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江苏省高一下学期期末真题必刷（压轴50题,12考点）（原卷+解析）
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这是一份江苏省高一下学期期末真题必刷（压轴50题,12考点）（原卷+解析），文件包含江苏省高一下学期期末真题必刷压轴50题12考点原卷版docx、江苏省高一下学期期末真题必刷压轴50题12考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共88页， 欢迎下载使用。
1．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC=45°，则BD⋅BC= ；若BD=12BA+13BC，则BD= .
二、向量模的最值、范围问题（共3题）
2．（多选）（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠BAC=90°，设点P1，P2，P3，P4是线段BC的五等分点，则（ ）
A．AP3=35AB+25AC
B．AP1⋅AP2>AP2⋅AP3
C．AB+AP1+AP2+AP3+AP4+AC=32
D．tBC−BA+12AC+1−tCB0≤t≤1的最小值为52
3．（22-23高一下·江苏南京·期末）在平行四边形ABCD中，∠BAD=π3，BD=4，则AB⋅AD−3AC的最小值为（ ）
A．－10B．－13
C．4−43D．2−53
4．（22-23高一下·江苏苏州八校·期末）已知a,b为平面上的单位向量，|c|=26，且a⋅c=1，则|a⋅b|+|b⋅c|的最大值为 ．
三、向量数量积的最值、范围（共2题）
5．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB=150°，OA=2OC=2，点F在AB上，∠BOF=120°，点E在CD上，OE=xOC+yOD（x，y∈R），则（ ）
A．OE⋅EF的取值范围为−2,1B．OE⋅EF的取值范围为−3,1
C．当OE⊥EF时，x+y=1+3D．当OE⊥EF时，x+y=2+3
6．（多选）（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，AD=4，BC=2，CD=23，E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点（包括端点），EF=λCD+μBA，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=4B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1
C．λ=−32D．FC⋅FD的最小值为6
四、三角恒等变换（共2题）
7．（多选）（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数fx=2sinωx⋅sinπ2+ωx−2sin2ωx+1ω>0在区间0,π上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有（ ）.
A．fx在区间0,π上有且仅有3条对称轴
B．fx的最小正周期不可能是π2
C．ω的取值范围是118,158
D．fx在区间0,π16上单调递增
8．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若csα−sinαcsα+sinα=cs2β，则tanα+tanβ的最小值为 ．
五、解三角形（共3题）
9．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列说法中不正确的是（ ）
A．a=2,A=30°，则△ABC的外接圆半径是2
B．在锐角△ABC中，一定有sinA>csB
C．若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰直角三角形
D．若sinBcsA>sinC，则△ABC一定是钝角三角形
10．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，点D在线段BC上，∠B=40∘，∠BAD=60∘，AB=DC，则tanC=（ ）
A．3B．2C．22D．33
11．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在圆O的内接四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=π3，示意如图．
(1)若AC是圆O的直径，求AD的长；
(2)若圆O的直径为5，求四边形ABCD的面积．
六、解三角形中的最值、范围问题（共9题）
12．（22-23高一下·江苏常州·期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a2=2S+(b−c)2，则sinB的取值范围为（ ）
A．0,35B．0,45C．35,1D．45,1
13．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB−bcsA=b ，则ba+c的取值范围是（ ）
A．33,22B．2−3,1
C．2−3,2−1D．2+1,3+2
14．（多选）（江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（B））在△ABC中，已知A=2π3，AD为∠A的内角平分线且AD=2，则下列选项正确的有（ ）.
A．1AC+1AB=1ADB．BC2−2AC⋅AB=16
C．AB⋅AC−DB⋅DC=4D．△ABC的面积最小值为43
15．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a−csinA+sinC=a−bsinB.
(1)求角C的大小；
(2)若D是边AB的三等分点（靠近点A），CD=tAD.求实数t的取值范围.
16．（22-23高一下·江苏南通·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,3bsinA=a1+csB．
(1)求B；
(2)若a=1,b=3，点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且∠ADC=2π3．求△ACD面积的最大值及此时点M的位置．
17．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且有5csinC−5asinA=sinB6c−5b.
(1)求csA；
(2)若△ABC是锐角三角形，求a2+b22S的取值范围.
18．（22-23高一下·江苏苏州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知△ABC满足AC=22，AB=2，设∠BAC=0（0<θ<π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．
(1)当θ=π2时，求EQ的长度；
(2)求AQ长度的最大值．
19．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在①sinAsinBsinC=32sin2A+sin2C−sin2B；②1tanA+1tanB=sinC3sinAcsB；③设△ABC的面积为S，且43S+3b2−a2=3c2.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知__________，且b=23.
