资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩16页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 专题12.4 模型构建专题：-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题12.5 解题技巧专题：（5大考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题13.3 等腰三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题13.4 等边三角形的性质与判定（6考点+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 试卷 0 次下载
- 专题13.5 解题技巧专题：作辅助线及构造等腰三角形（6大考点）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版） 试卷 0 次下载
专题13.1 轴对称与线段的垂直平分线（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版
展开
这是一份专题13.1 轴对称与线段的垂直平分线（9考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版，文件包含精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题原卷版docx、精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9523" 【典型例题】 PAGEREF _Tc9523 \h 1
\l "_Tc6724" 【考点一 轴对称图形的识别】 PAGEREF _Tc6724 \h 1
\l "_Tc2128" 【考点二 成轴对称的两个图形的识别】 PAGEREF _Tc2128 \h 3
\l "_Tc10721" 【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 PAGEREF _Tc10721 \h 4
\l "_Tc18365" 【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 PAGEREF _Tc18365 \h 7
\l "_Tc21868" 【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】 PAGEREF _Tc21868 \h 13
\l "_Tc27078" 【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc27078 \h 19
\l "_Tc23285" 【考点七 线段垂直平分线的判定定理】 PAGEREF _Tc23285 \h 21
\l "_Tc2407" 【考点八 作垂线（尺规作图）】 PAGEREF _Tc2407 \h 25
\l "_Tc4615" 【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 PAGEREF _Tc4615 \h 29
\l "_Tc11889" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11889 \h 36
【典型例题】
【考点一 轴对称图形的识别】
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·河北沧州·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解析：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项；
故选：A．
3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图所示图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此即可解答．
【详解】解：A、B、D均不能找到一条直线，使A、B、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、D不是轴对称图形，不符合题意；
C能找到一条直线，使C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故C是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
【考点二 成轴对称的两个图形的识别】
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可．
【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称，
故选：．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的定义，如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形 叫做成轴对称．根据轴对称的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项图中两个字母“E”能关于某条直线成轴对称，故选项不符合题意；
D．图中两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，故D不符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可：
【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意；
只有D成轴对称，符合题意．
故选：D．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（ ）
A．①③④B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】B
【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可．
【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称，
故选：B．
【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】
例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误；
B、成轴对称，故本选项正确；
C、不成轴对称，故本选项错误；
D、不成轴对称，故本选项错误．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
∴，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
和关于直线对称，
线段、、被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．平分D．垂直平分
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可．
【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴，
A． ∵与是一组对应边，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵与是一组对应角，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵与是一组对应角，
∴平分，故此选项不符合题意；
D．∵直线是对称轴，
∴垂直平分，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．垂直平分线段
C．与面积相等
D．直线，的交点不一定在直线上
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键．
【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点，
垂直平分，
∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意．
故选：D．
【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
(1)连接，若求的周长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)12cm
(2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称，
∴，
∵点P与点N关于对称，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，
∴，
即，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图， 与关于直线 l对称，若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查对称的性质和三角形内角和定理，根据对称得到，利用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解∵与关于直线 l对称，
，
．
2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．
(1)若，，求的长；
(2)若，，，求的度数；
(3)连接和，则和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)；理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键．
（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；
（2）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可；
（3）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和关于直线对称，
∴点与点关于直线对称，
∴
．
（2）解：∵和关于直线对称，
∴，与关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，
理由：如图，
∵和关于直线对称，
∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
∴，，
．
3．（22-23八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点．
(1)①若，求的度数；
②若，则__________°（用含的代数式表示）；
(2)若，则的周长为__________．
【答案】(1)①；②
(2)4
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，
（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长．
熟知轴对称的性质是关键．
【详解】（1）解：①点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
；
②点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
故答案为：；
（2）点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
，
，
即的周长为4，
故答案为：4．
【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】
例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中， ，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F．
(1)当时，的大小为 度．
(2)当时，求的大小．
(3)当时，直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质．
（1）由三角形的内角和定理求出，进而由翻折可求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答；
（2）当时，，从而由折叠可得，由三角形的内角和定理与翻折求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答；
（3）分两种情况讨论，向下翻折或向下翻折，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∵
∴．
故答案为：100
（2）解：当时，，
由折叠可得，又
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴．
①如图，若向下翻折时，
当时，，
由折叠可得，又
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∵，
∴；
②如图，若向上翻折时，
当时，，
∴，
∴
由折叠可得，
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∴；
综上所述，或．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带，现小慧对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线与是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得，则，理由为________；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设，请求出的度数．
【答案】(1)内错角相等，两直线平行
(2)
【分析】本题考查了平行线判定与性质，翻折的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据平行线的判定方法即可解决问题．
（2）如图②中，证明即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
（2）解：如图②中，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
．
2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结．
(1)若，求的度数；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解；
（）由折叠的性质，平移的性质即可求解；
本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠性质可知，，
∴，
由平移性质可知：，
∴；
（2）由折叠性质可知，，
由平移性质可知：，，
则四边形的周长为．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数．
（2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F
①求证：．
②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；①见解析；②
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，，
（1）设，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，，从而得出，再
，列出方程，求解即可；
（2）①由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而得出，即，再求得，而由三角形内角和定理可得，从而证得结果； ②由平行线的性质可得，再由，，可得出，再求解即可．
【详解】解：（1）设，
把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）①把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
；
②，
，
，，
，
.
