函数，可知， 抛物线y=2等内容，欢迎下载使用。
1. 青铜器是一种世界性文明的象征，我国青铜器制作精美，它的纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合来解题即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】掌握中心对称的定义是解题的关键．
2. 由二次函数，可知（ ）
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线x＝﹣3
C. 其最小值为1D. 当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由解析式可知a＞0，对称轴为x=3，最小值为0，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，可得出答案．
【详解】由二次函数，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x＝3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值及对称轴两侧的增减性是解题的关键．属于基础题目．
3. 如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（ ）
A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理可得∠ADB，然后再根据同圆同弧或等弧所对的圆周角相等解答即可．
【详解】解：如图：连接OC、BD
∵在⊙O中，∠AOB=40°
∴∠ADB=∠AOB=20°，
∵=，
∴∠AOC=∠ADB= 20°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于所对圆周角的一半可．
4. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BCD＝120°，则∠BOD的度数为（ ）
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的内接四边形的性质求出,根据圆周角定理即可计算出答案.
【详解】四边形ABCD内接于⊙O

由圆周角定理可得：
故选
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质与圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题关键.
5. 抛物线y=2（x﹣2）2+5向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，此时抛物线的对称轴是（ ）
A. x=2B. x=﹣1C. x=5D. x=0
【答案】B
【解析】
【详解】∵将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得新抛物线的解析式为：y=2（x+1）2+3，
∴新抛物线的对称轴为直线：，
故选B．
【点睛】（1）抛物线的对称轴是直线：；（2）将抛物线向左（或右）平移m个单位长度，再向上（或向下）平移n个单位长度所得新抛物线的解析式为：，(即左右平移时：左加、右减；上下平移时：上加、下减)．
6. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，再求出，即可得到的度数．
【详解】∵将绕点逆时针旋转，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A. 2cmB. cmC. cmD. cm
【答案】C
【解析】
【分析】先过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，由题意求得OD=OB=1cm，由勾股定理求得AD=cm，再由垂径定理即可求解．
【详解】过点O作OD⊥AB，垂足为D，连接OA，

将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，
OD=OB=1cm
在 中，由勾股定理得

故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
8. 将一副三角板顶点重合，三角板ABC绕点A顺时针转动的过程中，∠EAB度数符合下列条件时，三角尺不存在一组边平行的是（三角板边AB＝AE）（ ）
A. ∠EAB＝30°B. ∠EAB＝45°C. ∠EAB＝60°D. ∠EAB＝75°
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质和平行线的判定依次判断，可求解．
【详解】当∠EAB=30°时．
∵∠CAB=90°，∴∠CAE=60°=∠E，∴AC∥DE，故A不合题意；
当∠EAB=45°，∴∠BAD=45°=∠B，∴BC∥AD，故B不合题意；
当∠EAB=60°时，三角尺不存在一组边平行．
当∠EAB=75°时，如图，延长AB交DE于点M，
∴∠BAD=15°，
∴∠EMA=∠D+∠MAB=45°=∠ABC，∴BC∥DE．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
9. 在二次函数yx22x3中，当时，y的最大值和最小值分别是（ ）
A. 0，4B. 0，3C. 3，4D. 0，0
【答案】A
【解析】
【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴是，
则当时，，是最小值；
当时，是最大值．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．
10. 已知是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）可以求得它们的交点坐标为（﹣，0）或点（1，a+b），然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，进一步即可判断﹣与a+b的正负情况，进而可得答案．
【详解】解：解方程组：，得：或，
故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上为（﹣，0）或点（1，a+b）．
在A选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＞0，∴﹣＜0，a+b＞0，故选项A有可能；
在B选项中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＞0，故选项B有可能；
在C选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，∴﹣＜0，a+b＜0，故选项C有可能；
在D选项中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＞0，∴﹣＞0，由|a|＞|b|，则a+b＜0，故选项D不可能．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数图象的性质．
二．填空题（共5小题）
11. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】（3，-4）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
【详解】解：点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标为：（3，-4）．
故答案为：（3，-4）．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
12. 方程（x﹣1）（x+2）＝0的解是__．
【答案】x1＝1，x2＝﹣2
【解析】
