陕西省汉中市东辰学校2023-2024学年七年级下学期期末测试数学试题

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1. “守株待兔”这个事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定性事件C. 必然事件D. 不可能事件
【答案】A
【解析】
【分析】依据“随机事件：在一定条件下有可能发生也有可能不发生的事件”、“必然事件：在一定条件下一定会发生的事件”、“不可能事件：在一定条件下一定不会发生的事件”进行判断即可、“确定性事件：包括必然事件和不可能事件”进行判断即可．
【详解】解：“守株待兔”是随机事件，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件；熟记相关概念是解题的关键．
2. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A. 摸出“北斗”小球的可能性最大B. 摸出“天眼”小球的可能性最大
C. 摸出“高铁”小球可能性最大D. 摸出三种小球的可能性相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案．
【详解】解：盒中小球总量为：（个），
摸出“北斗”小球的概率为：，
摸出“天眼”小球的概率为：，
摸出“高铁”小球的概率为：，
因此摸出“高铁”小球的可能性最大．
故选C．
【点睛】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．
3. 一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形三边的关系．设第三边长为，根据三角形三边的关系得，据此求解即可．
【详解】解：设第三边长为，
根据题意得，即，
又三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数，
为8、12、14，符合条件的三角形有3个，
故选：B．
4. 若是完全平方公式，则的值为（ ）
A. 或1B. 8或C. 7或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，根据题意利用完全平方公式的结构特征进行判断，即可求出的值．熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
解得：或，
故选：C．
5. 如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在点，的位置，交于点，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；如图，首先运用翻折变换的性质证明，，借助，求出的度数，进而求出，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，；
由题意得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6. 已知三边a、b、c满足，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
∴是等边三角形，即锐角三角形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．
7. 若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：
，
∵展开后不含x的一次项，
∴，
故选：C．
8. 如图，A，B，C，D是四个村庄，其中B，D，C在一条直线上，，且，村庄A，B之间有一个小湖．为方便通行，现要在湖面上建一座桥，测得，，，则建造的桥长至少为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及其性质，根据，得出，进而得出，这样可得出桥长度．
【详解】解：由题意知：，
∵在和中，
，
∴，
∴，
故斜拉桥至少有（千米）．
故选：B．
9. 如图，在中是上的一点，，点是的中点．设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A. 2B. 4C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则，，然后利用即可得到答案．
【详解】解：，
，
点是的中点，
，
，
即，
．
故选：B．
10. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ）
A B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，
，
，
或，
当时，，，
，，
解得，；
当时，，，
，，
解得，；
综上可知，点Q运动速度为或，
故选D．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11. 若一根头发丝的直径大约为，且，则头发的直径用科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
13. 如图，已知正方形ABCD、正方形CEFG的边长分别为10和5，且点B、C、E在同一条直线上，点P是边EF上一动点，连接PB．若PE＝x，则阴影部分的面积y与x之间的关系式为______
【答案】
【解析】
【分析】利用正方形面积与三角形的面积列出等式即可．
【详解】解：由题意得：
y＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△PBE
＝100+25﹣（10+5）x
＝125﹣x，
∴y与x之间的关系式为y＝125﹣x，
故答案为：y＝125﹣x．
【点睛】本题主要考查了函数的解析式，利用几何图形的面积关系列出等式是解题的关键．
14. 将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是__________________________

【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短进行回答即可．
【详解】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短
【点睛】此题考查了点到直线的距离，熟知“直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”是解题的关键．
15. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于F，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于F，如图，
∵是中的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为6．
16. 将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第1个图形中有2个三角形，第2个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第④个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第⑩个图形中三角形的个数为_______．
【答案】101
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类，分析发现规律是关键．罗列第①第②第③第④个图形中三角形个数就会发现规律：第n个图形中三角形个数为，按照规律求出第⑩个图形中三角形个数即可．
【详解】解：第①个图形中三角形个数有，
第②个图形中三角形个数有，
第③个图形中三角形个数有，
第④个图形中三角形个数有，
，
第n个图形中三角形个数为，
则第⑩个图形中三角形个数为，
故答案为：101．
三、解答题（共72分）
17. 如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站P，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？请你画出点P．（不写作法，保留痕迹）