【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】
例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
【答案】85
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：85．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：13．
2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为50，则底边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴．
又的周长，
即，
∴．
故答案为：．
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ；
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．
∴，
∵的周长为，
，
，
，
∴的长为；
故选：．
【考点七 线段垂直平分线的判定定理】
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键；
（1）根据直接证明；
（2）根据，，即可得证垂直平分．
【详解】（1）证明：在与中，
∴；
（2）∵，，
∴点、点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明；
（2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分．
本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键．
【详解】（1）解： 与全等；
理由：，，
即，
在与中，
，
；
（2）解：如图：连接，
，由（1），
在的中垂线上，
，
，
在与中，
，
，
，
在的中垂线上，
垂直平分．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【考点八 作垂线（尺规作图）】
例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P．
【详解】解：如图所示，点P即为所求．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图，和A，B两点．
(1)作的平分线；
(2)求作一点Q，使Q点在上，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）根据角平分线的作法作的平分线即可；
（2）作的垂直平分线交于点，即可得．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，点即为所求．
．
2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，
(1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)若，的周长为15，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质．
（1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出；
（2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长．
【详解】（1）解：如图为所求；
（2）解：连接．
点D在的垂直平分线上，
，，
周长=
．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接、，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质；
（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，连接，与交于点O，
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段AD，
∴
∴在和中，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴．
【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】
例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？
【答案】2.5
【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解．
【详解】解：如图，连接、
∵是的角平分线，且、，
，，
又，
，
，，
∵垂直平分，
，
，
，
，，
设，则，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键：
（1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论；
（2）由题意可得，得出，进而得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵D是垂直平分线上的点，
∴，
∵平分，，
∴，，
在和中
∴
∴；
（2）在和中
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点．
(1)试说明：；
(2)若，试说明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）证明得到，进而由即可求证；
（）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵ 是边上的高，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质：
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，和的角平分线相交于点G．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义：
（1）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义可得，则；
（2）连接，证明，得到，则，再证明，得到．可得．由，的．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵CE平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列图形不是轴对称图形的有（ ）个
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义可知：
是轴对称图形，共个，
∴不是轴对称图形有个，
故选：．
2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线DE交于点，交于点，，的周长为，则AB的长为（ ）．
A．B．10C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∴，
故选：．
3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案．
【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点，
，
，
，
，
故选：A．
4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故选：C．
5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
．
故选：A．
二、填空题
6．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知点关于x轴的对称点为，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m、n的值即可得到答案．
【详解】∵点关于x轴的对称点为，
∴
故答案为：5．
7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长为，则的长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．直接根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可得出结论．
【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、，
，，
．
故答案为：9．
8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到，，把求的长转化成的周长，问题得解．
【详解】解：∵点关于、的对称点分别为、，
∴，，
∴．
故答案为：．
9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查角的计算，翻折性质，分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时．当点N在点M的下方时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
，
，
由翻折变换的性质可知，
，
；
如图2，当点N在点M的下方时，，
由翻折变换的性质可知，
；
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
三、解答题
11．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有．
(1)试说明：；
(2)若平分，试说明：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键．
（1）先根据得出，再由可知，故可得出结论；