【分析】根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，降次为两个一元一次方程，即可求出方程的解．
详解】解：∵（x﹣1）（x+2）＝0
∴x﹣1＝0或x+2＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝1，x2＝﹣2．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
13. 抛物线的顶点坐标为______________________________．
【答案】(1，8)
【解析】
【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解．
【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，)
∴的顶点坐标为(1，8)
故答案为：(1，8)
【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标．
14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
【答案】4-
【解析】
详解】解：如图，连接OC，
∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，
∵在中，

故答案为：
15. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________．
【答案】（，4）
【解析】
【分析】首先根据点A在抛物线上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D的坐标，根据点P的纵坐标和点D的纵坐标相等得到点P的坐标即可．
【详解】解：∵的顶点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴解析式为，
∵的顶点为，
∴，
∵绕点O顺时针旋转，得到，
∴轴，
∴点D和点P的纵坐标均为4，
∴令，得，
解得：，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，4）
故答案为（，4）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，解题过程中首先求得抛物线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
16. 二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为_____．
【答案】﹣16．
【解析】
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x=3，则根据抛物线的对称性得到x=-2和x=8时，函数值相等，然后根据题意判断抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（8，0），最后把（-2，0）代入y=x2-6x+m可求得m的值．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8对应的函数值相等，
而当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴x＝﹣2和x＝8时，y＝0，
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m得4+12+m＝0，解得m＝﹣16．
故答案为﹣16．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三．解答题（共9小题）
17. 用适当的方法解一元二次方程：
（1）（2x﹣1）2﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝1．
【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）x1＝2+，x2＝2﹣．
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法计算即可；
（2）根据配方法解方程即可；
【详解】解：（1）∵（2x﹣1）2﹣3＝0，
∴（2x﹣1）2＝3，
则2x﹣1＝±，
∴x1＝，x2＝；
（2）整理，得：x2﹣4x＝1，
则x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．
18. 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【答案】（1）m＞；（2）x1=0，x2=1．
【解析】
【分析】解答本题的关键是掌握好一元二次方程的根的判别式．
（1）求出△＝5+4m＞0即可求出m的取值范围；
（2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可．
【详解】解：（1）∵一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝1+4（m＋2）
＝9+4m＞0
∴．
（2）∵为符合条件的最小整数，
∴m=﹣2．
∴原方程变为
∴x1＝0，x2＝1．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式.熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，是解题的关键.
19. 如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE；再根据线段的和差关系可得：CE=DE，即OE是CD的中垂线，所以OC=OD．
【详解】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE．
∵AC=BD，∴CE=DE．
∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．
【点睛】本题考查了垂径定理．解答本题的关键是作辅助线，利用垂径定理和中垂线的性质证明OC=OD．
20. 按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，在10×10的网格中，有一格点三角形ABC．（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形）将△ABC绕点C旋转180°，得到△A'B'C，请直接画出旋转后的△A'B'C．（友情提醒：别忘了标上相应的字母!）
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF＝BE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质直接作图即可；
（2）根据四边形ABCD平行四边形，得到BO=DO，∠FDO=∠EBO，进而通过△BOE≌△DOF得解．
【详解】解：（1）如图1，△A′B′C即为所求；
（2）如图2：
连接AC、BD交于点O，作直线EO交AD于F，点F即为所求．
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠FDO=∠EBO，
又∵∠FOD=∠EOB，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查作旋转对称图形，平行四边形的性质应用．熟练掌握旋转的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
【答案】（1）∠CBE=86°；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可；
（2）证明△ADC≌△EBC即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠ADC= 86°，
∴∠ABC= 94°，
