四川省绵阳市江油市江油外国语学校2023-2024学年七年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份四川省绵阳市江油市江油外国语学校2023-2024学年七年级上学期12月月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了下列方程，是一元一次方程的是，下列变形正确的是，下列各式中，属于方程的是，方程的解是，则a的值是等内容，欢迎下载使用。
（数学）
一．选择题（每小题3分，满分36分）
1．有理数中，平方等于它本身的数一定是（ ）
A．1B．0C．0或1D．
2．下列方程，是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图是一个正方体的展开图，其中每个面上都标注了字母，则展开前与面C相对的是（ ）
A．D面B．E面C．F面D．A面
4．下列变形正确的是( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．∠α的余角与∠α的补角之和为120°，∠α的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
6．下列各式中，属于方程的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点P，Q在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，点P从点A出发，以1.5个单位长度每秒的速度绕正方形作顺时针运动，点Q从点A出发，以0.5个单位长度每秒的速度绕正方形做逆时针运动，则它们第2021次相遇在（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．在某年全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共平了（ ）场比赛．
A．7B．6C．5D．4
9．方程的解是，则a的值是（ ）
A．B．2C．0D．
10．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．工厂用某种铝片张做一批听装饮料瓶，每张铝片可制作瓶身个或制作瓶底个，已知一个瓶身和两个瓶底配成一套．请问用其中多少张铝片制作瓶身，可以使制作的瓶身和瓶底刚好配套？设用张铝片制作瓶身，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为（ ）

A．B．
C．D．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
13．已知，则的余角等于 ．
14．已知：＝，那么＝ ．
15．（﹣a＋2b＋3c）（a＋2b﹣3c）＝[2b﹣( )][2b＋（a﹣3c）]．
16．已知点都在直线上，，分别为中点，直线上所有线段的长度之和为19，则 ．
17．请列举一个方程，使它满足未知数系数为，未知数的解为3，这个方程可以为 ．
18．数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是﹣3，原点为O，若点A和点B分别以每秒2个单位长度的速度和每秒5个单位长度的速度同时向右运动，要使OB＝2OA，要经过 秒．
三．解答题（共7小题，满分46分）
19．计算或解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
20．已知平面上有四个村庄，用四个点A、B、C、D表示．
(1)连接AB；
(2)作射线AD；
(3)作直线BC与射线AD交于点E；
(4)若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．
21．化简：
(1)－5m2n+4m2n－2mn+m2n+3mn；
(2)（5a2+2a－1）－4（3－8a+2a2）．
22．如图，已知，平分，且与互余．求的度数．
23．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成的过程，称为“欢乐分解”．例如：∵，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．又如：∵，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
(1)判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
(2)把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值记为Q（M），令，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
24．已知线段AB上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段AB），并记所有这些线段的长度总和为，例如：图1中，AB＝12，C为AB的中点，则＝AB+AC+CB＝12+6+6＝24．
（1）如图2，线段AB上有C、D两点，其中AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，求；
（2）如图3，线段AB上有C、D、E三点，其中C为AB的中点，E为DB的中点，且CE＝4，αAB＝64，求AB的长度；
（3）线段AB上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若＝38，且CD的长度为奇数，直接写出AB的长度．
25．如图，数轴上的点A，B，C所表示的数分别为a，b，c，且．
(1)求a，b，c的值及线段长；
(2)在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由（点P与已知点不重合）；
(3)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
答案与解析
1．C
【分析】根据有理数乘方的意义即可得出答案．
【详解】解：平方等于它本身的数一定是0或1，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数乘方，掌握有理数乘方的计算法则是得出正确答案的前提．
2．D
【分析】本题考查一元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键， 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此定义解题．
【详解】A．是二元一次方程，不是一元一次方程，故A不符合题意；
B．是一元二次方程，不是一元一次方程，故B不符合题意；
C．是代数式，不是一元一次方程，故C不符合题意；
D．是一元一次方程，故D符合题意，
故选：D．
3．C
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴A与E相对，D与B相对，F与C相对，
∴与面C相对的是面F，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．D
【分析】根据等式的基本性质、解一元一次方程、去分母逐项判断即可得．
【详解】解：A、若，则，则此项错误，不符合题意；
B、若且，则，则此项错误，不符合题意；
C、若，则，则此项错误，不符合题意；
D、若，则，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质、解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
5．D
【分析】表示出∠α的余角和∠α的补角，再利用方程求解即可．
【详解】由题意得：（90°﹣∠α）+（180°﹣∠α）=120°，
解得：∠α=75°．
故选：D．
【点睛】本题考查了互为余角、互为补角的意义，方程是解决数学问题的常用的模型．
6．D
【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答．
【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意；
B、不是等式，故不是方程，不符合题意；
C、不是等式，故不是方程，不符合题意；