（2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
又∵，则
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴垂直平分．
12．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）作图题：如图所示，
(1)在中：画出边上的高和中线．
(2)如图，已知点M、N和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，作角平分线，掌握相关作图步骤和方法是解题的关键．
（1）以A为圆心，为半径画弧，交延长线于点F，作的垂直平分线，交于点D，连接，即为边上的高；作的垂直平分线交于点E，连接，即为中线；
（2）连接，作的垂直平分线和的角平分线，相交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，点P即为所求：
13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，
，，
的周长，
故的周长为；
（2），
，
，，
，
，
，，
，，
，
故的度数为．
14．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，平分．
(1)①若，，则________度；
②判断，，三者之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，若M是边上的一点，将，折叠，使点B，C的对应点，落在线段的延长线上，折痕分别为，．当M与D重合时，则；当M与E重合时，则．求的度数．
【答案】(1)①35；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；②分别求解，，再利用角的和差关系可得答案；
（2）由题意得，，，如图，当M与D重合时，，证明；如图，当M与E重合时，平分，证明．再建立方程组解题即可；
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵平分，
，
∵，
∵，
，
，
（2）解：由题意得，，，
如图，当M与D重合时，，
∴，，
又∵，，
∴
，
∴；
如图，当M与E重合时，平分，
∴，
又∵，，
∴
，
∴．
联立,
解得：．
【点睛】本题考查的是与三角形的角平分线相关的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的高的含义，二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解题意是解本题的关键.
16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，，在上取点P，连结，将沿折叠，使点B的对应点E恰好落在射线上．
(1)当时，_______，_______．
(2)如图②，延长至点D，连结，在上取点Q，连结，将沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线上，．
①当点F在线段上且不与点A重合时，求（用含的代数式表示）．
②当，时，______________（用含、的代数式表示）．
③当时，若，则_________．
【答案】(1)，
(2)①；②；③或
【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解；
（2）①由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解；
②由，，可得点E，点F都在点A上方，由①同样方法可求，，即可求解；
③先求出的度数，再分当点F在点A上方和当点F在点A下方两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：如图，，，
，
∵将沿折叠，
，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
由折叠可知，
又，；
，，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
同理可得：，
，
故答案为：；
，
，
，
，
当点F在点A上方时，，
，
当点F在点A下方时，，
，
故答案为：或．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc9523" 【典型例题】 PAGEREF _Tc9523 \h 1
\l "_Tc6724" 【考点一 轴对称图形的识别】 PAGEREF _Tc6724 \h 1
\l "_Tc2128" 【考点二 成轴对称的两个图形的识别】 PAGEREF _Tc2128 \h 3
\l "_Tc10721" 【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】 PAGEREF _Tc10721 \h 4
\l "_Tc18365" 【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】 PAGEREF _Tc18365 \h 7
\l "_Tc21868" 【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】 PAGEREF _Tc21868 \h 13
\l "_Tc27078" 【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】 PAGEREF _Tc27078 \h 19
\l "_Tc23285" 【考点七 线段垂直平分线的判定定理】 PAGEREF _Tc23285 \h 21
\l "_Tc2407" 【考点八 作垂线（尺规作图）】 PAGEREF _Tc2407 \h 25
\l "_Tc4615" 【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】 PAGEREF _Tc4615 \h 29
\l "_Tc11889" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11889 \h 36
【典型例题】
【考点一 轴对称图形的识别】
例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）下列图案中．是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·河北沧州·期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，靖江市积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解析：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：C．
2．（23-24七年级下·广东佛山·期末）下列常见的手机软件图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
根据轴对称图形的定义：在一个平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：符合轴对称图形的定义只有A选项；
故选：A．
3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图所示图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．据此即可解答．
【详解】解：A、B、D均不能找到一条直线，使A、B、D沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故A、B、D不是轴对称图形，不符合题意；
C能找到一条直线，使C沿着该直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，故C是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
【考点二 成轴对称的两个图形的识别】
例题：（23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可．
【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称，
故选：．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的定义，如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这两个图形 叫做成轴对称．根据轴对称的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项图中两个字母“E”能关于某条直线成轴对称，故选项不符合题意；
D．图中两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称，故D不符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级上·广东湛江·期中）下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可：
【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意；
只有D成轴对称，符合题意．
故选：D．
3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（ ）
A．①③④B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】B
【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可．
【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称，
故选：B．
【考点三 根据成轴对称图形的特征进行判断】
