四川省绵阳市梓潼县梓潼东辰学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份四川省绵阳市梓潼县梓潼东辰学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（试卷满分：110分 时间：90分钟）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求．）
1. 函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x-2≥0，
解得x≥2．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式减法、二次根式乘法法则、二次根式加法法则、二次根式除法法则逐项分析判断即可．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、和不是同类二次根式不能合并，故此选项不符合题意；
C、2和不是同类二次根式不能合并，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式加减乘除法运算，熟练掌握二次根式加减乘除法运算法则是解题的关键．
3. 下列图象中，表示是的函数的是（ ）试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数定义;根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应可求
【详解】解：根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应，而B、C、D都是一对多，只有A是对任意的一个都存在唯一的与之对应．
故选：A
4. 若，则以a，b，c为边的三角形是（）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，求出，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】
以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
故选∶B．
【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出．
5. 如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为边的中点，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6. 在平行四边形中，，则（ ）
A. 20°B. 40°C. 140°D. 160°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
7. 如图，在▱中，为的中点，过点作交于，连接，若，，则的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，得知，由于，根据线段垂直平分线的性质，可知，则的周长为与之和，即可得解．
【详解】解：在中，，，，
，
为的垂直平分线，
，
的周长为：，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8. 如图，中，，，，点P是边上一动点，则线段长度的最小值为（ ）
A. 3B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理得出，当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵当时，的值最小，
此时：的面积为：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 矩形的对角线互相垂直
C. 一组对边平行的四边形是平行四边形D. 对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定以及平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，则的长为（ ）

A. B. C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】连接，过点B作轴于点D，先求出，再根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：连接，过点B作轴于点D，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵四边形是矩形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形对角线相等的性质．
11. 如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，解题关键是掌握菱形的性质．
12. 如图，在正方形中，是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角．有下列四个结论：①；②点在线段上；③当时，平分；④若点在上以一定的速度由向运动，则点的运动速度是点运动速度的2倍．其中正确的结论的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：，从而可判定①；由可得，由正方形的性质可证明，可得，即有，再由可得，从而、分别平分、，即可判定③；连接交于点，由知，点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，即可判断②，由知，点的运动速度是点的运动速度的倍，即可判断④，因而可确定答案．
【详解】解：四边形是正方形，是对角线，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故①正确；
、都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，即点E在线段上，
故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
、分别平分、，
故③正确；
如图，连接交于点，
，
当点与点重合时，点与点重合；当点与点重合时，点与点重合，
点的运动轨迹为线段，而点的运动轨迹为线段，
，且点与点的运动时间相同，
，
故④错误；
故选：C．
【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键．确定点E的运动路径是本题的难点所在．
二、填空题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．将答案填写在答题卡相应的横线上．）
13. 计算： =_____．
【答案】.
【解析】
【分析】
【详解】解：
故答案为：．
14. 在直角三角形中，两直角边长分别为2和，则斜边长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】∵两直角边长分别为2和，
∴斜边长为．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
15. 已知为实数，且，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式有意义条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：．
16. 已知一根弹簧秤不挂物体时弹簧的长度为，在弹性限度内，每挂重物体，弹簧伸长，则挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数表达式是______.
【答案】
【解析】
【分析】弹簧总长=挂上的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可.本题考查了根据实际问题列一次函数关系式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．
【详解】解：∵每挂重物弹簧伸长，
∴挂上的物体后，弹簧伸长，
∴弹簧总长．
故答案为：．
17. 若是正整数，则最小的整数n是_________．
【答案】3
【解析】
【分析】先化简二次根式，然后依据被开方数是一个完全平方数求解即可．
【详解】解：，
∵是正整数，
∴是一个完全平方数，
∴n最小整数值为3
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查二次根式的化简方法的运用，把被开方数里开得尽方的因数写成平方数，再寻找n的最小整数值．
18. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简结果为________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据数轴上点的位置得到，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】由题意得，
∴，
∴

，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，正确得到是解题的关键．
19. 矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由翻折的性质可知，，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，
∴；
故答案为：．
20. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为___________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果.
【详解】
由题意得，正方形E的面积为2+4=6，
则正方形D的面积6+3=9.
故答案为：9
【点睛】考点：本题考查的是勾股定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握股定理，即可完成．
21. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到（米），