D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程．
7．B
【分析】设点P，Q每隔x秒相遇一次，根据正方形周长=二者速度之和×时间，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出两点每隔2秒相遇一次，再结合点Q的速度、出发点及运动方向可得出它们第1次、第2次、第3次、第4次、第5次……相遇点，结合2021÷4=505……1，可得出结论．
【详解】解：设点P，Q每隔x秒相遇一次，根据题意得：
，解得：x=2．
∵点Q从点A出发，以0.5个单位长度每秒的速度绕正方形做逆时针运动，度绕正方形作逆时针运动，
∴2秒后它到达B点，即第一次它们相遇在B点，
∴第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，
又∵2021÷4=505……1，
∴第2021次相遇和第1次相遇地点相同，即第2021次相遇在点B．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，根据点Q的运动速度、方向、时间，找出各次相遇点是解题的关键．
8．C
【分析】设该队共平了x场比赛，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设该队共平了x场比赛，
根据题意得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则该队共平了5场比赛．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．
9．C
【分析】本题考查方程的解与方程的关系．将方程的解代入方程，即可得a的值．
【详解】解：把代入，得
，
故．
故选：C．
10．A
【分析】一共是38人，设小船有x条，那么大船就有（8−x）条，用x分别表示出大船和小船坐的人数，进而列方程，即可求解．
【详解】解：设小船有x条，那么大船就有（8−x）条，
由题意得：，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
11．A
【分析】设用张铝片制作瓶身，可制作瓶身x个，可制作瓶底45（200-x）个，
根据等量关系：一个瓶身和两个瓶底配成一套，列方程即可．
【详解】解：设用张铝片制作瓶身，可制作瓶身x个，可制作瓶底45（200-x）个，
根据题意列方程得：．
故选择A．
【点睛】本题考查利用一元一次方程解调配问题应用题，掌握一元一次方程解调配问题应用题方法与步骤，抓住等量关系一个瓶身和两个瓶底配成一套列方程是解题关键．
12．A
【分析】先根据同角的余角相等得到，即可得到结论．
【详解】解：∵将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，
∴，
，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．

【点睛】本题考查同角的余角相等，其关键要弄清哪两个角互余及角的和差，并利用数形结合的思想解决问题．
13．##35度45分
【分析】本题考查了余角；度分秒的换算．根据和为的两个角互为余角即可得到结论．
【详解】解：根据互为余角的概念，得
的余角．
故答案为：．
14．
【分析】设x＝2a，根据＝可得y＝3a，代入所求式子化简即可得答案．
【详解】设x＝2a，
∵＝，
∴y＝3a，
∴＝＝．
故答案为：
【点睛】本题考查比例的性质，设x＝2a，根据题意用a表示出y是解题关键．
15．a﹣3c
【分析】多项式因式根据添括号法则进行求解．
【详解】（﹣a＋2b＋3c）（a＋2b﹣3c）＝[2b﹣（a-3c）][2b＋（a﹣3c）]
故答案为：a-3c
【点睛】本题考查的是添括号法则．灵活的运用法则内容是解题的关键．
16．或4
【分析】根据点C与点B的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，推出各线段与AC的关系，根据直线上所有线段的长度之和为19，列出关于AC的方程即可求出AC．
【详解】解：若点C在点B左侧时，如下图所示：
∵
∴
∴BC=，AB=
∵点分别为中点
∴AD=DC=，CE=BE=
∴AE=AC＋CE=，DE=DC＋CE=，DB=DC＋CB=AC
∵直线上所有线段的长度之和为19
∴AD＋AC＋AE＋AB＋DC＋DE＋DB＋CE＋CB＋EB=19
即＋AC＋＋＋＋＋AC＋＋＋=19
解得：AC=；
若点C在点B右侧时，如下图所示：
∵
∴
∴BC=，AB=
∵点分别为中点
∴AD=DC=，CE=BE=
∴AE=AC－CE=，DE=DC－CE=，DB=DC－CB=
∵直线上所有线段的长度之和为19
∴AD＋AC＋AE＋AB＋DC＋DE＋DB＋CE＋CB＋EB=19
即＋AC＋＋＋＋＋＋＋＋=19
解得：AC=
综上所述：AC=或4．
故答案为：或4．
【点睛】此题考查的是线段的和与差，掌握线段之间的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查方程的定义，方程的解等知识，理解并掌握方程的定义是 解题的关键．
根据含有未知数的等式是方程的概念，系数是含未知数项的数字因数等知识，即可求解．
【详解】解：根据题意得，（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
18．或5
【分析】根据题意可知，分两种情况：点B在原点左侧或右侧，然后即可列出相应的方程，从而可以求得经过几秒，OB＝2OA．
【详解】解：设经过t秒，OB＝2OA，
当点B在原点左侧时，
3﹣5t＝2（1+2t），
解得t＝ ，
当点B在原点右侧时，
5t﹣3＝2（1+2t），
解得t＝5，
由上可得，当经过或5秒时，OB＝2OA．
故答案为：或5
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
19．(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，
（1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
（2）按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
（3）按照解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)图见解析，理由：两点之间，线段最短
【分析】本题主要考查线段、射线、直线的相关概念，理解并掌握线段、射线、直线的概念及特征是解题的关键．
（1）根据题意连接两点即可求解；
（2）根据题意，射线有一个端点，向另一边无限延伸即可；
（3）根据直线向两边无限延伸，射线的特点，交点的表示即可求解；
（4）根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求；
（2）解：如图，射线AD即为所求；
（3）解：如图所示，点E即为所求；
（4）解：如图所示，点M即为所求，理由：两点之间，线段最短．
21．(1)mn
(2)－3a2+34a－13
【分析】（1）根据合并同类项法则进行计算即可；
（2）整式的加减先去括号，再合并同类项计算即可．
【详解】（1）解：－5m2n+4m2n－2mn+m2n+3mn
＝（－5m2n+4m2n+m2n）+（－2mn+3mn）
＝mn；
（2）解：（5a2+2a－1）－4（3－8a+2a2）
＝5a2+2a－1－12+32a－8a2
＝－3a2+34a－13．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则及合并同类项法则是解题的关键．
22．150度
【分析】此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用两角互余和为，首先根据余角的定义，设这个角为x，结合角平分线的性质，可以求出的度数．
【详解】解：设度，
∵，
∴度，
∴度，
∵平分，
∴度，
∵与互余，
∴，
解得，
∴度．
答：的度数为150度．
23．(1)195是“团圆数”，621不是“团圆数”；
(2)567或575或4092或4095
【分析】（1）根据“团圆数”定义进行判断即可；
（2）设A＝10a＋b，则B＝10a＋8−b，再表示出P（M）和Q（M），进行讨论求值即可.