(1)若a+c=6，求△ABC的面积；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a2+b2c2的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
20．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知1+csAsinA=1+csBsinB+1.
(1)当C=π2时，求tanA2的值；
(2)当a=1时，求△ABC周长的最大值.
七、平面向量与解三角形综合问题（共3题）
21．（多选）（22-23高一下·江苏淮安·期末）在△ABC中，D，E为线段BC上（不与端点重合）的两点，且BD=EC，下列结论正确的是（ ）
A．AB⋅AC≥AD⋅AE
B．若AB2+AD2=AE2+AC2，则AB=AC
C．若BD=DE=12AD，∠BAC=π3，则∠ACB=π6
D．若BD=DE=1，∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是334
22．（22-23高一下·江苏南京九校·期末）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1,P2,P3四等分线段BC（如图所示）．
（1）求AB⋅AP1+AP1⋅AP2的值；
（2）Q为线段AP1上一点，若AQ=mAB+112AC，求实数m的值；
（3）P为边BC上一动点，当PA⋅PC取最小值时，求cs∠PAB的值．
23．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD为BC边上的中线，已知b=c+3，sinA⋅a2+b2−c2=8absinC−2abcsAsinC，cs∠BAD=217．
(1)求边b、c的长度；
(2)求△ABC的面积；
(3)点G为AD上一点，AG=13AD，过点G的直线与边AB、AC（不含端点）分别交于E、F．若AG⋅EF=56，求S△AEFS△ABC的值．
八、基本立体图形的位置关系（共1题）
24．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为217，所有侧棱与底面边长均为2，D是边AC中点.
(1)求证：AB1∥平面BDC1；
(2)求异面直线BB1与A1C1所成的角；
(3)F是边CC1一点，且CF=λCC1，若AB1⊥A1F，求λ的值.
九、基本立体图形的位置关系--二面角问题（共3题）
25．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1C⊥BC，A1C=BC，平面AA1C1C⊥平面ABC，E、F分别为A1C1，B1C1的中点.
(1)证明：A1C⊥平面ABC；
(2)若P为底面ABC内（包括边界）的动点，A1P//平面EFC，且P的轨迹长度为1，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积.
(3)在（2）的条件下，求二面角A1−AB−C的正切值.
26．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=2，CD=4，E为CD的中点.将△DAE沿AE翻折，得到四棱锥P−ABCE（如图2）.
(1)若PC的中点为M，点N在棱AB上，且MN//平面PAE，求AN的长度；
(2)若四棱锥P−ABCE的体积等于2，求二面角P−BC−A的大小.
27．（22-23高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB∥DC,BC⊥侧面ABB1A1,AB=2，AA1=A1B1=BB1=BC=CD=1,E为CD的中点，F为棱AB上的点，C1F∥平面ADD1A1．
(1)证明：平面C1EF∥平面ADD1A1；
(2)求AF；
(3)求二面角C1−AB−C的大小．
十、基本立体图形的位置关系--线面角、二面角综合问题（共3题）
28．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥A−BCDE中，DE=3，AE=2，BC=CD=1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．
(1)当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；
(2)当二面角A−BE−C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．
29．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形，CD⊥平面PAD，M是PD的中点.
(1)证明：AM⊥PC；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为32，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小.
30．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在三棱锥A−BCD中，底面BCD是边长为2的正三角形，AB⊥平面BCD，点E在棱BC上，且BE=λBC，其中0<λ<1.
(1)若二面角A−CD−B为30°，求AB的长；
(2)若AB=2，求DE与平面ACD所成角的正弦值的取值范围.
十一、立体图形的面积和体积（共7题）
31．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4，侧棱AA1=6，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（ ）
32．（22-23高一下·江苏苏州八校·期末）已知等腰直角△ABC的斜边AB=2,M,N分别为AC,AB上的动点，将△AMN沿MN折起，使点A到达点A'的位置，且平面A'MN⊥平面BCMN.若点A',B,C,M,N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为（ ）
A．8π3B．3π2C．6π3D．4π3
33．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为（ ）
A．6πB．23πC．22πD．3π
34．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在正四棱锥P−ABCD中，若PE=23PB，PF=13PC，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥P−AEFG与四棱锥P−ABCD的体积比为（ ）
A．746B．845C．745D．445
35．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是底面A1B1C1D1（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则PC1的取值范围为 ；当PC1取得最小值时，四棱锥P−ABCD的外接球表面积为 .