【答案】图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键；因此此题可以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，然后问题可求解
【详解】解：所作点P如图所示：

18. 计算
（1）
（2）（简便运算）
（3）
【答案】（1）8 （2）19900
（3）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先算乘方、负指数幂及绝对值，再算加减，即可解答；
（3）将变形为，再用乘法分配律进行计算即可解答；
（4）先用单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，即可解答．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
，
；
【小问3详解】
解：原式，
19. 化简下式并求值
，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，完全平方公式，平方差公式，先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当，时，
原式
20. 已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为和．
（1）试求黄色球的数量：
（2）若向箱中再放进个红球，这时从纸箱中任意模出一球是红球的概率为，求的值．
【答案】（1）个
（2）的值为10
【解析】
【分析】本题考查了已知概率求数量；
（1）先用1减去红球和蓝球的概率，得到黄色球的概率，再用所有的球数乘以黄色球的概率，即可得出答案；
（2）设放进a个红球，根据红球的概率为列出方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：（个）
答：黄色球的数量为个；
【小问2详解】
依题意，
解得
的值为10．
21. 2022年3月23日、“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，航天员王亚平、叶光富、翟志刚为学生们上了一章豪华的太空课，引发了学生了解科学知识的新热潮，七（3）班社团通过查闻资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）从表中数据可知、气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高 ．
（3）声音在空气中的传播速度与气温t℃的关系式可以表示为．
（4）某日气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，小乐与燃放烟花所在地大约相距多远?
【答案】（1）温度，声音在空气中的传播速度
（2）0.6 （3）
（4）小乐与燃放烟花所在地大约相距
【解析】
【分析】本题考查函数的表示方法，常量与变量及一次函数的应用，理解常量与变量的定义，求出函数的关系式是正确解答的前提．
（1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
（2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
（3）利用（2）中的变化关系得出函数关系式；
（4）当时，求出，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可．
【小问1详解】
解：（1）根据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
【小问2详解】
由表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度就提高，
故答案：0.6；
【小问3详解】
由表格中两个变量对应值的变化规律可得，，
故答案为：；
【小问4详解】
当时，，
，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距．
22. 如图，小庆为了测量一栋居民楼的高度，借助高为8米的竹竿，在空地选定一点 P，使得点P到楼的距离等于竹竿的高度，图中各点均在同一竖直平面内，小庆测得，竹竿与楼之间距离米，请根据测量数据计算楼的高度．
【答案】21米
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，进而利用求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵米，米，
所以（米），
即米．
答：楼的高度是21米．
23. 如图，四边形、均为正方形，连接与分别交于点M、N．
（1）求证：
（2）求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
（1）由正方形的性质得出，，，得出，由证明，得出对应边相等即可；
（2）由，得出对应角相等，由，对顶角，得出，证出即可．
【小问1详解】
证明：四边形、均为正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如图，点P关于，的对称点分别为C，D，连接，交于点M，交于点N，连接交于点R，连接交于点T，连接、．
（1）若的长为，求的周长；
（2）若，四边形的4个内角之和为，求．
【答案】（1）的周长为
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得，，可得的周长 ，即可求解；
（2）根据轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，，，可知，进而可知在四边形中，，由三角形内角和定理可知，，得，根据即可求解．
小问1详解】
解：∵点C，D分别是点P关于，的对称点，
∴，．
∵，
∴．
即的周长是．
【小问2详解】
∵点C，D分别是点P关于，的对称点，
∴垂直平分，垂直平分，
，，
∴．
∵四边形的4个内角之和为，
∴在四边形中，．
∵，
∴，
∴．
25. （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 ，另外他还得到了和的位置关系是 ；
（2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：；
（3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和数量关系．
【答案】（1）；；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，倍长中线法证全等；
（1）根据已知条件证明，得出，则；
（2）延长至点，使，同（1）可得，，证明，进而证明，即可得证；
（3）延长至点，使，由（1）可得，，证明，进而证明，即可得证．
【详解】解：（1）∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长至点，使，
同（1）可得
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）如图所示，延长至点，使，
由（1）可得，
∴， ，
∴，
∵， ，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．温度
0
5
10
15
20
25
声音在空气中的传播速度V/(m/s)
331
334
337
340
343
346