【详解】（1）解：∵
又13和15的十位数字相同，个位数字之和为8，
∴195是“团圆数”
∵
又23和27的十位数字相同，但个位数字之和不为8，
∴621不是“团圆数”
（2）解：设A＝10a＋b，则B＝10a＋8−b
∴A＋B＝20a＋8，|A−B|＝|2b−8|
∵G（M）＝＝能被8整除
∴20a＋8＝8k(|2b−8|)，k为整数
∴5a＋2＝4k（|b−4|）
∴5a＋2是4的倍数
∴满足条件的整数a有2，6
①若a＝2，则12＝4k（|b−4|），k为整数，
∴3＝k（|b−4|），
∴|b−4|是3的因数，
∴b−4＝−3，−1，1，3，
∴满足条件的b有1，3，5，7，
∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，
∴A×B＝567或575，
②若a＝6，则32＝4k（|b−4|），k为整数，
∴8＝k（|b−4|），
∴|b−4|是8的因数，
∴b−4＝−8，−4，−2，−1，1，2，4，8，
∴满足条件的b有2，3，5，6，
∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，
∴A×B＝4092或4095，
综上可知，M的值为567或575或4092或4095．
【点睛】本题是新定义题目，考查的知识点有列代数式，因式分解的应用以及整除和绝对值的运用，能够理解“团圆数”含义，并能把A和B用含a和b的式子表示出来找到其倍数和因数是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据比例易求AC，CD，DB的长，进而利用αAB＝AC＋CD＋DB＋AD＋CB＋AB可求解；
（2）结合中点的定义可利用AB表示每条线段长，再根据αAB＝64，列方程即可求解；
（3）根据αAB＝38，可用CD表示AB，由CD是奇数，AB为正整数，CD＜AB，可求得CD的长，进而求得AB的长．
【详解】解：（1）如图2，∵，，
∴，，，
∴，，
∴；
（2）如图3，∵C为AB的中点，E为DB的中点，，
∴，
∴
∴；
（3）∵，
∴AC＋CD＋DB＋AD＋AB＋CB＝38，
即3AB＋CD＝38，
∴，
∵CD是奇数，AB为正整数，
∴CD＝5，11，，17，23，29，35
∵CD＜AB，
∴，
∴，
∴满足条件的只有CD＝5，
∴．
【点睛】本题主要考查线段中点的有关计算以及两点间的距离，解题的关键在于能够正确读懂题意，利用数形结合以及方程的思想求解．
25．(1)，，，
(2)存在，
(3)不变，值为0
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．整式的加减运算，根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键．
（1）根据非负数的性质可求出的值，再由数轴上两点间的距离即可求解；
（2）根据题意可求出A，B，点在数轴上对应的数，分类讨论点点P在点A、B之间，点P在点A的左边，点P在点B、C之间，点P在点C的右边，四种情况即可求解；
（3）分别表示出秒钟后在数轴上对应的数，根据数轴上两点间的距离公式表示出，再计算即可进行判断．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
（2）存在，设点P对应的数为x，
当点P在点A、B之间时，由得：，
解得：（不符合题意，舍去），
当点P在点A的左边时，由得：，
解得：，
当点P在点B、C之间时，由得：，
解得：（不符合题意，舍去），
当点P在点C的右边时，由得：，
解得：（不符合题意），
综上所述，；
（3）点A向左运动t秒后，其表示的数为：，
点B向右运动t秒后，其表示的数为：，
点C向右运动t秒后，其表示的数为：，
∴，
，
∴
．
即的值不会随着时间t的变化而变化．