36．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 .
37．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是62，62，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 .
十二、立体几何初步综合问题（共13题）
38．（多选）（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，多面体EABCDF的所有棱长均为2，则（ ）
A．BE//DF
B．平面EAB⊥平面FAB
C．直线EA与平面ABCD所成的角为π4
D．点E到平面BCF的距离为263
39．（多选）（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知正三棱台A1B1C1−ABC，AB=2A1B1=4，A1A=2，下列说法正确的是（ ）
A．正三棱台A1B1C1−ABC体积为2
B．侧棱CC1与底面ABC所成角的余弦值为63
C．点A到面BB1C1C的距离为22
D．三棱台A1B1C1−ABC的外接球的表面积为114π3
40．（多选）（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱长AA1=3，P为底面ABCD内的动点，且A1P与BB1所成角为30°，则下列命题正确的是（ ）
A．动点P的轨迹长度为π2
B．当B1P//平面A1C1D时，B1P与平面A1C1D的距离为73
C．直线C1P与底面ABCD所成角的最大值为π3
D．二面角P−A1C1−D的范围是[π12， π4]
41．（多选）（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，Q分别是AD，CC1，AA1的中点，AP=λAB0≤λ≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．若λ=12，则B1D1∥平面MPN
B．若λ=1，则AC1∥平面MPN
C．若AC1⊥平面MPQ，则λ=12
D．若λ=13，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
42．（多选）（22-23高一下·江苏常州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥B1−C1D1P的体积为定值
B．存在点P，使得D1P⊥平面A1BC1
C．若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为22
D．若点P是AB的中点，点Q是BC的中点，经过D1,P,Q三点的正方体的截面周长为25+32
43．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段AC上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．B1P⊥BD1
B．三棱锥C1−A1DP的体积为定值
C．若Q为棱BC上一动点，则△B1PQ的周长的最小值为3+1
D．过P作平面α，使得A1C⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形
44．（多选）（2023·山东潍坊·二模）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，点M在平面ABCD上，且AM=λAD(0<λ<1)，则（ ）
A．存在λ，使得直线PB与AM所成角为π6
B．不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM
C．当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表而积为4λ2+12π
D．若λ=22，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P−ABCD各面的交线长为2+62π
45．（多选）（22-23高三下·湖北·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为CC1中点，N为四边形A1D1DA内一点（含边界），若B1N∥平面BMD，则下列结论正确的是（ ）
A．NB1⊥DC1B．三棱锥B1−NBM的体积为43
C．线段B1N最小值为2305D．tan∠A1NB1的取值范围为1,5
46．（多选）（22-23高一下·江苏南通·期末）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠D1A1B1=60∘，AA1=A1B1=A1D1=2，M、N分别为棱BB1、B1C1的中点，则（ ）
A．D1N⊥BC
B．A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为34
C．三棱柱ABD−A1B1D1的外接球的表面积为28π3
D．点A1到平面AMN的距离为2
47．（多选）（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为线段B1C上的动点，则（ ）
A．AP与BD1始终保持垂直
B．PA+PD的最小值为6
C．经过AC1的平面截正方体所得截面面积的最小值为62
D．以A为球心，AB为半径的球面与平面A1BCD1的交线长为2π2
48．（多选）（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，M为边BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，（ ）
A．异面直线CN与AB1所成的角为定值
B．存在某个位置使得AM⊥B1D
C．点C始终在三棱锥B1−AMD外接球的外部
D．当二面角B1−AM−D为60°时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积为13π3
49．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=1，则点A1到平面ABC1的距离为 ；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为 .
50．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，AB是半球的直径，O为球心， AB=4，M，N依次是半圆上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PN⊥MB．
(1)证明：平面PBM⊥平面PON；
(2)若点P在底面圆内的射影恰在BM上，
①求PN与平面PMB所成角；
②求点M到平面PAB的距离．
1．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知△ABC的垂心为点D，面积为15，且∠ABC=45°，则BD⋅BC= ；若BD=12BA+13BC，则BD= .