∴∠CBE=180°-94°=86°．
（2）∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠CBE+∠ABC =180°，
∴∠ADC=∠CBE，
∴△ADC ≌△EBC，
∴AD=BE．
22. 如图，点M，N分别在正方形的边上，且．把绕点A顺时针旋转得到．
（1）求证：．
（2）若，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查旋转性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，等腰三角形判定．
（1）根据题意可知，再证明即可；
（2）设，则，，由（1）中全等可得，再利用勾股定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍弃），
∴正方形的边长为6．
23. “五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
【解析】
【分析】（1）根据“利润=票房收入﹣运营成本”可得函数解析式；
（2）将函数解析式配方成顶点式，由10≤x≤50，且x是整数结合二次函数的性质求解可得．
【详解】（1）根据题意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000；
（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，
∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，
答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润2024元．
【点睛】本题是二次函数的应用，解题的关键是得出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质．
24. 如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG＝2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．
【答案】（1）MD＝MF，MD⊥MF，证明见解析；
（2）结论不变，证明见解析；
（3）FM⊥MD，MF＝MD．证明见解析．
【解析】
【分析】（1）延长DM交CE于点N，连接FD、FN，易证△ADM≌△ENM，证得DC＝NE，再证明△FDC≌△FNE，得到：FD＝FN．从而证得FM⊥MD，MF＝MD；
（2）易证明△AMD≌△EMN，得到AD＝EN，MD＝MN，再根据CF＝2AD，EF＝2EN，得到：FD＝FN．从而证得FM⊥MD，MF＝MD；
（3）延长DM到N，使MN＝MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．证明△DCF≌△NEF，即可得到线段MD，MF的位置及数量关系．
【小问1详解】
关系：MD＝MF，MD⊥MF
证明：如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN
∵正方形ABCD，
∴ADBE，AD＝DC，
∴∠1＝∠2
又∵AM＝EM，∠3＝∠4
∴△ADM≌△ENM
∴AD＝EN，MD＝MN
∵AD＝DC，
∴DC＝NE，
又∵正方形CGEF，
∴∠FCE＝∠NEF＝45°，FC＝FE，∠CFE＝90°
又∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCF＝∠NEF＝45°
∴△FDC≌△FNE
∴FD＝FN，∠5＝∠6
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFN＝90°
又∵DM＝MN＝DN，
∴M为DN的中点，
∴FM＝DN，
∴MD＝MF，DM⊥MF．
【小问2详解】
结论不变MD＝MF，MD⊥MF，
证明：如图，延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF＝EF，AD＝DC，∠CFE＝90°，ADFE，
∴∠1＝∠2．
在△AMD与△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴AD＝EN，MD＝MN，
∵CG＝2BC
∴CF＝2CD=2AD，EF＝CF=2AD=2EN，
∴FD＝FN．
又∵∠DFN＝90°，
∴FM⊥MD，MF＝MD；
【小问3详解】
MD＝MF，MD⊥MF，
证明：如图，延长DM到N，使MN＝MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．
在△AMD与△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠3＝∠4，AD＝NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF＝EF，AD＝DC，∠ADC＝90°，∠CFE＝∠ADC＝∠FEG＝∠FCG＝90°．
∴DC＝NE．
∵∠3＝∠4，
∴ADEH．
∴∠H＝∠ADC＝90°．
∵∠G＝90°，∠5＝∠6，
∴∠7＝∠8．
∵∠7＋∠DCF＝∠8＋∠FEN＝90°，
∴∠DCF＝∠FEN．
在△DCF与△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD＝FN，∠DFC＝∠NFE．
∵∠CFE＝90°，
∴∠DFN＝90°，
∴FM⊥MD，MF＝MD．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形综合问题和旋转的性质，旋转的性质−−旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
25. 如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标；
（3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）M(，)；（3）k的取值范围是﹣5＜k＜0．
【解析】
【分析】（1）由直线y=-x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y=ax2-3ax+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）求出A的坐标，过点N作NG⊥AB于G，则根据直线y＝kx+k平分△ABC的面积有 ，即可求出N的坐标,从而求出直线AM的解析式,再与抛物线解析式联立方程即可求M的坐标；
（3）根据翻折的现在知翻折部分的函数表达式是 ，根据翻折的部分图象只有一个交点，则联立方程后判别式为零即可.
【详解】（1）由直线y＝﹣x+4知，点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
把点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
代入y＝ax2﹣3ax+c，得解得
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4
（2）由y＝﹣x2+3x+4，求得A（﹣1，0）
过点N作NG⊥AB于G，
∵直线y＝kx+k平分△ABC的面积，
∴，
∴当y＝2时，2＝﹣x+4，∴x＝2
∴N（2，2）
把N（2，2）代入y＝kx+k，得，
∴直线AM的解析式为，
由解得
∴
（3）翻折部分的函数表达式是
当直线y＝kx+k与翻折后的图象只有一个交点时，
由，得x2﹣3x﹣4＝kx+k，
整理，得x2﹣（k+3）x﹣（k+4）＝0
△＝[﹣（k+3）]2﹣4×[﹣（k+4）]＝k2+10k+25＝0
解得k1＝k2＝﹣5
∴当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，k的取值范围是﹣5＜k＜0．