例题：（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误；
B、成轴对称，故本选项正确；
C、不成轴对称，故本选项错误；
D、不成轴对称，故本选项错误．
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
∴，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
和关于直线对称，
线段、、被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
2．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．平分D．垂直平分
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可．
【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴，
A． ∵与是一组对应边，
∴，故此选项不符合题意；
B．∵与是一组对应角，
∴，故此选项不符合题意；
C．∵与是一组对应角，
∴平分，故此选项不符合题意；
D．∵直线是对称轴，
∴垂直平分，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．垂直平分线段
C．与面积相等
D．直线，的交点不一定在直线上
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键．
【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点，
垂直平分，
∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意．
故选：D．
【考点四 根据成轴对称图形的特征进行求解】
例题：（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
(1)连接，若求的周长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)12cm
(2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
【详解】（1）解：如图，∵点P与点M关于对称，
∴，
∵点P与点N关于对称，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，
∴，
即，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图， 与关于直线 l对称，若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查对称的性质和三角形内角和定理，根据对称得到，利用三角形内角和定理即可求得答案．
【详解】解∵与关于直线 l对称，
，
．
2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上．
(1)若，，求的长；
(2)若，，，求的度数；
(3)连接和，则和的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)6
(2)
(3)；理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，熟练掌握轴对称的性质是银题的关键．
（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可；
（2）根据轴对称的性质：对应角相等，以及三角形内角和等于180度，求解即可；
（3）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得，，即可由平行线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和关于直线对称，
∴点与点关于直线对称，
∴
．
（2）解：∵和关于直线对称，
∴，与关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，
理由：如图，
∵和关于直线对称，
∴点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，
∴，，
．
3．（22-23八年级上·吉林·阶段练习）如图，点在的内部，点和点关于对称，点关于的对称点是点，连接交于点，交于点．
(1)①若，求的度数；
②若，则__________°（用含的代数式表示）；
(2)若，则的周长为__________．
【答案】(1)①；②
(2)4
【分析】本题考查轴对称的性质与运用，
（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数；
（2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长．
熟知轴对称的性质是关键．
【详解】（1）解：①点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
；
②点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
故答案为：；
（2）点和点关于对称，
，
点关于对称点是，
，
，
，
，
即的周长为4，
故答案为：4．
【考点五 利用轴对称的性质解决折叠问题】
例题：（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中， ，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F．
(1)当时，的大小为 度．
(2)当时，求的大小．
(3)当时，直接写出的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了轴对称，三角形的内角和定理与外角的性质，平行线的性质．
（1）由三角形的内角和定理求出，进而由翻折可求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答；
（2）当时，，从而由折叠可得，由三角形的内角和定理与翻折求出，根据三角形外角的性质即可求出，从而根据角的和差即可解答；
（3）分两种情况讨论，向下翻折或向下翻折，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵沿翻折得到，
∴，
∵
∴．
故答案为：100
（2）解：当时，，
由折叠可得，又
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴．
①如图，若向下翻折时，
当时，，
由折叠可得，又
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∵，
∴；
②如图，若向上翻折时，
当时，，
∴，
∴
由折叠可得，
∴，
∴，
∴由折叠可得，
∴；
综上所述，或．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）有一条纸带，现小慧对纸带进行了下列操作：
(1)为了检验纸带的两条边线与是否平行，小慧按如图①所示画了直线l，后量得，则，理由为________；
(2)将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图②所示，设，请求出的度数．
【答案】(1)内错角相等，两直线平行
(2)
【分析】本题考查了平行线判定与性质，翻折的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据平行线的判定方法即可解决问题．
（2）如图②中，证明即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，，
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
（2）解：如图②中，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
，
．
2．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结．
(1)若，求的度数；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解；
（）由折叠的性质，平移的性质即可求解；
本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠性质可知，，
∴，
由平移性质可知：，
∴；
（2）由折叠性质可知，，
由平移性质可知：，，
则四边形的周长为．
3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数．
（2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F
①求证：．
②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；①见解析；②
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，，
（1）设，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，，从而得出，再
，列出方程，求解即可；
（2）①由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而得出，即，再求得，而由三角形内角和定理可得，从而证得结果； ②由平行线的性质可得，再由，，可得出，再求解即可．
【详解】解：（1）设，
把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，
，
，，
，，
，
，
，
，
；
（2）①把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
；
②，
，
，，
，
.