二、向量模的最值、范围问题（共3题）
2．（多选）（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=1，∠BAC=90°，设点P1，P2，P3，P4是线段BC的五等分点，则（ ）
A．AP3=35AB+25AC
B．AP1⋅AP2>AP2⋅AP3
C．AB+AP1+AP2+AP3+AP4+AC=32
D．tBC−BA+12AC+1−tCB0≤t≤1的最小值为52
3．（22-23高一下·江苏南京·期末）在平行四边形ABCD中，∠BAD=π3，BD=4，则AB⋅AD−3AC的最小值为（ ）
A．－10B．－13
C．4−43D．2−53
4．（22-23高一下·江苏苏州八校·期末）已知a,b为平面上的单位向量，|c|=26，且a⋅c=1，则|a⋅b|+|b⋅c|的最大值为 ．
三、向量数量积的最值、范围（共2题）
5．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期末）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以O为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB=150°，OA=2OC=2，点F在AB上，∠BOF=120°，点E在CD上，OE=xOC+yOD（x，y∈R），则（ ）
A．OE⋅EF的取值范围为−2,1B．OE⋅EF的取值范围为−3,1
C．当OE⊥EF时，x+y=1+3D．当OE⊥EF时，x+y=2+3
6．（多选）（22-23高一下·江苏镇江·期末）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，AD=4，BC=2，CD=23，E为线段CD的中点，F为线段AB上一动点（包括端点），EF=λCD+μBA，则下列说法正确的是（ ）
A．AB=4B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1
C．λ=−32D．FC⋅FD的最小值为6
四、三角恒等变换（共2题）
7．（多选）（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数fx=2sinωx⋅sinπ2+ωx−2sin2ωx+1ω>0在区间0,π上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有（ ）.
A．fx在区间0,π上有且仅有3条对称轴
B．fx的最小正周期不可能是π2
C．ω的取值范围是118,158
D．fx在区间0,π16上单调递增
8．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知α，β为一个斜三角形的两个内角，若csα−sinαcsα+sinα=cs2β，则tanα+tanβ的最小值为 ．
五、解三角形（共3题）
9．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列说法中不正确的是（ ）
A．a=2,A=30°，则△ABC的外接圆半径是2
B．在锐角△ABC中，一定有sinA>csB
C．若acsA=bcsB，则△ABC一定是等腰直角三角形
D．若sinBcsA>sinC，则△ABC一定是钝角三角形
10．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，点D在线段BC上，∠B=40∘，∠BAD=60∘，AB=DC，则tanC=（ ）
A．3B．2C．22D．33
11．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在圆O的内接四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=π3，示意如图．
(1)若AC是圆O的直径，求AD的长；
(2)若圆O的直径为5，求四边形ABCD的面积．
六、解三角形中的最值、范围问题（共9题）
12．（22-23高一下·江苏常州·期末）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a2=2S+(b−c)2，则sinB的取值范围为（ ）
A．0,35B．0,45C．35,1D．45,1
13．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB−bcsA=b ，则ba+c的取值范围是（ ）
A．33,22B．2−3,1
C．2−3,2−1D．2+1,3+2
14．（多选）（江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（B））在△ABC中，已知A=2π3，AD为∠A的内角平分线且AD=2，则下列选项正确的有（ ）.
A．1AC+1AB=1ADB．BC2−2AC⋅AB=16
C．AB⋅AC−DB⋅DC=4D．△ABC的面积最小值为43
15．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a−csinA+sinC=a−bsinB.
(1)求角C的大小；
(2)若D是边AB的三等分点（靠近点A），CD=tAD.求实数t的取值范围.
16．（22-23高一下·江苏南通·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,3bsinA=a1+csB．
(1)求B；
(2)若a=1,b=3，点M在边AC上，连接BM并延长至点D，且∠ADC=2π3．求△ACD面积的最大值及此时点M的位置．
17．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且有5csinC−5asinA=sinB6c−5b.
(1)求csA；
(2)若△ABC是锐角三角形，求a2+b22S的取值范围.
18．（22-23高一下·江苏苏州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形ABC中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知△ABC满足AC=22，AB=2，设∠BAC=0（0<θ<π），四边形ABGF、四边形ACED、四边形BCQP都是正方形．
(1)当θ=π2时，求EQ的长度；
(2)求AQ长度的最大值．
19．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在①sinAsinBsinC=32sin2A+sin2C−sin2B；②1tanA+1tanB=sinC3sinAcsB；③设△ABC的面积为S，且43S+3b2−a2=3c2.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知__________，且b=23.
(1)若a+c=6，求△ABC的面积；
(2)若△ABC为锐角三角形，求a2+b2c2的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
20．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知1+csAsinA=1+csBsinB+1.
(1)当C=π2时，求tanA2的值；
(2)当a=1时，求△ABC周长的最大值.