故答案为：．
22. 已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是估算无理数的大小及代数式求值，先化简再估算出它的取值范围，进而可得出、的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∴，
故答案为：．
23. 甲、乙两车从A地开往B地，全程800km；所行的路程与时间的函数图像如图所示，下列问题：①乙车比甲车早出发2h；②甲车追上乙车时行驶了300km；③乙车的速度小于甲车速度；④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用3h；以上正确的序号是_______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用图象可得出，甲，乙速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．
【详解】解：①乙车比甲车早出发2h；由图可知，乙车横坐标为0，甲车横坐标为2，故①正确；
②甲车追上乙车时行驶了300km，由图可知，辆车在第五个小时相遇，甲车追上乙车行驶的路程300km，故②正确；
③乙车的速度小于甲车速度；由图中甲乙辆车的斜率知乙车速度小于甲车；故③正确；
④甲车跑完全程比乙车跑完全程少用3h；甲车跑完所用时间=(10−2)=8小时；乙车跑完所用时间=(13−0)=13小时；∴甲车跑完全程比乙车跑完全程少用5h，故④错误；
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，属于基础题，根据题中所给图即可求解；
24. 如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以为两邻边作平行四边形，…，依此类推，则平行四边形的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质和平行四边形的性质，因为矩形的对边和平行四边形的对边互相平行，且矩形的对角线和平行四边形的对角线都互相平分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底×高，所以第一个平行四边形是矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去．
【详解】解：∵，，
∴夹在DC和，和之间的距离相等，
∴第一个平行四边形的面积是矩形面积的一半即，
依此类推第二个平行四边形是第一个平行四边形面积的一半即，
…，依此类推，第个平行四边形的面积为
则平行四边形的面积为
故答案为: ．
三、解答题（本大题共4个小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
25. 计算
（1）
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，分式的化简求值，
（1）根据零指数幂，二次根式的除法，化简绝对值，以及负整数指数幂进行计算即可求解；
（2）根据分母有理化求得的值，得出，然后根据分式的性质，二次根式的性质进行化简，最后代入字母的值即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴原式．
26. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形的性质可证明，可得，进而可得结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
27. 如图，点A是菱形对角线的交点，，连接，交于O．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）13
【解析】
【分析】（1）根据判定四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，从而证得四边形是矩形，即可证明结论；
（2）根据菱形的性质可得和的长，根据勾股定理求出的长，据此即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质以及菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质并灵活运用．
28. 问题解决：如图1矩形中，点分别在边上，于点G．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
（3）类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，则__________．
【答案】（1）见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证，得，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，则，再证，然后由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（3）延长到点，使得，连接，证，得，，再证是等边三角形，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△与△中，

∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【小问2详解】
解：是等腰三角形；
理由如下：
，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
即垂直平分，
，
是等腰三角形；
【小问3详解】
解：如图：延长到点，使得，连接，如图2所示：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在与中，

∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
四．附加题（每题2分，共10分）
29. 如果菱形ABCD的两条对角线AC=6cm，BD=8cm，则此菱形面积为________
【答案】24
【解析】
【分析】直接根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的两条对角线AC=6cm，BD=8cm，
∴菱形的面积=，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了求菱形的面积，熟知菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半是解题的关键．
30. 计算：__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，积的乘方的逆运算，将原式变形为，利用积的乘方的逆运算、平方差公式、二次根式的运算法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
31. 如图，在平行四边形中，于点，于点．若，，且平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为_____．
【答案】48
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形周长公式得到，再根据平行四边形面积公式推出，则，据此求出即可得到答案．
【详解】解：∵平行四边形的周长为40，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；48．
32. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵M，N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，此时最大，
∵点E是上的动点，
∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，
∴此时，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
33. 如图，点是的边上的中点，连结，点为中点，若，则的长是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作交于点，交于点，首先根据三角形的中位线得出的值，进而得出的值，再证明为直角三角形、和为等腰三角形，进而解得，易得，根据勾股定理即可求得答案．
【详解】解：过点作交于点，交于点，则四边形是平行四边形，则，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∵为中点，且，
∴为中点，为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵点是的边上的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、二次根式的性质化简，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点并灵活运用．