【考点六 利用线段垂直平分线的性质求解】
例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ．
【答案】85
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：85．
【变式训练】
1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：13．
2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为50，则底边的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴．
又的周长，
即，
∴．
故答案为：．
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ；
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．
∴，
∵的周长为，
，
，
，
∴的长为；
故选：．
【考点七 线段垂直平分线的判定定理】
例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，．
求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键；
（1）根据直接证明；
（2）根据，，即可得证垂直平分．
【详解】（1）证明：在与中，
∴；
（2）∵，，
∴点、点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．
(1)与全等吗？为什么？
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明；
（2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分．
本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键．
【详解】（1）解： 与全等；
理由：，，
即，
在与中，
，
；
（2）解：如图：连接，
，由（1），
在的中垂线上，
，
，
在与中，
，
，
，
在的中垂线上，
垂直平分．
3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高．
(1)试说明垂直平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)4
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论；
（2）根据列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高．
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【考点八 作垂线（尺规作图）】
例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P．
【详解】解：如图所示，点P即为所求．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．
已知：如图，和A，B两点．
(1)作的平分线；
(2)求作一点Q，使Q点在上，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）根据角平分线的作法作的平分线即可；
（2）作的垂直平分线交于点，即可得．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，点即为所求．
．
2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，在中，
(1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）；
(2)若，的周长为15，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质．
（1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出；
（2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长．
【详解】（1）解：如图为所求；
（2）解：连接．
点D在的垂直平分线上，
，，
周长=
．
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接、，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质；
（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可；
（2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图，连接，与交于点O，
∵平分，
∴，
∵垂直平分线段AD，
∴
∴在和中，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴．
【考点九 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】
例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？
【答案】2.5
【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解．
【详解】解：如图，连接、
∵是的角平分线，且、，
，，
又，
，
，，
∵垂直平分，
，
，
，
，，
设，则，，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键：
（1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论；
（2）由题意可得，得出，进而得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵D是垂直平分线上的点，
∴，
∵平分，，
∴，，
在和中
∴
∴；
（2）在和中
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 是边上的高，为的角平分线，且，是的中线，延长到点，使得，连接，交于点，交于点，交于点．
(1)试说明：；
(2)若，试说明：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）证明得到，进而由即可求证；
（）证明得到，进而由平行线的性质得到，即可由三角形内角和定理得到，即可求证；
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，从图形中找到全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是的中线，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵ 是边上的高，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质：
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
4．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）在中，和的角平分线相交于点G．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，H是边上一点，连接恰好是的垂直平分线，延长至点N，过点N作的平行线交于于点M，且，若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义：
（1）先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的定义可得，则；
（2）连接，证明，得到，则，再证明，得到．可得．由，的．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和的角平分线相交于点G，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵CE平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列图形不是轴对称图形的有（ ）个
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】根据轴对称图形的定义可知：
是轴对称图形，共个，
∴不是轴对称图形有个，
故选：．
2．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，边上的垂直平分线DE交于点，交于点，，的周长为，则AB的长为（ ）．
A．B．10C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵DE是的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
∴，
故选：．
3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案．
【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点，
，
，
，
，
故选：A．
4．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）将沿着平行于的直线折叠，点A落到点，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，先由三角形内角和定理和平行线的性质得到，再由折叠的性质可得，据此根据平角的定义可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故选：C．