七、平面向量与解三角形综合问题（共3题）
21．（多选）（22-23高一下·江苏淮安·期末）在△ABC中，D，E为线段BC上（不与端点重合）的两点，且BD=EC，下列结论正确的是（ ）
A．AB⋅AC≥AD⋅AE
B．若AB2+AD2=AE2+AC2，则AB=AC
C．若BD=DE=12AD，∠BAC=π3，则∠ACB=π6
D．若BD=DE=1，∠BAD=∠EAC=π6，则△ABC的面积是334
22．（22-23高一下·江苏南京九校·期末）设△ABC是边长为1的正三角形，点P1,P2,P3四等分线段BC（如图所示）．
（1）求AB⋅AP1+AP1⋅AP2的值；
（2）Q为线段AP1上一点，若AQ=mAB+112AC，求实数m的值；
（3）P为边BC上一动点，当PA⋅PC取最小值时，求cs∠PAB的值．
23．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，AD为BC边上的中线，已知b=c+3，sinA⋅a2+b2−c2=8absinC−2abcsAsinC，cs∠BAD=217．
(1)求边b、c的长度；
(2)求△ABC的面积；
(3)点G为AD上一点，AG=13AD，过点G的直线与边AB、AC（不含端点）分别交于E、F．若AG⋅EF=56，求S△AEFS△ABC的值．
八、基本立体图形的位置关系（共1题）
24．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面A1B1C1，AB1与平面ACC1A1所成角的正切值为217，所有侧棱与底面边长均为2，D是边AC中点.
(1)求证：AB1∥平面BDC1；
(2)求异面直线BB1与A1C1所成的角；
(3)F是边CC1一点，且CF=λCC1，若AB1⊥A1F，求λ的值.
九、基本立体图形的位置关系--二面角问题（共3题）
25．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1C⊥BC，A1C=BC，平面AA1C1C⊥平面ABC，E、F分别为A1C1，B1C1的中点.
(1)证明：A1C⊥平面ABC；
(2)若P为底面ABC内（包括边界）的动点，A1P//平面EFC，且P的轨迹长度为1，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积.
(3)在（2）的条件下，求二面角A1−AB−C的正切值.
26．（22-23高一下·江苏泰州·期末）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=2，CD=4，E为CD的中点.将△DAE沿AE翻折，得到四棱锥P−ABCE（如图2）.
(1)若PC的中点为M，点N在棱AB上，且MN//平面PAE，求AN的长度；
(2)若四棱锥P−ABCE的体积等于2，求二面角P−BC−A的大小.
27．（22-23高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB∥DC,BC⊥侧面ABB1A1,AB=2，AA1=A1B1=BB1=BC=CD=1,E为CD的中点，F为棱AB上的点，C1F∥平面ADD1A1．
(1)证明：平面C1EF∥平面ADD1A1；
(2)求AF；
(3)求二面角C1−AB−C的大小．
十、基本立体图形的位置关系--线面角、二面角综合问题（共3题）
28．（22-23高一下·江苏苏州·期末）如图，在四棱锥A−BCDE中，DE=3，AE=2，BC=CD=1，∠BCD=∠CDE=2π3，∠AEB=π2．
(1)当AB⊥BC时，求直线AB与平面BCDE所成角的大小；
(2)当二面角A−BE−C为π3时，求平面ABC与平面ADE所成二面角的正弦值．
29．（22-23高一下·江苏连云港·期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形，CD⊥平面PAD，M是PD的中点.
(1)证明：AM⊥PC；
(2)若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为32，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小.
30．（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在三棱锥A−BCD中，底面BCD是边长为2的正三角形，AB⊥平面BCD，点E在棱BC上，且BE=λBC，其中0<λ<1.
(1)若二面角A−CD−B为30°，求AB的长；
(2)若AB=2，求DE与平面ACD所成角的正弦值的取值范围.
十一、立体图形的面积和体积（共7题）
31．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4，侧棱AA1=6，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（ ）
32．（22-23高一下·江苏苏州八校·期末）已知等腰直角△ABC的斜边AB=2,M,N分别为AC,AB上的动点，将△AMN沿MN折起，使点A到达点A'的位置，且平面A'MN⊥平面BCMN.若点A',B,C,M,N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为（ ）
A．8π3B．3π2C．6π3D．4π3
33．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及正四面体的三个侧面都相切，则球O2的体积为（ ）
A．6πB．23πC．22πD．3π
34．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在正四棱锥P−ABCD中，若PE=23PB，PF=13PC，平面AEF与棱PD交于点G，则四棱锥P−AEFG与四棱锥P−ABCD的体积比为（ ）
A．746B．845C．745D．445
35．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是底面A1B1C1D1（含边界）上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则PC1的取值范围为 ；当PC1取得最小值时，四棱锥P−ABCD的外接球表面积为 .
