北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版）

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这是一份北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（原卷版），共6页。试卷主要包含了本试卷有三道大题，共6页，考试结束后，考生应将答题纸交回等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.
2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3.考试结束后，考生应将答题纸交回.
一、选择题共10小题，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 已知，，若，则实数的值为（）
A. B. 2C. D. 1
3. 已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（）
A B.
C D.
4. 已知平面的一个法向量，直线的一个方向向量，则（）
A. B.
C. D. 与相交且不垂直
5. 如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（）
A. B. C. D.
6. 在正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，平面平面，，则二面角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，已知，则“”是“”的（）
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，点是PC的中点，，，则（）
A. B. C. D. 4
10. 如图，在棱长为2的正方体中，点为BC的中点，点在线段上，则面积的最小值为（）
A. B. C. D.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若直线与直线平行，则______．
12. 长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．
13. 已知为平面内三点，点在内，且异于三点，写出点的一个坐标: ____________.
14. 如图所示的多面体，其各个面都是边长为2的等边三角形，点分别为棱的中点，则______.
15. 如图，正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为线段上的一个动点，给出下列四个结论:
①三棱锥的体积为定值;
②存在点，使平面；
③存在点，使平面平面;
④设直线FG与平面所成角为，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号为____________________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知点、、，点是线段的中点，，垂足为.
（1）求直线的方程；
（2）求点的坐标；
（3）求面积.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E，F分别为AD，的中点，平面.

（1）求证:平面；
（2）求证:;
（3）若，，求四面体的体积.
18. 在中，.
（1）求的大小;
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求和的面积.
条件①;
条件②;
条件③AB边上的高为.
19. 如图，在直三棱柱中，是的中点，平面ABD与直线交于点.
（1）求证:是线段的中点;
（2）设点在线段CD上，直线AE与平面ABM所成角的正弦值为.
（i）求的值;
（ii）求到平面ABM的距离.
20. 如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求证:平面平面;
（2）求二面角的余弦值;
（3）设为平面内的动点，满足.为边上的动点，点满足，写出点组成的图形的面积.（结论不要求证明）
21. 由个实数组成的有序实数组称维向量.设，称为的转置，记作.将个维向量的转置从左至右顺次排列构成数阵，记.例如，，则.对任意维向量和数阵，定义如下运算：
①，特别地，若，则称与正交;若，则称为单位向量.
②.
③对任意且，其中.
（1）设，直接写出和;
（2）已知3维向量均为单位向量，且两两正交.设，若存在正整数，使得，求a，b，c，d的值及的最小值；
（3）已知4维向量均为单位向量且两两正交，其中.设，若对任意4维向量，都存在正整数使得且的最小值为12，给出一组满足上述条件的，并说明理由.