5．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，，边的垂直平分线交的外角的平分线于点D，垂足为E，于点F，于点G，连接．则的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解此题的关键．
连接，证，得出，再证，得 ，然后证，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，
垂直平分，
，
平分，，，
，
在和中
，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
．
故选：A．
二、填空题
6．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知点关于x轴的对称点为，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求出m、n的值即可得到答案．
【详解】∵点关于x轴的对称点为，
∴
故答案为：5．
7．（22-23八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，、的垂直平分线分别交于点、，若的周长为，则的长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质．直接根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可得出结论．
【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、，
，，
．
故答案为：9．
8．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在的内部有一点，点、分别是点关于，的对称点，分别交，于，点，若的周长为，则线段的长为 ．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到，，把求的长转化成的周长，问题得解．
【详解】解：∵点关于、的对称点分别为、，
∴，，
∴．
故答案为：．
9．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，相交于点E，．将沿折叠，点D落在点处，若，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
证明，得，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由翻折可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（23-24七年级上·四川达州·期末）如图，长方形纸片，点P在边上，点M，N在边上，连接，．将对折，点D落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．若，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查角的计算，翻折性质，分两种情形：如图1中，当点N在点M的上方时．当点N在点M的下方时，分别求解即可．
【详解】解：如图1中，当点N在点M的上方时．
，
，
由翻折变换的性质可知，
，
；
如图2，当点N在点M的下方时，，
由翻折变换的性质可知，
；
综上所述，满足条件的或．
故答案为：或．
三、解答题
11．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有．
(1)试说明：；
(2)若平分，试说明：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键．
（1）先根据得出，再由可知，故可得出结论；
（2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
又∵，则
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴垂直平分．
12．（22-23八年级上·河南漯河·开学考试）作图题：如图所示，
(1)在中：画出边上的高和中线．
(2)如图，已知点M、N和，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到的两边的距离相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，作角平分线，掌握相关作图步骤和方法是解题的关键．
（1）以A为圆心，为半径画弧，交延长线于点F，作的垂直平分线，交于点D，连接，即为边上的高；作的垂直平分线交于点E，连接，即为中线；
（2）连接，作的垂直平分线和的角平分线，相交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，点P即为所求：
13．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可．
【详解】（1）解：、分别垂直平分和，
，，
的周长，
故的周长为；
（2），
，
，，
，
，
，，
，，
，
故的度数为．
14．（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；
（2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
15．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，平分．
(1)①若，，则________度；
②判断，，三者之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，若M是边上的一点，将，折叠，使点B，C的对应点，落在线段的延长线上，折痕分别为，．当M与D重合时，则；当M与E重合时，则．求的度数．
【答案】(1)①35；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；②分别求解，，再利用角的和差关系可得答案；
（2）由题意得，，，如图，当M与D重合时，，证明；如图，当M与E重合时，平分，证明．再建立方程组解题即可；
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵平分，
，
∵，
∵，
，
，
（2）解：由题意得，，，
如图，当M与D重合时，，
∴，，
又∵，，
∴
，
∴；
如图，当M与E重合时，平分，
∴，
又∵，，
∴
，
∴．
联立,
解得：．
【点睛】本题考查的是与三角形的角平分线相关的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的高的含义，二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解题意是解本题的关键.
16．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，，在上取点P，连结，将沿折叠，使点B的对应点E恰好落在射线上．
(1)当时，_______，_______．
(2)如图②，延长至点D，连结，在上取点Q，连结，将沿C折叠，使点D的对应点F恰好落在射线上，．
①当点F在线段上且不与点A重合时，求（用含的代数式表示）．
②当，时，______________（用含、的代数式表示）．
③当时，若，则_________．
【答案】(1)，
(2)①；②；③或
【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，折叠的性质，外角的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解；
（2）①由直角三角形的两锐角互余可求的度数，由折叠的性质可得，由外角的性质可求解；
②由，，可得点E，点F都在点A上方，由①同样方法可求，，即可求解；
③先求出的度数，再分当点F在点A上方和当点F在点A下方两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：如图，，，
，
∵将沿折叠，
，
，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
由折叠可知，
又，；
，，
∴点E，点F都在点A上方，
如图③，
，
，
，
，
由折叠可知，
又，
，
同理可得：，
，
故答案为：；
，
，
，
，
当点F在点A上方时，，
，
当点F在点A下方时，，
，
故答案为：或．
相关试卷
专题12.4 模型构建专题：-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）： 这是一份专题12.4 模型构建专题：-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题原卷版docx、精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题12.3 角的平分线的性质（5考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）： 这是一份专题12.3 角的平分线的性质（5考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版），文件包含精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题原卷版docx、精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
专题12.2 三角形全等的判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版： 这是一份专题12.2 三角形全等的判定（6考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版，文件包含精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题原卷版docx、精品解析湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考政治试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