36．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，直线AC1与平面ABCD所成角的正切值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 .
37．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是62，62，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 .
十二、立体几何初步综合问题（共13题）
38．（多选）（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，多面体EABCDF的所有棱长均为2，则（ ）
A．BE//DF
B．平面EAB⊥平面FAB
C．直线EA与平面ABCD所成的角为π4
D．点E到平面BCF的距离为263
39．（多选）（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知正三棱台A1B1C1−ABC，AB=2A1B1=4，A1A=2，下列说法正确的是（ ）
A．正三棱台A1B1C1−ABC体积为2
B．侧棱CC1与底面ABC所成角的余弦值为63
C．点A到面BB1C1C的距离为22
D．三棱台A1B1C1−ABC的外接球的表面积为114π3
40．（多选）（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱长AA1=3，P为底面ABCD内的动点，且A1P与BB1所成角为30°，则下列命题正确的是（ ）
A．动点P的轨迹长度为π2
B．当B1P//平面A1C1D时，B1P与平面A1C1D的距离为73
C．直线C1P与底面ABCD所成角的最大值为π3
D．二面角P−A1C1−D的范围是[π12， π4]
41．（多选）（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，Q分别是AD，CC1，AA1的中点，AP=λAB0≤λ≤1，则下列说法正确的是（ ）
A．若λ=12，则B1D1∥平面MPN
B．若λ=1，则AC1∥平面MPN
C．若AC1⊥平面MPQ，则λ=12
D．若λ=13，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
42．（多选）（22-23高一下·江苏常州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥B1−C1D1P的体积为定值
B．存在点P，使得D1P⊥平面A1BC1
C．若D1P⊥B1D，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为22
D．若点P是AB的中点，点Q是BC的中点，经过D1,P,Q三点的正方体的截面周长为25+32
43．（多选）（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段AC上运动，则下列说法正确的有（ ）
A．B1P⊥BD1
B．三棱锥C1−A1DP的体积为定值
C．若Q为棱BC上一动点，则△B1PQ的周长的最小值为3+1
D．过P作平面α，使得A1C⊥α，则α截正方体所得的截面可以是四边形
44．（多选）（2023·山东潍坊·二模）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，点M在平面ABCD上，且AM=λAD(0<λ<1)，则（ ）
A．存在λ，使得直线PB与AM所成角为π6
B．不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM
C．当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表而积为4λ2+12π
D．若λ=22，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P−ABCD各面的交线长为2+62π
45．（多选）（22-23高三下·湖北·阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为CC1中点，N为四边形A1D1DA内一点（含边界），若B1N∥平面BMD，则下列结论正确的是（ ）
A．NB1⊥DC1B．三棱锥B1−NBM的体积为43
C．线段B1N最小值为2305D．tan∠A1NB1的取值范围为1,5
46．（多选）（22-23高一下·江苏南通·期末）如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠D1A1B1=60∘，AA1=A1B1=A1D1=2，M、N分别为棱BB1、B1C1的中点，则（ ）
A．D1N⊥BC
B．A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为34
C．三棱柱ABD−A1B1D1的外接球的表面积为28π3
D．点A1到平面AMN的距离为2
47．（多选）（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为线段B1C上的动点，则（ ）
A．AP与BD1始终保持垂直
B．PA+PD的最小值为6
C．经过AC1的平面截正方体所得截面面积的最小值为62
D．以A为球心，AB为半径的球面与平面A1BCD1的交线长为2π2
48．（多选）（22-23高一下·江苏徐州·期末）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，M为边BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为线段B1D的中点，则在翻折过程中，（ ）
A．异面直线CN与AB1所成的角为定值
B．存在某个位置使得AM⊥B1D
C．点C始终在三棱锥B1−AMD外接球的外部
D．当二面角B1−AM−D为60°时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积为13π3
49．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=1，则点A1到平面ABC1的距离为 ；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为 .
50．（22-23高一下·江苏常州·期末）如图，AB是半球的直径，O为球心， AB=4，M，N依次是半圆上的两个三等分点，P是半球面上一点，且PN⊥MB．
(1)证明：平面PBM⊥平面PON；
(2)若点P在底面圆内的射影恰在BM上，
①求PN与平面PMB所成角；
②求点M到平面PAB的距离．
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