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吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学验收考试数学试卷（原卷版）
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这是一份吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学验收考试数学试卷（原卷版），共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：90分钟 满分：120分 命题人：姜冬艳 审题人：何震
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若样本数据的方差为，则的方差为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形
C. 锐角三角形D. 等边三角形
4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C 若，，，则
D. 若，，，则
5. 已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A. 平均数为，极差为B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为D. 平均数为，中位数为
8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和 都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C D.
10. 某学校为了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内随机抽样调查部分学生，了解到上学的交通方式主要有：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式.学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，则下列结论中正确的是（ ）
A. 此次抽查的样本量为240
B. 若该校有学生2000人，则约有500人是家人接送上学
C. 扇形图中B的占比为38%
D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为____________.
13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________.
14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为____________.
四、解答题：本大题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数是一元二次方程（）根.
（1）求的值；
（2）若复数（其中）为纯虚数，求复数模.
16. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围.
18. 在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求直线CM和平面所成的角；
（3）在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.（要求用几何法解答）
考试时间：90分钟 满分：120分 命题人：姜冬艳 审题人：何震
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 若样本数据的方差为，则的方差为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形
C. 锐角三角形D. 等边三角形
4. 已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C 若，，，则
D. 若，，，则
5. 已知圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量与向量夹角为，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 四名同学各投骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（ ）
A. 平均数为，极差为B. 中位数为，众数为
C. 平均数为，方差为D. 平均数为，中位数为
8. 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.如图，已知和 都是正三角形，，，且三点共线，设点是内的 任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为B. 的共轭复数为
C D.
10. 某学校为了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内随机抽样调查部分学生，了解到上学的交通方式主要有：A为家人接送，B为乘坐地铁，C为乘坐公交，D为其他方式.学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，则下列结论中正确的是（ ）
A. 此次抽查的样本量为240
B. 若该校有学生2000人，则约有500人是家人接送上学
C. 扇形图中B的占比为38%
D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半
11. 在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知水平放置四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为____________.
13. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为____________.
14. 某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取60件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为________；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为220，240，230小时，方差分别为20，20，30，则总样本的方差为____________.
四、解答题：本大题共4小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数是一元二次方程（）根.
（1）求的值；
（2）若复数（其中）为纯虚数，求复数模.
16. 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
设甲、乙两名运动员射击平均环数分别记为和，方差分别记为和.
（1）求，，，；
（2）如果你是教练，你如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若外接圆的周长为，求周长的取值范围.
18. 在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求直线CM和平面所成的角；
（3）在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.（要求用几何法解答）
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